精品解析：2025年四川省宜宾市中考数学模拟试卷

2025年四川省宜宾市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数：，，，，其中负数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下图几何体中是三棱锥是( ) A. B. C. D. 3. 某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，编号为，统计这5名选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数保持一致，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A. 2.8分钟，3.7分钟 B. 3.0分钟，3.3分钟 C. 3.6分钟，4.2分钟 D. 4.3分钟，4.5分钟 4. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ） A. 9折 B. 8.5折 C. 8折 D. 7.5折 7. 如图，正六边形内接于，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两袋子重量忽略不计，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 10. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，内接于圆，，．则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，平分，且，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 7 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式：_______． 14. 若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是________． 15. 如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则为________°． 16. 如图，在矩形中，垂足为，点分别在上，则的最小值为 ___________ 17. 如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动______秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 18. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解不等式组并求出它的所有整数解的和． 20. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，请添加一个条件不添加辅助线使，并说明理由． 21. 濮阳市教育局为了解初二学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了我市某校初二学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在这次抽样调查中，众数是 天，中位数是 天； （3）请你估计这个学校初二学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是多少（结果保留整数）？ 22. 如图，为的外接圆，，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4，6)．双曲线y＝ (x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE. (1)求k的值及点E的坐标； (2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的表达式． 24. 为的直径，点在的延长线上，过点作的切线，点为切点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的垂线，点为垂足，点在上，，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点F为的中点，点G在上，连接，若，，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，B，交轴于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点为轴上的动点，在的下方，满足，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在（2）当取得最大值的条件下，点为新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省宜宾市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数：，，，，其中负数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是负数的含义，化简多重符号，乘方运算的含义，熟练的化简各数再作判断是解本题的关键． 【详解】解：，，，， ∴负数有：，共2个； 故选：B． 2. 下图几何体中是三棱锥是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查认识立体图形，根据三棱锥的形体特征进行判断即可． 【详解】解：由三棱锥的形体特征可知，选项D中的几何体是三棱锥， 故选：D． 3. 某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，编号为，统计这5名选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数保持一致，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A. 2.8分钟，3.7分钟 B. 3.0分钟，3.3分钟 C. 3.6分钟，4.2分钟 D. 4.3分钟，4.5分钟 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：由题意可知，5名选手演讲时长的中位数为3.5，若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数保持一致，则新增的2名选手演讲时长应有一个小于3.5，一个大于3.5，只有A选项符合． 故选：A． 4. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围．本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再利用不等式组求解是解题的关键． 【详解】解： ∴ ∵， ∴ 解不等式，得，即； 解不等式，得，即． 综上， 故选：B ． 5. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ） A. 9折 B. 8.5折 C. 8折 D. 7.5折 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设打x折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可． 【详解】解：设打x折， 根据题意得， 解得． 所以最低可打9折． 故选：A． 7. 如图，正六边形内接于，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接交点，连接，可推出，，可证明是等边三角形，得到，，推出，在中，设，则，根据勾股定理即可求出，进而得到半径，即可求解． 【详解】解：连接交点，连接， 正六边形内接于， ，，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 的半径为， 的周长为， 故选：B． 8. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两袋子重量忽略不计，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据“两袋初始重量相等”列出一个方程，再依据“交换一枚后甲袋比乙袋轻13两”列出另一个方程，从而确定方程组．本题主要考查二元一次方程组的实际应用，熟练分析题目中的等量关系（初始重量相等、交换后重量差）是解题的关键． 【详解】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两．由题意可得， ， 故选：A ． 9. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点P坐标，再利用待定系数法求解k值即可． 【详解】解：∵轴于点，且， ∴点P的纵坐标为4， ∵直线与双曲线交于点， ∴将代入中，得，解得， ∴点P坐标为， 将代入中，得， 故选：C． 10. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，相似三角形的性质与判定，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，得到即可判断A选项；证明，即可判断B选项；由三角形外角求出，易证是等腰三角形，得到，进而得到，再根据垂直平分线的性质得到，即可判断C选项；设，则，由相似三角形的性质即可判断D选项． 【详解】解：， ， 由作法可知，垂直平分， ，， ， ，A选项结论正确，不符合题意； ，， ， ， ，B选项结论正确，不符合题意； ， ， ， ，即，C选项结论正确，不符合题意； 设，则， ， ， ， ， ， ，D选项结论不正确，符合题意； 故选：D． 11. 如图，内接于圆，，．则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角等等，正确作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．如图所示，连接并延长交圆O于D，则为圆O的直径，则，从而，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长交圆O于D，则为圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴圆O的半径为， 故选：B． 12. 如图，在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，平分，且，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，由“”可证，可得，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵在平行四边形中，，，， ， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∵是的中点，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是________． 【答案】a>-2且a≠1 【解析】 【分析】先把a看成常数，解出x，根据分式方程有负数解，得到一个关于a的不等式，即可求出a的取值范围. 【详解】去分母得：1-(x+3)=a 解得：x=-a-2 ∵分式方程有负数解 ∴-a-2<0且-a-2≠-3 解得：a>-2且a≠1 ∴实数a的取值范围是a>-2且a≠1. 【点睛】本题考查的是分式方程的解. 15. 如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，垂足为，点分别在上，则的最小值为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案. 【详解】解：设BE=x，则DE=3x， ∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD， ∴△ABE∽△DAE， ∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2， ∴AE=x， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=， ∴AE=3，DE=3， 如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′， 则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6， ∴△AA′D是等边三角形， ∵PA=PA′， ∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小， 又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小， ∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算． 17. 如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动______秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程. 设运动时间为t，分当C和F都在线段上时，当C在线段上，F在的延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t， 当C和F都在线段上时， 由题意得：， 解得； 当C在线段上，F在的延长线上时， 由题意得， 解得 故答案为：或． 18. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故答案为：2025． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解不等式组并求出它的所有整数解的和． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算和解一元一次不等式组， 根据零指数幂、特殊角三角函数值、求一个数的绝对值和负指数幂的运算法则计算即可； 先分别求得各不等式的解，再取两个不等式的解集的公共部分即可，然后确定整数解，求和即可． 【详解】解：（1）原式 （2）解： 解①得， 解②得， 则不等式组的解集为： ∴所有整数解的和为． 20. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，请添加一个条件不添加辅助线使，并说明理由． 【答案】 条件，理由： 在和中， ， ∴（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．①根据可以添加条件；②根据可以添加条件；③根据可以添加条件． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】略 21. 濮阳市教育局为了解初二学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了我市某校初二学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在这次抽样调查中，众数是 天，中位数是 天； （3）请你估计这个学校初二学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是多少（结果保留整数）？ 【答案】（1） 补全频数分布直方图，如图所示： （2）； （3）4 【解析】 【分析】（1）先根据2天的人数及其所占百分比可得总人数，再算出a的值，再用总人数乘以对应百分比分别求得5天的人数即可补全图形； （2）根据众数和中位数的定义求解可得； （3）根据加权平均数和样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：一个学期参加综合实践活动的天数为5天的人数占总人数的百分比为： ， 本次调查的总人数为：（人） 一个学期参加综合实践活动的天数为5天的人数为： （人）， 补全频数分布直方图略； 【小问2详解】 众数是4天，中位数为：＝4天． 故答案为4；4． 【小问3详解】 估计该市初二学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是：2×15%+3×20%+4×30%+5×20%+6×10%+7×5%＝4.05≈4（天）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，为的外接圆，，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，．求出．，根据，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中， 是直径， ， ，， ， 的半径为． 【小问2详解】 解：如图中，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：如图中，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹． 23. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4，6)．双曲线y＝ (x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE. (1)求k的值及点E的坐标； (2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的表达式． 【答案】（1）k＝12，E (4,3)；（2）y＝x＋. 【解析】 【详解】（1）在矩形OABC中， ∵B（4，6），∴BC边中点D的坐标为（2，6）， ∵又曲线y=的图象经过点（2，6），∴k=12，∵E点在AB上，∴E点的横坐标为4， ∵y=经过点E，∴E点纵坐标为3，∴E点坐标为（4，3）； （2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4， ∵△FBC∽△DEB，∴，即， ∴CF=，∴OF=，即点F的坐标为（0，）， 设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0，）， ∴，解得， ∴直线BF的解析式为y=x+． 24. 为的直径，点在的延长线上，过点作的切线，点为切点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作的垂线，点为垂足，点在上，，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点F为的中点，点G在上，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示， 为的切线， ， ，即为直角三角形， ， ， ． （2）证明：连接，如图所示， ，点为垂足， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，即可得到，然后根据两锐角互余和圆周角定理即可证明； （2）先证明，然后根据平行线的性质和等边对等角得到，然后根据证明，即可得到结论； （3）连接，交于点H，设圆的半径为r，先根据等角对等边得到，，然后在中利用勾股定理得到、、，最后根据三角形面积求得解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，交于点H，设圆的半径为r， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，，即， 解得，（负值舍去） 即，，， 又∵， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，B，交轴于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点为轴上的动点，在的下方，满足，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在（2）当取得最大值的条件下，点为新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作，交于点Q，过点O作，交于点N，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，求出点，得出，证明，得出，求出，设，则，求出，得出，根据二次函数的最值，求出点P的坐标即可；作轴，在点P下方取，连接，取点B关于y轴的对称点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据轴对称可知：，得出，根据两点之间线段最短，得出当、E、三点在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可； （3）先求出新抛物线的解析式为：，作，点E在x轴正半轴上，过点E作于点F， 设，则，证明，得出，求出，证明，得出，即，求出直线的解析式为：，令，求出此时点H的横坐标；当与y轴的交点正好为关于x轴的对称点时，，此时点符合题意，求出直线的解析式为：，令，求出点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∴， ∴，， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点P作，交于点Q，过点O作，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 设，则， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴ ∴此时点P的坐标为； 作轴，在点P下方取，连接，取点B关于y轴的对称点，连接，如图所示： 则，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、E、三点在同一直线上时，最小，即最小， ∵为定值， ∴此时最小，且最小值为：． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 又∵，， ∴将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位，正好得出新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为：， 根据解析（2）可知：当取得最大值时，， ∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴作，点E在x轴正半轴上，过点E作于点F，如图所示： 则， 设，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）； 当与y轴的交点正好为关于x轴的对称点时，，此时点符合题意， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）； 综上分析可知：点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $