函数与方程讲义-2026届高三数学一轮复习

函数与方程 课前学习任务 一、必备知识 1．函数零点 (1) 概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的____，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2) 存在定理：①条件：(ⅰ) 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ) ____＜0． ②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 (1) 方法：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2) 步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证____，给定精确度ε； 第二步：求区间[a，b]的中点c； 第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 3．常用结论 (1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 二、练基础 1．(人A必一P143例1改)f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．(人A必一P155习题T4改)函数y＝－ln x　的零点所在区间是(　　) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 3．(人A必一P155习题T2改)(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 f(x) 136.136 15.552 －3.92 x 4 5 6 f(x) 10.88 －52.488 －232.064 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 4．(人A必一P160复习参考题T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c 5．(人A必一P160复习参考题T4改)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B． C．(1，＋∞) D．(0，1) 课堂核心考点 题组强化 考点一 零点所在区间的判定 例1　已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 变式1　函数f(x)＝ln (x－2)＋x－4的零点所在区间为(　　) A．(2，3) B．(3，4) C．(4，5) D．(5，6) 考点二 零点个数的判定 例2　已知函数f(x)＝则方程f2(x)－f(x)－6＝0的实根个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 变式2　已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　) A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点 B．当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点 C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 考点三 根据零点情况确定参数 视角1　根据零点个数求参数范围 例 3－1　已知函数f(x)＝g(x)＝x＋a，F(x)＝f(x)＋g(x)．若F(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 变式 3－1已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝(x＋a)2，若f(x)有且仅有3个零点，则关于x的不等式f(x)＞f的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．∪ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 视角2　根据零点所在区间求参数范围 例 3－2　已知函数f(x)＝3x－，若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，0) D． 变式 3－2　设函数f(x)＝x＋log2x－m，若函数f(x)在上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 课后提升练 1．函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【 2．(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314 A．f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B．f(x)在区间(5，6)内可能存在零点 C．f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D．f(x)至少有3个零点 3．若函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，则实数b的取值集合是____． 4．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝__1__，(x3－3)(x4－3)的取值范围是____． 答案解析 课前学习任务 1. 横坐标　f(a)·f(b)　f(c)＝0 2. (2) f(a)·f(b)<0 1. B　【解析】 因为函数的定义域为(0，＋∞)，f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)在(2，3)内有零点．又因为f(x)为增函数，所以函数f(x)有且只有1个零点． 2. B　【解析】 因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－ln x在(0，＋∞)上是减函数．又当x＝2时，y＝－ln 2>0；当x＝3时，y＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2，3). 3. BCD　【解析】 由所给的函数值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)内必有零点． 4. B　【解析】 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的图象，如图所示，由图象可知b>c>a. (第4题) 5. D　【解析】 令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1). 　　 (第5题) 课堂核心考点 例1　A　【解析】 因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(－2)·f(－1)<0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2. 变式1　B　【解析】 由条件知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，又f(3)＝－1<0，f(4)＝ln 2>0，根据零点存在定理知该函数的零点所在区间为(3，4). 例2　A　【解析】 由f2(x)－f(x)－6＝0，解得f(x)＝－2或f(x)＝3.当x<0时，令f(x)＝－2，解得x＝－1；令f(x)＝3，解得x＝>0(舍去).当x>0时，令f(x)＝－2，解得x＝－1＋或x＝－1－<0(舍去)；令f(x)＝3，解得x＝或x＝<0(舍去).综上，方程f2(x)－f(x)－6＝0的实根为x＝－1或x＝－1＋或x＝，即方程f2(x)－f(x)－6＝0的实根个数为3. 变式2　D　【解析】 作出y1＝|2x－1|，y2＝x2－4|x|＋2的大致图象如图所示，两个函数的零点个数转化为图象与y＝a的公共点的个数．由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点；当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点． (变式2) 例3-1　C　【解析】 由F(x)＝f(x)＋g(x)恰有2个零点，得函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a的图象有2个交点，画出函数图象如图所示，平移直线y＝－x，可以看出当－a≤1，即a≥－1时，直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象有2个交点． 　(例3-1) 变式3-1　A　【解析】 因为f(x)为偶函数，有且仅有3个零点，所以f(0)＝0，即(0＋a)(0－)2＝0，解得a＝0，所以当x≥0时，f(x)＝x(x－)2，所以f(x)的零点为－，0，，满足题意．又当x≥0时，f(x)＝x(x－)2＝x3－3x2＋x，f()＝.由f(x)>f()，得x3－3x2＋x－>0，即(x－)2(x－2)>0，解得x>2.又f(x)为偶函数，所以f(x)>f()的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 例3-2　B　【解析】 由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1).由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．因为函数y＝3x，y＝－在(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝，又g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是. 变式3-2　B　【解析】 由函数f(x)＝x＋log2x－m在(，8)上单调递增，且函数f(x)在(，8)上存在零点，则解得－<m<11. 课后提升练 1. B　【解析】 由题知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象如图所示．由图可知两个函数的图象有2个交点． (第1题) 2. ABD　【解析】 由所给表格可知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0.又函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上存在零点，即f(x)至少有3个零点，故D正确；对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确；对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但不知道函数在(5，6)内的取值情况，所以函数在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误． 3. {0}∪[1，＋∞)　【解析】 函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，即y＝|ex－1|的图象与直线y＝b只有1个交点．作出y＝|ex－1|的大致图象与直线y＝b如图所示，由图可知，实数b的取值集合是{0}∪[1，＋∞). 　　 (第3题) 4. 1　(0，27)　【解析】 作出函数f(x)＝的图象，如图所示．因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1<x2<x3<x4，所以由图可知，－log3x1＝log3x2，即x1x2＝1，＝9，且3<x3<6，所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－x＋18x3－45.因为y＝－x＋18x3－45在(3，6)上单调递增，所以0<y<27，即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27). (第4题) 学科网（北京）股份有限公司 $$