第13章 勾股定理 单元测试 2025—2026学年华东师大版数学八年级上册

华师大版（2024）八年级上册 第13章 勾股定理 单元测试 一、选择题 1.用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设（ ） A.四边形的外角中没有钝角 B.四边形的外角中有1个钝角 C.四边形的外角中有2个钝角 D.四边形的外角全部都是钝角 2.五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 3.下列各组数中，是勾股数的（    ） A.0.3，0.4，0.5 B.9，16，25 C.5，12，13 D.10，15，18 4.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（    ） A.北偏西50° B.南偏西50° C.南偏东40° D.北偏西40° 5.用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（　 　） A.a2＋b2＝c2 B.a2＋b2＞c2 C.a2＋b2＜c2 D.a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2 6.如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A.15秒 B.13.5秒 C.12.5秒 D.10秒 7.如图，在的方格纸，每个小正方形边长均为1，已知点A，B在方格顶点上，则长为（    ） A. B. C.2 D. 8.如图 ，点 A 表示的实数是（    ）    A. B. C. D. 9.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（    ） A.东偏南 B.北偏西 C.东偏南或西偏北 D.无法确定 10.如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形、然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…依此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑨的边长为（    ）． A. B. C.4 D.2 11.如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A. B. C. D. 12.如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.②③ 二、填空题 13.如图，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，再将该长方形纸片进行折叠，使长方形的两边均与重合，折痕分别为，；铺开后沿折叠，使点与上的点重合．连接，则的值为    ． 14.用反证法证明“若，则”时，应首先设             ． 15.某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为         米． 16.如图，中，，分别以、为斜边作等腰直角三角形、，以为边作正方形．若与的面积和为9，则正方形S的边长等于      ． 17.如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为      ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为      ． 三、解答题 18.如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积． 19.“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 20.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的顶点都在格点上，且三边的长分别为，，． (1)请在网格内画出； (2)的面积是_______．（在横线上直接写出计算结果） 21.2022年10月10日是辛亥革命111周年纪念日，龙腾社区开展了系列纪念活动．如图，有一块三角形空地，社区计划将阴影部分布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得，． (1)试说明． (2)求图中阴影部分的面积． 22.课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______； (2)当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； (4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______． 华师大版（2024）八年级上册 第13章 勾股定理 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设（ ） A.四边形的外角中没有钝角 B.四边形的外角中有1个钝角 C.四边形的外角中有2个钝角 D.四边形的外角全部都是钝角 【答案】D 【解析】第一步应假设：至少有4个钝角，即全部是钝角， 故选：D． 2.五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴C正确， ，A错误， ，B错误， D错误． 故选：C． 3.下列各组数中，是勾股数的（    ） A.0.3，0.4，0.5 B.9，16，25 C.5，12，13 D.10，15，18 【答案】C 【解析】A. ∵，但勾股数组必须是三个正整数，∴此选项不符合题意； B. ∵，∴此选项不符合题意； C. ∵，∴此选项符合题意； D. ∵，∴此选项不符合题意． 故选：C. 4.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（    ） A.北偏西50° B.南偏西50° C.南偏东40° D.北偏西40° 【答案】A 【解析】由题意得：（海里），（海里）， ，， ， ， ， 另一艘轮船的航行的方向是：北偏西， 故选：A． 5.用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（　 　） A.a2＋b2＝c2 B.a2＋b2＞c2 C.a2＋b2＜c2 D.a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2 【答案】A 【解析】根据题意得：应先假设a2＋b2=c2． 故选：A． 6.如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A.15秒 B.13.5秒 C.12.5秒 D.10秒 【答案】A 【解析】如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A. 7.如图，在的方格纸，每个小正方形边长均为1，已知点A，B在方格顶点上，则长为（    ） A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】由勾股定理可得：， 故选D． 8.如图 ，点 A 表示的实数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】点 A 表示的实数是1-． 故答案为C． 9.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（    ） A.东偏南 B.北偏西 C.东偏南或西偏北 D.无法确定 【答案】C 【解析】根据题意画出图形，然后在直角三角形中利用勾股定理逆定理解答． 根据题意，海里，海里， 又因为海里，， 所以， 根据勾股定理逆定理， 为直角三角形． 同理，为直角三角形． 所以， 又因为， 所以， ， 根据对顶角相等，， 则乙船的航向为东偏南或西偏北． 故选：C． 10.如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形、然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…依此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑨的边长为（    ）． A. B. C.4 D.2 【答案】C 【解析】根据题意：第一个正方形的边长为； 第二个正方形的边长为：cm； 第三个正方形的边长为：， …， 此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的， 所以第9个正方形的边长为， 故选C． 11.如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分三种情况： (1)经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． (2)经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． 比较(1)(2)（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为． 故选：C. 12.如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.②③ 【答案】A 【解析】，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故③正确； ，， ， 故④不正确， 故选：A． 二、填空题 13.如图，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，再将该长方形纸片进行折叠，使长方形的两边均与重合，折痕分别为，；铺开后沿折叠，使点与上的点重合．连接，则的值为    ． 【答案】 【解析】设， 由折叠得：，，， ，，， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 14.用反证法证明“若，则”时，应首先设             ． 【答案】 【解析】a，b的等价关系有两种情况，因而的反面是． 因此用反证法证明“”时，应先假设． 故答案为：． 15.某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为         米． 【答案】2 【解析】如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 16.如图，中，，分别以、为斜边作等腰直角三角形、，以为边作正方形．若与的面积和为9，则正方形S的边长等于      ． 【答案】6 【解析】分别以，为边向的外部作正方形，则，，由勾股定理可得，进而可求解的长． 分别以，为边向的外部作正方形， 则，， 在中， ， ， ， ， ． 故答案为6． 17.如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为      ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为      ． 【答案】8　12 【解析】当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解． 如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵成， ∴是直角三角形，由勾股定理，得 ∴； 当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图， ∵，于H，过点D作于F， ∴，， ∴， ∴ 由勾股定理，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：8；12． 三、解答题 18.如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积． 【答案】解　∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【解析】 19.“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 【答案】证明　五边形的面积为： ①， ②， ∴， ∴． 【解析】 20.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的顶点都在格点上，且三边的长分别为，，． (1)请在网格内画出； (2)的面积是_______．（在横线上直接写出计算结果） 【答案】解　(1)取格点、、，顺次连接各点， 在网格中，每个小正方形的边长均为， ∴， ， ， ∴就是所求的三角形． (2)， ∴的面积是， 故答案为：． 【解析】 21.2022年10月10日是辛亥革命111周年纪念日，龙腾社区开展了系列纪念活动．如图，有一块三角形空地，社区计划将阴影部分布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得，． (1)试说明． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】解　(1)，，， ， 是直角三角形，． (2)过点作于，如图： ， ，， ， 在中，， ， ． 【解析】 22.课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______； (2)当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； (4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______． 【答案】解　(1)∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…， ∴11，60，61； 故答案为：60，61． (2)观察发现：当（为奇数，且）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：； 证明如下： ∵， ∴， 又∵n为奇数，且， ∴n, 三个数组成的数是勾股数． (3)观察发现：当（为偶数，且）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，； 证明如下： ∵， ∴， 又∵n为偶数，且， ∴n, ，三个数组成的数是勾股数． (4)由勾股定理可得：， 当，则有: ，即， 当，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 当，解得：． 综上，c的值为25或52或101或29． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$