3.3一元一次不等式及其解法 专题复习突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

一元一次不等式及其解法 思维导图 知识要点： 1. 凡是用不等号连接的式子都叫作不等式。常用的不等号有 “<”“>”“≤”“≥”“≠”。含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。 2. 不等式的基本性质及应用不等式的基本性质可以对不等式进行变形。 3. 根据不等式的基本性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一 次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合 并同类项；⑤系数化为1。 1. 不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或 同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即若a>b，则a±m>b±m； ②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即 若a>b，且m>0，则am>bm或；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即若a>b，且m<0，则am<bm或。 2. 不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体，叫作不等式的 解集，简称不等式的解。不等式的解是一些具体的值，可以有无数个； 不等式的解集是一个范围，用不等号表示。不等式的每一个解都在它的 解集的范围内。 3. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定边界点，一般在 数轴上只标出原点和边界点即可。定边界点时要注意，点是实心还是空 心，若边界点含于解集则为实心点，若不含于解集则为空心点。二是定 方向，定方向的原则是“小于向左，大于向右”。 4. 解一元一次不等式的步骤中，只有①去分母和⑤系数化为1可能用到 性质3，即可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。 知识点一：不等式及不等式的解集 已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图，把a，-a， b，-b按照从小到大的顺序排列，用不等式可表示 为 　　　　　　　　。 观察数轴，可知a<0<b，且 | a | >b，进而可得出a<-b<b<-a。 观察数轴，可知a<0<b，且 | a | >b，∴a<-b<0<b<-a。 ∴a<-b<b<-a。故答案为a<-b<b<-a。 本题考查不等式以及数轴，在数轴上，互为相反数的两个数 所表示的点关于原点对称，同时，在数轴上，一般情况下右边的数总比 左边的大，由此可找出a，b之间的大小关系。 某市2024年8月1日的气温是t ℃，这天的最高气温是35℃， 最低气温是23℃，则当天该市气温t的变化范围是（　D　） A. t>35 B. t<23 C. 23<t<35 D. 23≤t≤35 D 知识点二：不等式的基本性质 阅读下面解题过程，再解题。 已知a>b，试比较-2027a+1与-2027b+1的大小。 ∵a>b，① ∴-2027a>-2027b。② ∴-2027a+1>-2027b+1。③ 问：（1）上述解题过程中，从第 　　　　步开始出现错误。 （2）错误的原因是什么？ （3）请写出正确的解题过程。 （1）（2）根据不等式的基本性质，即可得知哪一步开始出 现错误，同时能够得到错误原因。（3）当不等式两边同时乘同一个负 数时，不等号方向改变，据此结合不等式的基本性质一步步计算即可得 到正确结果。 （1）② （2）错误原因：不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向需要改 变，但本题求解过程中没有变号。 （3）正确解题过程：∵a>b，∴-2027a<-2027b。 ∴-2027a+1<-2027b+1。 本题考查不等式的基本性质，正确理解并应用不等式的基本 性质是解题的关键。 阅读下面的材料： 小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若A-B>0，则A>B； 若A-B=0，则A=B； 若A-B<0，则A<B。 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与2-的大 小。 ∵-（2-）=-2+=2-2>0， ∴ 2-。 回答下面的问题： （1）请完成小明的解题过程。 > （2）试比较2（2a2-ab+7）与-3a2-2ab+7的大小（写出相应的解答过程）。 【答案】（2）2（2a2-ab+7）-（-3a2-2ab+7）=4a2-2ab+14+3a2+2ab-7=7a2+7，∵a2≥0，∴7a2+7>0。∴2（2a2-ab+7）-（-3a2-2ab+7）>0。∴2（2a2-ab+7）>-3a2-2ab+7。 知识点三：解一元一次不等式 已知关于x的方程2x-a=3。 （1）若该方程的解满足x>1，求a的取值范围。 （2）若该方程的解是不等式3（x-2）+5<4（x-1）的最小整数解，求a的值。 （1）首先要解这个关于x的方程，求出方程的解，根据方程 的解满足x>1，可以得到一个关于a的不等式，就可以求出a的范围。 （2）首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数 值，代入方程求得a的值即可。 （1）解方程2x-a=3，得x=。∵该方程的解满足x>1， ∴>1，解得a>-1。 （2）解不等式3（x-2）+5<4（x-1）， 去括号，得3x-6+5<4x-4， 移项，得3x-4x<-4+6-5， 合并同类项，得-x<-3， 系数化为1，得x>3。 ∴该不等式的最小整数解是4。 把x=4代入2x-a=3，得8-a=3，解得a=5。 本题考查一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，掌握 解一元一次不等式的一般步骤并解不等式求得x的值是关键。 