精品解析：四川省广安市2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题B

广安市2025年春季高一期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 10 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦达定理即可求解. 【详解】已知是关于方程的一个根， 则是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理有. 故选：A. 2. 收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是（ ） A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这8个数据从小到大排列为：10，20，30，70，80，90，100，110， 而，从而所求为从小到大排列后的第六个数和第七个数的平均数，即为. 故选：C. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：A. 4. 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得. 【详解】由，，所以， 由题意，则， 由. 故选：A 5. 已知、为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断正误即可． 【详解】对于A选项，若，，则或与异面，故A错误； 对于B选项，若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C选项，若，，则或在内，故C错误； 对于D选项，若，则存在使得，，则， 又，又，所以，又，所以，故D正确． 故选：D. 6. 某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后利用梯形的知识求得. 【详解】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米. 故选：A 7. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知等式求出复数，再根据复数的模的计算公式求出. 【详解】由，有，所以，故． 故选：B 8. 在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将展开到与共面，根据三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时等号成立.根据题干条件，在中由余弦定理即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，设点为线段中点，连接. 由题易知：，，平面. 在中，，故， 所以是边长为2的等边三角形. 将展开到与共面，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值. 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 即的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 利率% 1.55 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差为0.35 B. 平均数小于1.65 C. 中位数为1.65 D. 20%分位数为1.50 【答案】AC 【解析】 【分析】先将数字从小到大排列，再利用极差的公式判断A，平均数公式判断B，百分位数公式判断D，中位数公式判断C即可. 【详解】将数据从小到大排列， 对于A，极差为，故A正确， 对于B，平均数为，故B错误， 对于C，由题意得这组数共有7个数，则中位数为第4个数，即，故C正确. 对于D，因为，所以分位数为第2个数，即，故D错误， 故选：AC 10. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A. 与夹角为 B. C. D. 与夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用，通过平方可求，又，，根据向量夹角公式可求与夹角，由模长公式可求，继而可算与夹角. 【详解】由两边平方，，因，，故，B正确； 对于A，由得，因，故，A错误； 对于C，由，即，C正确； 对于D，由，则， ，D错误. 故选：BC. 11. 已知圆锥底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：最大时，截面面积最大，计算可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求最短距离可判断. 【详解】对于A选项，圆锥高，体积； 对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角； 对于C选项，截面面积， 当直径两端点为，，因为底面半径为1，故直径为2，小于母线长，故此时为锐角， 底面直径两端点，对应最大，又， 所以，故面积最大值为； 对于D选项，侧面展开图扇形圆心角， 在上且，则， 展开后扇形中，与 (对应底面同一点)的圆心角为，最短路径为线段， 由余弦定理：，故D错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分. 12. 某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】从教师中抽取的人数为30，则抽取学生的人数为， 该校学生人数为， 故答案为：． 13. 在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为___________________ 【答案】12 【解析】 【分析】作出几何图形，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解. 【详解】连接，延长至，使得，连接， 由分别是边的中点，得， 则四边形为平行四边形，， 在中，，则， 所以的面积. 故答案为：12 14. 已知平面，，，于，于，在上，且满足，则四面体与的外接球的体积比的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件中的几何关系，以及四面体与外接球的性质，分别求得四面体与的外接球的半径，再计算比值，即可求解体积比值. 【详解】设，则，，， 因为平面，平面，所以, 且，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以四面体的外接球的直径为，所以半径， 对四面体，， 因为，所以， 则是四面体的外接球的直径， 所以四面体的外接球半径为， 所以，只求的范围，设，则，，，则， 令，则，且， 在中，由余弦定理可知， ，则， 所以，则外接球的体积比的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据模的计算公式直接求解； （2）利用复数的除法进行计算； （3）设，根据条件列方程求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 设， 则，所以① ， 因为是纯虚数，所以② 由①②联立，解得 或 所以或． 16. 已知，，且与共线. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由与共线得，进而得，利用诱导公式即可求解； （2）由（1）知，由得，即可求解. 【小问1详解】 由与共线得：，则， ， ， 则. 【小问2详解】 由（1）知，，则 故或，或 17. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】（1）0.030； （2）79分； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第62百分位数计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以样本数据的第62百分位数在内，可得， 所以样本数据的第62百分位数为分； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为，落在的个数为， ，总方差. 18. 已知向量，，设函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）设，且，，求的值． 【答案】（1）π （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，结合周期公式计算即可； （2）由整体代入法求解即可； （3）首先求得，即，进一步结合的取值范围即可得解. 【小问1详解】 由题意可知： ， 由， 得的最小正周期为π． 【小问2详解】 由（1）知意， 令，， 即，． 所以的单调递增区间为 ，． 【小问3详解】 由题意 ， 又，所以， 又， 则，即． 又，即 所以，即， 故的值为． 19. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先用线面平行判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理即可； （2）先用线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的定义得出，结合，可得； （3）先找到直线与平面所成的角，用余弦定理求出，再根据线面垂直判定定理得出平面，找到棱锥的高，计算底面梯形的面积，最后根据锥体体积公式计算即可. 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， 又中平面，平面， 平面，又因为平面， 平面平面， 【小问2详解】 在等边中，为的中点， 侧面为矩形，． 又，平面 平面 平面， 又， . 【小问3详解】 过作的垂线，垂足为， 由（1）（2）可知平面， 平面 又平面， 又，且两直线在平面内， 平面， 又，则就是与平面所成的角， ， 在中由余弦定理可得， 所以，易知，即为的中点， ， 又且，且两直线在平面内， 平面， 四边形为梯形且， 平面， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安市2025年春季高一期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是关于方程的一个根，则的值为（ ） A. 10 B. C. 6 D. 2. 收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是（ ） A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 3. 复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 4. 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知、为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 7. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 利率% 1.55 150 1.75 175 1.55 1.85 1.65 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差为0.35 B. 平均数小于1.65 C. 中位数为1.65 D. 20%分位数为1.50 10. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A. 与夹角 B. C. D. 与夹角为 11. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分. 12. 某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为_______ 13. 在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为___________________ 14. 已知平面，，，于，于，在上，且满足，则四面体与的外接球的体积比的取值范围为________． 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 16. 已知，，且与共线. （1）求的值； （2）若，求值. 17. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 18. 已知向量，，设函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）设，且，，求的值． 19. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $