不等式（组）的应用 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版数学八年级上册

不等式（组）的应用 思维导图 知识要点： 1. 一元一次不等式（组）的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式 或不等式组，建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到 实际问题的答案。 2. 列不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）分析题意，找出不等关 系。（2）设未知数，列出不等式（组）。（3）解不等式（组）。 （4）从不等式（组）解集中找出符合题意的答案。（5）作答。 1. 列不等式解应用题需要以“至少”“最多”“不超过”“不低于”等词来 体现问题中的不等关系。因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖 掘其内涵。 2. 当问题中有多个不等关系时，可考虑列不等式组解决问题。 3. 列不等式（组）解决实际问题的步骤与列方程解决问题的步骤类似， 主要在于设元，并利用不等关系得到不等式（组），解不等式（组）或 将不等式进行适当的变形从而得到答案，常见的不等式应用问题主要 有：（1）作差法或作商法比较大小。（2）求代数式的取值范围或最 值。（3）利用缩放法、夹逼法对不等式进行变形。（4）列不等式 （组）解决生活实际中的方案设计、最值等问题。 知识点一：列一元一次不等式解应用题 某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔 和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买2支钢笔和5支自动铅笔共 需75元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元。 （1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元。 （2）经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅 笔的优惠，如果该班级需要自动铅笔的支数比钢笔的支数的2倍还多8 支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，那么该班级最多 可购买多少支该品牌的钢笔？ （1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定 价是y元，根据“购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元，购买3支钢笔和2 支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即 可得出结论。（2）设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买（2m+8） 支该品牌的自动铅笔，利用总价=单价×数量，结合总价少于670元，可 得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中 的最大整数值即可得出结论。 （1）设该品牌的钢笔每支的定价是x元，自动铅笔每支的定 价是y元。 根据题意得解得∴该品牌的钢笔每支的定价是25 元，自动铅笔每支的定价是5元。 （2）设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买（2m+8）支该品牌的自 动铅笔。 根据题意得25m+5（2m+8-m）<670，解得m<21。又∵m为正整数，∴m的最大值为20。∴该班级最多可购买20支该品牌的钢笔。 本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应 用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组。 （2）根据各数量之间的不等关系，正确列出一元一次不等式。 某校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一 题得4分，答错一题扣1分，不答记0分。 （1）某同学只有一道题未作答，最后得分86分，则该生一共答对多 少题？ 【答案】（1）设该生一共答对了x道题，则答错了25-x-1=（24-x）道题。由题意可得4x-（24-x）×1=86，解得x=22，∴该生一共答对了22道题。 （2）若规定参赛者必须每题作答且得分大于或等于90分，才可以评为 一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？ 【答案】（2）设参赛者需答对a道题才能获评一等奖。 由题意可得4a-（25-a）≥90，解得a≥23，∴参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖。 知识点二：列一元一次不等式组解应用题 为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角。七（1）班除了 班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新 书。下面是他们的对话内容： 班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据 我了解这套书进价只有100元。” 班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折。” 班委C：“嗯，是的。不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾 卡，买书打六折。” （1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 　　　　元，利润率 是 　　　　。如果当时他买一张会员卡，可省下 　　　　元。 （2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会 员卡购书一样优惠？ （3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买 方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围。 （1）利用利润=售价-进价，可求出图书城的利润；利用利 润率=100%，可求出利润率；利用节省的钱数=原价-（原价×折扣率+办卡费用），可求出购买会员卡后可节省的钱数。（2）当购书的总价为x元时，根据办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论。（3）当购书的总价为y元时，根据办 会员卡购书最省钱，可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出 结论。 （1）图书城的利润是160-100=60（元）；利润率是 ×100%=60%； 购买会员卡后可节省160-（160×0.8+20）=12（元）。故答案为60；60%；12。 （2）设购书的总价（指未打折前的原价）为x元。根据题意得 100+0.6x=20+0.8x，解得x=400。∴当购书的总价（指未打折前的原价）为400元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠。 （3）设购书的总价（指未打折前的原价）为y元。根据题意得 解得100<y<400。∴当购书的总价（指未打折前的原价）大于100元且少于400元时，办会员卡购书最省钱。 在实际问题中要理解各数量之间的关系，其中包括等量关系 和不等关系，关键在于抓住问题中的关键词以及其中的隐藏条件，尤其 是列不等式组解决问题时要找出所有不等关系是解题的难点。 某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如 表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 5 利润（万元/件） 1 2 （1）当A，B两种产品分别生产多少件时，工厂刚好获利14万元？ 【答案】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10-x）件。依题意 得x+2（10-x）=14，解得x=6，∴10-x=10-6=4。∴当生产A种产品6件，B种产品4件时，工厂刚好获利14万元。 （2）若工厂投入资金不多于44万元，要使工厂获利多于14万元，问工 厂有哪几种生产方案？ 【答案】（2）设生产A种产品m件，则生产B种产品（10-m）件。依题 意得解得3≤m<6。∵m为正整数，∴m可以取3， 4，5。∴工厂有3种生产方案，方案1：生产A种产品3件，B种产品7件； 方案2：生产A种产品4件，B种产品6件；方案3：生产A种产品5件，B种 产品5件。 （3）在（2）的条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润。 【答案】（3）方案1利润：1×3+2×7=17（万元）；方案2利润： 1×4+2×6=16（万元）； 方案3利润：1×5+2×5=15（万元）。∴工厂采用方案1即生产A种产品3 件，B种产品7件时获得的利润最大，最大利润为17万元。 某市园林部门为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共500棵，甲种 树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元。甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%。经研究，列出三种方案： 方案一：购买两种树苗共花费28000元； 方案二：要尽可能多买乙种树苗，但总价不超过30000元； 方案三：使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低。 每种方案购买的甲、乙两种树苗各多少棵？ 设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（500-x）棵。方案 一：根据甲、乙种树苗单价得出50x+80×（500-x）=28000，求出即可；方案二：根据要尽可能多买乙种树苗，但总价不超过30000元，列出不等式，求出即可；方案三：根据成活率得出x的取值范围，结合费用最 低即可求得答案。 设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（500-x）棵。 方案一：由题意得50x+80×（500-x）=28000，解得x=400，∴500- x=100。 ∴购买甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵。 方案二：由题意得50x+80×（500-x）≤30000，解得x≥。 ∵x是整数且x最小时，500-x的值最大，∴x=334，500-x=166。 ∴购买甲种树苗334棵，购买乙种树苗166棵。 方案三：由题意得≥92%，解得x≤300。 设购买两种树苗的费用之和为y元，则y=50x+80（500-x）=40000-30x。 ∴当x=300时，y取最小值，其最小值为40000-30×300=31000。 ∴购买甲种树苗300棵，购买乙种树苗200棵。 列不等式（组）解决实际问题，就是将现实生活中的事件与 数学思想联系起来，读懂题意列出不等式（组）即可求解，并要会根据 未知数的取值范围结合代数式的运算或变形求最值问题。 1. 新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售 时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打 （　C　） A. 六折 B. 七折 C. 七五折 D. 八折 2. 爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70 m（人员要撤 到70 m或70 m以外），已知人员撤离的速度是7 m/s，导火索的燃烧速 度是10.3 cm/s，为确保安全，这次爆破的导火索至少长（　D　） A. 100 cm B. 101 cm C. 102 cm D. 103 cm C D 3. 如图所示为测量一颗玻璃球体积的过程： ①将320 cm3的水倒进一个容量为500 cm3的杯子中； ②将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（　C　） A. 25 cm3以上，30 cm3以下 B. 30 cm3以上，33 cm3以下 C. 30 cm3以上，36 cm3以下 D. 33 cm3以上，36 cm3以下 C 4. 小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户 每月用水不超过5 m3，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5 m3，则超出部分每立方米收费2元。小颖家每月用水量至少是 　​ 　 m3。 5. 如图，点C位于A，B两点之间（不与点A，B重合），且点C对应的实 数为1-2x，则x的取值范围是 　​ 　。 ​ ​ 6. 小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂提供的套餐菜单，他们 一共点了10份盖饭，6杯饮料。若A，B，C套餐均至少点了两份，则点餐 方案有 ⁠种。 A套餐：一份盖饭加一杯饮料 B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 3 7. 商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一 次性购买不超过5件，则按原价付款；若一次性购买5件以上，则超过部 分按原价的八折付款。如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品 多少件？ 【答案】设小颖可以购买x件该商品。依题意得4×5+4×0.8（x-5）≤44，解得。 又∵x为正整数，∴x的最大值为12。∴小颖最多可以购买该商品12件。 8. 某药店购进一批A，B两种不同型号的口罩进行销售。下表是甲、乙两人在该药店购买A，B两种型号口罩的情况： A型号数量（单位： 个） B型号数量（单位： 个） 总售价（单位： 元） 甲 1 3 26 乙 3 2 29 （1）一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ 【答案】（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b 元。由题意得∴一个A型口罩的售价是5元， 一个B型口罩的售价是7元。 （2）药店准备再购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有几种购买方案？请写出所有的购买方案。 【答案】（2）设购买A型口罩x个，则购买B型口罩（50-x）个。∵A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，∴35≤x≤3（50-x），解得35≤x≤37.5。∵x为整数，∴x=35，36，37。∴有三种购买方案，方案一：购买A型口罩35个，购买B型口罩15个；方案二：购买A型口罩36个，购买B型口罩14个；方案三：购买A型口罩37个，购买B型口罩13个。 9. 如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为720 m。假设 公交车的速度是小明速度的5倍。若要保证小明不会错过这辆公交车， 则小明与A站之间的距离最大为（　B　） A. 100 m B. 120 m C. 180 m D. 144 m B 【解析】设小明与A站之间的距离为x m，小明的速度为v m/s（v>0）， 则公交车与A站之间的距离为（720-x） m，公交车的速度为5v m/s。根 据题意得，即5x≤720-x，解得x≤120，∴小明与A站之间的距离最大为120 m。故选B。 10. 若一个三角形的三边长分别为x cm，（x+1） cm，（x+2） cm，且它的周长不超过9 cm，则x的取值范围是 ⁠。 【解析】根据题意，可得解得1<x≤2。故答案为 1<x≤2。 1<x≤2 11. 小立和小达玩玻璃珠游戏，游戏规则如下：两人每次拿取的颗数不 能为0，且拿出的不放回，小立每次只能拿取9颗或（9-3m）颗玻璃珠， 小达每次只能拿取7颗或（7-m）颗玻璃珠，其中m为整数，且m>0。经 统计，小立拿取了11次玻璃珠，小达拿取了9次玻璃珠，并且小达至少 拿取了一次（7-m）颗玻璃珠，最终小立和小达拿取的玻璃珠数目相 等，那么这次游戏开始前，玩具箱中玻璃珠的总数最少有 ⁠颗。 90 【解析】设小立a次取（9-3m）颗玻璃珠，小达b次取（7-m）颗玻璃 珠，则小立（11-a）次取9颗玻璃珠，小达（9-b）次取7颗玻璃珠，则小立取（99-3am）颗玻璃珠，小达取（63-bm）颗玻璃珠。∴总共取玻璃珠颗数N=（99-3am）+（63-bm）=-m（3a+b）+162。由题意得0≤a≤11，1≤b≤9。∵。∴m=1或2。∵最终两人所取玻璃珠的总数恰好相等，∴99-3am=63-bm，即m（3a-b）=36。①当m=1时，3a-b=36，此时a，b无解。②当m=2时，3a-b=18，解得a=7，b=3或a=8，b=6或a=9，b=9。∴m（3a+b）=48或60或72。综上所述，∵N=-m（3a+b）+162，∴当m=2，a=9，b=9时，N最小=-72+162=90。故答案为90。 12. 在某市暑期篮球联赛中，月亮队与火炬队要争夺最后一个出线 权，月亮队目前的战绩是16胜14负，后面还要比赛6场；火炬队目 前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场。该篮球联赛的得分规则 为胜一场得1分，负一场不得分，所有参赛球队完成36场比赛后，得 分高者获得出线权。 （1）为确保出线，月亮队在后面的比赛中至少要胜多少场？ 【答案】（1）设月亮队还要胜利x场。由题意得16+x>15+5，解得x>4。∵x为整数，0≤x≤6，∴x=5或6。∴月亮队至少要胜5场。 （2）如果火炬队在后面的比赛中3胜2负，那么月亮队在后面的比赛中 至少要胜几场才能确保出线？ 【答案】（2）设月亮队还要胜利y场。由题意得16+y>15+3，解得y>2。∵y为整数，∴y的最小值为3。∴月亮队在后面的比赛中至少要胜3场。 （3）如果月亮队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么火炬队在后 面的比赛中的战果如何？ 【答案】（3）设火炬队在后面的比赛中胜m场。由题意得16+2<15+m，解得m>3。∵m为整数，0≤m≤5，∴m=4或5。∴火炬队在后面的比赛中的战果有两种可能：①4胜1负；②5胜0负。 13. 某自行车专卖店销售A，B两种型号的自行车，其进价与售价如 下表。 进价（元/辆） 售价（元/辆） A 200 260 B 150 200 （1）第一季度，自行车专卖店购进这两种型号的自行车共40辆，用去 了7250元，购进A，B两种型号的自行车各多少辆？ 【答案】（1）设购进A型号的自行车x辆，则购进B型号的自行车（40- x）辆。由题意得200x+150（40-x）=7250，解得x=25。∴40-x=15。∴购进A型号的自行车25辆，B型号的自行车15辆。 （2）为了满足市场需求，第二季度自行车专卖店决定用不超过8600元 的资金采购A，B两种型号的自行车共50辆，且A型号自行车的数量不少 于B型号自行车的数量的，自行车专卖店有哪几种进货方案？ 【答案】（2）设购进A型号的自行车m辆，则购进B型号的自行车（50- m）辆，m取整数。由题意得。∴m可以取值20，21，22，即有3种进货方案： ①购进A型号的自行车20辆，B型号的自行车30辆； ②购进A型号的自行车21辆，B型号的自行车29辆； ③购进A型号的自行车22辆，B型号的自行车28辆。 （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案自行车专卖 店赚钱最多。 【答案】（3）由表格可知：A型号自行车一辆可以赚60元，B型号自行 车一辆可以赚50元， 当采用方案①时，可以赚：60×20+50×30=2700（元）； 当采用方案②时，可以赚：60×21+50×29=2710（元）； 当采用方案③时，可以赚：60×22+50×28=2720（元）。 ∵2700<2710<2720，∴购进A型号的自行车22辆，B型号的自行车28辆时，自行车专卖店赚钱最多。 14. 某食堂在开晚餐前有a名同学在食堂排队等候买晚餐，开始卖晚餐 后，仍有学生前来排队买晚餐，设学生前来排队买晚餐的人数按固定速 度增加，食堂每个窗口卖晚餐的速度也是固定的，若开放一个窗口，则 需要40 min才可使排队等候的学生全部买到晚餐；若同时开放两个窗 口，则需要15 min就可以使排队等候的学生全部买到晚餐。 （1）写出开放一个窗口时，开始卖晚餐后窗口卖晚餐的速度y（人/分 钟）与每分钟新增加学生数x之间的关系。 【答案】（1）由题意得∴y与x之间 的关系为y=x。 （2）食堂为了提高服务质量，减少学生排队的时间，计划在8 min内让 排队等候的学生全部买到晚餐，以便后到的学生能随到随买，求至少需 要同时开放几个窗口。 【答案】（2）设同时开放m个窗口。由题意得m ⋅ 8y≥a+8x，即m ⋅ 8 ⋅ x≥60x+8x，解得m≥3.4。∵m为整数，∴m的最小值为4。∴至少需要同时开放4个窗口。 $$