一次函数的应用 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版数学八年级上册

一次函数的应用 思维导图 1. 利用一次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽 象出一次函数表达式，即y=kx+b(k≠0)的形式，并确定自变量x的取值范 围。（2）利用一次函数的性质获得问题中需要的数据或变量之间的关 系从而解决问题。 2. 得到一次函数表达式的方式一般有两种：（1）根据问题中变量的等 量关系得到表达式并确定自变量的取值范围。（2）根据函数图象确定 特殊点的坐标，然后利用待定系数法得到函数表达式。 知识要点： 1. 一次函数的应用类问题主要有以下几个方面：（1）利用一次函数的 表达式作出图象、求出交点，利用图象解一次方程（组）或不等式。 （2）由函数表达式（含自变量的取值范围），根据函数的增减性，确 定最大值或最小值。（3）结合一次函数的表达式或图象求各类方程、 不等式或不定方程的整数解或整点问题。（4）利用一次函数的表达式 或图象进行几何证明或计算（坐标法）。 2. 分段函数是实际问题中经常出现的一类函数，分段函数是在不同区间 有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学 合理，又要符合实际。 3. 利用函数图象解决实际问题是函数应用题的一大特点，要注意图象的 实际意义，关注图象上的特殊点（端点、交点等），利用函数表达式将 问题转化为方程（组）或不等式解决。 知识点一：建立一次函数模型解决实际问题 某水果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台 上零售水果。已知线上零售40 kg、线下批发80 kg水果的总销售额为 3600元；线上零售50 kg和线下批发80 kg水果的销售额相同。 （1）线上零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？ （2）该种植户某月线上零售和线下批发共销售水果1000 kg，设线上零 售m kg，获得的总销售额为w元。①请写出w关于m的函数表达式。②当 线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少。 （1）根据线上零售40 kg、线下批发80 kg水果的总销售额为 3600元；线上零售50 kg和线下批发80 kg水果的销售额相同，可以列出 相应的方程组，然后求解即可。（2）①根据题意和（1）中的结果，可 以写出w关于m的函数表达式。②根据线上零售和线下批发的数量相 等，可以求得m的值，然后代入①中表达式计算即可。 （1）设线上零售和线下批发水果的单价分别为每千克x元、 y元。 由题意可得解得∴线上零售水果的单价为 每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元。 （2）①由题意可得w=40m+25（1000-m）=15m+25000，即w关于m的函数表达式为w=15m+25000。 ②∵线上零售和线下批发的数量相等，∴m=1000-m，解得m=500。当 m=500时，w=15×500+25000=32500。∴当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为32500元。 本题考查二元一次方程的应用、一次函数的应用，解题的关 键是明确题意，找出题中总销售额w与线上零售量m之间的数量关系， 写出相应的函数表达式。 某超市老板用1200元购进甲、乙两种型号的口罩在超市销 售，销售完共获利400元。进价和售价如下表所示： 型号 甲型号口罩 乙型号口罩 进价（元/袋） 2 3 售价（元/袋） 3 3.5 （1）该超市购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ 【答案】（1）设购进甲型号口罩a袋，乙型号口罩b袋。由题意得 ∴购进甲型号口罩300 袋，乙型号口罩200袋。 （2）该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共500 袋，此次用于购进口罩的资金不少于1220元，但不超过1360元。若 两种型号的口罩都按原来的售价全部售完。设此次购进甲型号口罩x 袋，超市获利y元，试求y关于x的函数表达式，并求出x的取值范围 和超市的最大利润。 【答案】（2）由题意得1220≤2x+3（500-x）≤1360，解得140≤x≤280。∵获利y元，∴y=（3-2）x+（3.5-3）（500-x），整理得y=0.5x+250。∵一次函数y=0.5x+250中，k=0.5>0，∴函数值y随自变量x的增大而增大。∴当x=280时，利润最大，最大值为y=0.5×280+250=390。∴y关于x的函数表达式为y=0.5x+250，且x的取值范围是140≤x≤280，超市的最大利润为390元。 知识点二：利用一次函数图象解决实际问题 甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距山脚的高度y（m）与登山 时间x（min）之间的函数图象如图，根据图象所提供的信息解答下列问 题： （1）图中t= 　　　　。 （2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度的3倍。 ①甲登山的上升速度是 　　　　m/min。 ②请求出甲登山过程中，距山脚的高度y（m）与登山时间x（min）之间 的函数表达式。 ③当甲、乙两人距山脚高度的差为70 m时，请直接写出满足条件的x 的值。 （1）根据题意和函数图象可以求得t的值。（2）①根据乙 提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度的3倍，可以求得甲的 速度。②根据题意和函数图象中的数据可以求得甲登山过程中，距山脚 的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数表达式。③根据函数图象 可以求得AB段乙的函数表达式，从而可以求得x的值。 （1）在OA段，乙的速度为15÷1=15（m/min），则 t=30÷15=2。故答案为2。 （2）①乙提速后的速度为（300-30）÷（11-2）=30（m/min），∴甲的速度为30÷3=10（m/min）。故答案为10。 ②甲登山用的时间为（300-100）÷10=20（min）。设甲登山过程中，距山脚的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数表达式y=kx+b。由题意得解得∴y=10x+100。 ③设乙在AB段对应的函数表达式为y=mx+n。由题意得解得∴y=30x-30。当2<x≤11时， | 30x-30-（10x+100） | =70，解得x=3或x=10。当11<x≤20时，300-（10x+100）=70，解得x=13。 综上所述，当x的值是3或10或13时，甲、乙两人距山脚高度的差为 70 m。 本题考查一次函数的应用，解题的关键是从图象中获得信 息，利用图象中的关键点求出相应的函数表达式，再利用函数的思想解 答。 某校八年级学生外出参加社会实践活动，为了提前做好准备 工作，学校安排小车送义工队前往目的地，同时其余学生乘坐客车去目 的地，小车到达目的地后立即返回，客车继续前往目的地，如图是两车 距学校的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象。 （1）目的地距离学校 　　　　 km，小车出发去目的地时的行驶速度 是 　　　　 km/h。 【答案】（1）180 90 （2）若两车行驶3 h后在途中相遇，求点P的坐标。 【答案】（2）设直线AB的函数表达式为y=kx+b。∵A（2，180），B （5，0），∴∴直线AB的函数表达式为y=-60x+300。当x=3时，y=120，∴P（3，120）。 （3）在（2）的条件下，求客车到达目的地所用的时间。 【答案】（3）设直线OC的函数表达式为y=ax。将P（3，120）代入，得 120=3a，解得a=40。∴直线OC的函数表达式为y=40x。当y=180时， h。 A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为了便于管 理，所有人员必须乘坐在同一列高铁上。根据报名人数，若都买一等座 单程火车票需6175元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需3150 元。已知学生家长与老师的人数之比为2∶1，A地到B地的火车票价格 （高铁学生票只有二等座可以打七五折）如下表所示： 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 A地 B地 95元 60元 （1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？ （2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实 践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位 的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用 （单程）y与x之间的函数表达式。 （3）请你做一个预算：按（2）中的购票方案，购买单程火车票至少要 花多少钱？最多要花多少钱？ （1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家 长有2m人，根据题意得到方程组，求出方程组的解即可。（2）有两种 情况：①当50≤x<65时，学生都买学生票共50张，（x-50）名成年人买 二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票；②当0<x<50时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火 车票共（65-x）张，根据数量关系分别列出表达式。（3）由（2）中得 到的表达式，分别讨论即可。 （1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家 长有2m人。 若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学 生票。 依题意得解得∴2m=10。 ∴参加社会实践的老师有5人、家长有10人、学生有50人。 （2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人。 ①当50≤x<65时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共50张，（x-50）名成年人买二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票。 ∴y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x），即y=-35x+5425 （50≤x<65）。 ②当0<x<50时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其 余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共（65-x）张。 ∴y=60×0.75x+95（65-x），即y=-50x+6175（0<x<50）。 （3）由（2）知，当50≤x<65时，y=-35x+5425，∴当x=64时，y的值最小，最小值为3185；当x=50时，y的值最大，最大值为3675。 当0<x<50时，y=-50x+6175，∴当x=49时，y的值最小，最小值为3725；当x=1时，y的值最大，最大值为6125。 ∴购买单程火车票至少要花3185元，最多要花6125元。 本题考查建立一次函数模型解决实际问题，解题的关键是根 据分类讨论思想分段求出函数表达式并在各自范围内确定函数的最值， 考查学生分析解决问题的能力，厘清题中各变量之间的关系是难点。 1. 