解不等式： （1）3（x+2）-1≥8-2（x-1）。 【答案】（1）x≥1。 （2）<1-。 【答案】（2）x>4。 对于任意有理数a，b，c，d，规定，已知 。 （1）用含x的代数式表示y。 （2）若y+3x≥k的正整数解只有3个，求k的取值范围。 （1）根据规定得出方程4x+y=5，即可求出y=-4x+5。（2）把y=-4x+5代入y+3x≥k得到关于x的不等式，解不等式得到x≤-k+5，根据题意得3≤-k+5<4，解得1<k≤2。 （1）∵，∴4x+y=5。∴y=-4x+5。 （2）∵y+3x≥k的正整数解只有3个，∴-4x+5+3x≥k，即x≤-k+5的正整数解只有3个。∴3≤-k+5<4。∴1<k≤2。 本题考查解一元一次不等式的整数解、有理数的混合运算， 能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键。 1. 不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（　C　） A. B. C. D. 2. 如果a>b，那么下列各式中正确的是（　A　） A. a+1>b+1 B. 3a<3b C. -a>-b D. C A 3. 在-1，0，1，中，能使不等式2x-1<x成立的数有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列变形错误的是（　C　） A. 由2x+b≥y，可得2x-y≥-b B. 由，可得x<5 C. 由ax>-a（a<0），可得x<1 D. 由-ax>-a（a<0），可得x>1 C C 5. 根据“x的2倍与1的差不小于3”，可列出不等式： ⁠。 6. 若x>y，且（a+3）x<（a+3）y，则a的取值范围是 ⁠。 7. 不等式的非负整数解共有 ⁠个。 2x-1≥3 a<-3 6 8. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来： （1）4x-2>3x-1。 【答案】（1）移项，得4x-3x>-1+2，合并同类项，得x>1。在数轴上表示为： （2）。 【答案】（2）去分母，得2（2x-1）-3（5x+1）≥6，去括号，得4x-2-15x-3≥6，移项，得4x-15x≥6+2+3，合并同类项，得-11x≥11， x的系数化为1，得x≤-1。在数轴上表示为： 9. 在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为a★b=2a-3b，如： 1★5=2×1-3×5=-13。 （1）计算：4★2= 　　　　。 【答案】（1）4★2=2×4-3×2=8-6=2。故答案为2。 （2）求不等式x★2<4★x的正整数解。 【答案】（2）∵x★2<4★x，∴2x-6<8-3x，解得。 ∴不等式的正整数解是1，2。 10. 对于一个非整数的有理数x（x≠n+0.5，n为整数），我们规定：（x）表示不大于x的最大整数，[x]表示不小于x的最小整数，{x}表示最接近x的整数。例如：（3.14）=3，[3.14]=4，{3.14}=3，则使3（x） +2[x]+{x}=20成立的x的取值范围是（　A　） A. 3<x<3.5 B. 3.5<x<4 C. 3<x<4且x≠3.5 D. 以上答案都不对 A 【解析】当n<x<n+0.5（n为整数）时，3（x）+2[x]+{x}=3n+2 （n+1）+n=6n+2，∴6n+2=20，解得n=3。∴3<x<3.5满足题意。当n+0.5<x<n+1（n为整数）时，3（x）+2[x]+{x}=3n+2（n+1）+（n+1）=6n+3，∴6n+3=20，解得n=。∵n为整数，∴不合题意，舍去。∴3<x<3.5。故选A。 11. 已知x-y=4。 （1）当x>3时，y的取值范围是 ⁠。 【解析】（1）∵x-y=4，∴x=y+4。∵x>3，∴y+4>3。∴y>3-4，即y>-1。故答案为y>-1。 y>-1 （2）当x>3，y<1，S=x+y时，S的取值范围是 ⁠。 【解析】（2）∵x-y=4，∴x=y+4。∴S=x+y=y+4+y=2y+4。 由（1）知y>-1，又∵y<1，∴-1<y<1。∴-2<2y<2。 ∴2<2y+4<6，即S的取值范围是2<S<6。故答案为2<S<6。 12. 当m 时，关于x的方程x-1=6m+5（x-m）的解是非负数。 13. 阅读材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义：当a<b 时，min{a，b}=a；当a≥b时，min{a，b}=b。如min{1，-2}=-2，min{5，5}=5。根据上面的材料回答问题： 2<S<6 ≤-1 （1）min{-1，2}= 　　　　。 【答案】（1）-1 （2）当时，求x的取值范围。 【答案】（2）∵。 14. 在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为a⊕b=2a- （a+b），如1⊕5=2×1-×（1+5）=-7。 （1）若x⊕4=0，则x= 　　　　。 【答案】（1）∵a⊕b=2a-（a+b），∴x⊕4=2x- -6。∵x⊕4=0，∴-6=0，解得x=12。故答案为12。 （2）解不等式：x⊕6>3。 【答案】（2）由x⊕6>3，可得2x-（x+6）>3，解得x>24。 （3）求不等式x⊕2>（-2）⊕（x+4）的负整数解。 【答案】（3）∵a⊕b=2a-（a+b），∴x⊕2=2x- x-7。∵x⊕2>（-2）⊕（x+4），∴，解得x>-2。∴不等式的负整数解为-1。 15. 已知正整数a，b，c满足a<b<c，且ab+bc+ca=abc。 （1）求证：ab+bc+ac<3bc。 【答案】（1）∵1≤a<b<c，∴ab+bc+ac<bc+bc+bc=3bc。 （2）求所有符合条件的a，b，c。 【答案】（2）∵abc=ab+bc+ac<3bc，∴a<3。∴a=1或2。 当a=1时，b+bc+c=bc，∴b+c=0，这与b，c为正整数矛盾。 当a=2时，2b+bc+2c=2bc，∴bc-2b-2c=0。 ∴（b-2）（c-2）=bc-2b-2c+4=4。 ∵2<b<c，∴0<b-2<c-2。∴b-2=1，c-2=4。 ∴b=3，c=6。∴符合条件的只有一组：a=2，b=3，c=6。 $$