一根弹簧秤原长10 cm，所挂物体的质量每增加2 kg，弹簧就伸长6 cm，则挂物体后弹簧长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函 数表达式为（　D　） A. y=3（x+10） B. y=6（x+10） C. y=6x+10 D. y=3x+10 D 2. 某超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日 销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系， 若该玩具某天的销售单价是20元，则当日的销售利润为（　B　） A. 200元 B. 300元 C. 350元 D. 500元 B 3. 甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距 离120 km的某地。如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离开出发地的距离s （km）与行驶时间t（h）之间的函数关系。当两人都在行驶途中，且相 距12 km时，乙已出发（　D　） A. 2 h B. h C. 2 h或 h D. 1 h或 h D 4. 1~6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重y（g）与月龄x（月）之 间的关系可以用y=a+800x来近似地表示，其中a是婴儿出生时的体重。 某个婴儿出生时的体重是3800 g，估计月龄x= 时体重是7000 g。 4 5. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距。根据最 新人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的指距d和身高h成某种关 系。下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（cm） 19 20 21 22 身高h（cm） 151 160 169 178 根据上表解决下面这个实际问题：某人的身高是187 cm，可预测他的 指距为 cm。 23 6. 某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定 剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（μg）随时间x（h）的变 化情况如图所示。如果每毫升血液中的含药量为3 μg及3 μg以上时，治 疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有 h。 4 7. 如图，某款休闲凳可无缝叠摞在家中角落，节省收纳空间，请根据图 中所给的信息数据，解答问题。 （1）求叠在一起的凳子总高度y（cm）与休闲凳数量x（个）之间的一 次函数表达式。 【答案】（1）设y与x之间的一次函数表达式为y=kx+b。 根据题意得∴y与x之间的函数表达式为 y=6x+40。 （2）当购买5个休闲凳时，求叠在一起的凳子的总高度。 【答案】（2）当x=5时，y=6×5+40=70，∴当购买5个休闲凳时，叠在一起的凳子的总高度为70 cm。 8. 小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活 动。如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y （km）与出发时间x（h）之间的函数关系。根据图中提供的信息，解答 下列问题： （1）求小王的骑车速度及点C的横坐标。 【答案】（1）由图可得，小王的骑车速度是（27-9）÷（2-1）=18 （km/h），点C的横坐标为1-9÷18=0.5。 （2）求线段AB对应的函数表达式。 【答案】（2）设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b。∵A（0.5，9），B（2.5，27），∴∴线段AB对应的函数表达式为y=9x+4.5（0.5≤x≤2.5）。 （3）当小王到达乙地时，小李距离乙地还有多远？ 【答案】（3）当x=2时，y=18+4.5=22.5，27-22.5=4.5（km），∴当小王到达乙地时，小李距离乙地还有4.5 km。 9. 小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步 行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行的时间x（min）之间的变化 关系如图中折线段AB-BC-CD所示。在步行过程中，小明先到达甲地。有下列结论：①甲、乙两地相距5400 m；②两人出发后30 min相遇；③小 丽步行的速度为100 m/min，小明步行的速度为80 m/min；④小明到达 甲地时，小丽离乙地还有980 m。其中正确结论的个数是（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 【解析】由图象可知，甲、乙两地相距5400 m，小丽与小明出发30 min 相遇，故①②正确，符合题意。设小丽步行的速度为v1 m/min，小明步 行的速度为v2 m/min，且v2>v1，则∴小丽步行的速度为80 m/min，小明步行的速度为100 m/min，故③不符合题意。 5400÷100=54（min），（67.5-54）×80=1080（m），∴小明到达甲地时，小丽离乙地还有1080 m。故④不符合题意。∴正确的结论是①②。 故选B。 10. 秤是我国传统的计重工具。如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离， 来得出秤钩上所挂物体的质量。称重时，秤钩所挂物重y（kg）是秤杆 上秤砣到秤纽的水平距离x（cm）的一次函数。下表为若干次称重时所 记录的一些数据： x（cm） 2 6 8 12 22 24 y（kg） 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50 其中有一个y值记录错误，请排除后，利用正确数据确定当x=48时，对 应的y值为 ⁠。 6.5 11. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，以各自的速度匀速相向 而行，当甲车到达B地后，发现有重要物品需要送给乙车，于是甲车 司机立即通知乙车（通知时间忽略不计），乙车接到通知后将速度 降低50%继续匀速行驶，甲车司机花一定的时间准备好相关物品 后，以原速的倍匀速前去追赶乙车，当甲车追上乙车时，乙车恰好 到达A地。如图反映的是两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x （h）之间的函数关系。 （1）乙车的速度为 km/h。 【解析】（1）由点 =60（km/h）。故答案为60。 60 （2）甲车在B地准备好相关物品共花 　 h。 【解析】（2）两车出发2 h相遇，相遇后甲、乙两车用 =150（km/h），则甲的速度为150-60=90（km/h）。由甲、乙两车2 h相遇，可知A，B两地的距离为2×150=300（km）。甲车从B地驶向A地共用300÷。 h。 12. 甲、乙两人沿同一条笔直的路同时从A地出发，甲从A地匀速步行， 途经B地，到达C地后立即原路原速返回，乙从A地匀速步行，到达B地后 立即原路原速返回，两人恰好同时返回到A地。设甲步行的时间为t （h），甲、乙两人离B地的距离分别为y1（km），y2（km），图中的折 线表示y1与t之间的函数关系。 （1）A，C两地之间的距离为 　　　　 km，甲步行的速度为 　　　　 km/h。 【答案】（1）由图象可知，A，C两地之间的距离为12+6=18（km）， 甲步行的速度为=6（km/h）。故答案为18；6。 （2）求图中线段MN所表示的y1关于t的函数表达式，并写出自变量t的 取值范围。 【答案】（2）∵点M对应甲到C地，∴M（3，6）。∵甲从C地返回B地所用时间为=1（h），∴N（4，0）。设MN所表示的y1关于t的函数表达式为y1=kt+b。由题意得∴MN所表示的y1关于t的函数表达式y1=-6t+24（3≤t≤4）。 （3）在同一平面直角坐标系中，画出y2关于t的函数图象。 【答案】（3）甲、乙两人同时出发同时返回，说明所用时间相同， ∴乙从A地到B地所用时间为6÷2=3（h）。y2关于t的函数图象如图中红线所示。 13. 一个手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部， 每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元。设购进A型手机x 部、B型手机y部，三款手机的进价和预售价如下表： 手机型号 A型 B型 C型 进价（元/部） 900 1200 1100 预售价（元/部） 1200 1600 1300 （1）求出y与x之间的函数表达式。 【答案】（1）根据题意可知，购进C型手机的部数为60-x-y。 900x+1200y+1100（60-x-y）=61000，整理得y=2x-50。 （2）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在 购进与销售这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元。 ①求出预估利润P（元）关于x（部）的函数表达式。 【答案】（2）①根据题意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500=500x+500。 ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部。 【答案】②购进C型手机部数为60-x-y=110-3x，根据题意，可列不等式组解得29≤x≤34。∵P是x的一次函数，k=500>0，∴P随x的增大而增大。∴当x=34时，P取得最大值，最大值为17500元，此时购进A型手机34部、B型手机18部、C型手机8部。 14. 甲、乙两地相距300 km，一辆货车从甲地出发去乙地，1 h后一辆轿 车也从甲地向乙地出发，到达乙地后轿车马上沿原路返回甲地，如图， 线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系；折 线B→C→D→E表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关 系。轿车行驶CD段的速度与DE段的速度相同。 （1）货车的速度为 　　　　 km/h；线段OA对应的函数表达式 为 　　　　　　（0≤x≤5）。 【答案】（1）货车的速度为（km/h）。设线段OA对应的函数 表达式为y=k1x（k1≠0）。把（5，300）代入得5k1=300，解得k1=60，∴线段OA对应的函数表达式为y=60x（0≤x≤5）。故答案为60；y=60x。 （2）求线段CD对应的函数表达式（不必写出自变量x的取值范围）。 【答案】（2）设线段CD对应的函数表达式为y=k2x+b2（k2≠0）。把C （2.5，60），D（4.5，300）代入得 ∴线段CD对应的函数表达式为y=120x-240。 （3）求两车先后两次相遇的间隔时间。 【答案】（3）∵轿车行驶CD段的速度与DE段的速度相同，∴轿车在DE段的速度为 （h）。∴点E的坐标为（7，0）。设线段DE对应的函数表达式为y=k3x+b3（k3≠0）。把点E（7，0），D（4.5，300）代入得∴线段DE对应的函数表达式为y=-120x+840。 联立∴两车先后两次相遇的间隔时间为（h）。 （4）若两车距离不超过60 km，请直接写出x的取值范围。 【答案】（4）同（2）理可得，线段BC对应的函数表达式为y=40x-40 （1<x≤2.5）。 ①当0≤x≤1时，由题意得60x≤60，解得x≤1，∴0≤x≤1。 ②当1<x≤2.5时，由题意得60x-（40x-40）≤60，解得x≤1，∴不存在。 ④由OA：y=60x得，当x=4.5时，y=270，300-270=30（km），30<60，符合题意；由DE：y=-120x+840得，当x=5时，y=240，300-240=60（km），符合题意。 ∴当4<x≤5时，两车距离不超过60 km。∴综上所述，x的取值范围是0≤x≤1或3≤x≤5。 ③当2.5<x≤4时，由题意得60x-（120x-240）≤60，解得x≥3， ∴3≤x≤4。 $$