勾股定理 期末复习专题突破课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

勾股定理 思维导图 知识要点： 1. 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等 于斜边长的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形。 1. 勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。勾股定理最常用的是已 知直角三角形的两边求第三边，公式a2+b2=c2的变形有：a=， b=及c=。 2. 由于a2+b2=c2>a2，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。也可以根据垂线段最短得到直角三角形的 斜边最长。 3. 直角三角形的判定有以下几种方法：（1）根据定义：有一个角是直 角的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角 形。（3）根据斜边中线性质的逆定理。（4）根据勾股定理的逆定理。 4. 勾股定理的证明方法有很多种，先利用剪拼图的方法，然后再利用面 积相等证明勾股定理是最常见的方法。 5. 勾股定理是几何中线段长度计算最常用的方法，运用勾股定理进行几 何计算通常先找到或构造直角三角形，然后利用勾股定理这一等量关系 结合方程思想进行计算，同时注意结合面积法可以使方法更灵活多变。 知识点一：勾股定理计算线段长度 如图，每个小正方形的边长都是1。 （1）求四边形ABCD的周长。 （2）判断AD与CD的位置关系并说明理由。 （1）根据勾股定理分别求出每条边的长度，相加即可。 （2）连结AC，由AC，AD，CD三条线段之间的数量关系及勾股定理的逆定理判断即可。 （1）∵，，，，∴四边形ABCD的周长=。 （2）AD⊥CD。理由如下：连结AC。∵AC2=52=25，， ∴AC2=AD2+CD2。∴△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°。 ∴AD⊥CD。 本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股 定理及其逆定理。 如图，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，若AC=， 求AD的长。 【答案】设OA=x，则OB=BC=CD=x。∵∠AOC=90°，AC=）2，解得x=1（负值已舍）。∴AD=。 知识点二：勾股定理在生活实际中的应用 如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度 为0.6 m，将秋千AD往前推送3 m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离 地的垂直高度为1.6 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态。 （1）根据题意，BF= 　　　　 m，BC= 　　　　 m，CD= 　　　　 m。 （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度。 （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6 m，需要将秋千AD往前推送多 少米？ （1）由题意得BF=1.6，BC=3，DE=0.6，由于四边形BCEF是长方形，可得CE=BF=1.6，则CD=CE-DE=1。（2）设秋千的长度为x m，则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-1） m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可。（3）当BF=2.6时，CE=2.6，则CD=CE-DE=2，得AC=AD-CD=3，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可。 （1）1.6 3 1 （2）∵BC⊥AC，∴∠ACB=90°。 设秋千的长度为x m，则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-1） m。 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5， ∴秋千的长度是5 m。 （3）当BF=2.6时，CE=2.6，∵DE=0.6，∴CD=CE-DE=2.6-0.6=2。 由（2）可知，AD=AB=5，∴AC=AD-CD=5-2=3。 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ∴需要将秋千AD往前推送4 m。 本题考查勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理结合 方程思想求出秋千的长度是解题的关键。 如图，在笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A， B。其中AB=AC，因C地到景点A的路不通，为方便游客，决定在河边新 建一个景点H（A，H，B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得 BC=10 km，CH=8 km，BH=6 km。 （1）判断△BCH的形状，并说明理由。 【答案】（1）△BCH是直角三角形。理由如下： 在△BCH中，∵CH2+BH2=82+62=100，BC2=100， ∴CH2+BH2=BC2。∴△BCH是直角三角形且∠CHB=90°。 （2）求原路线AC的长。 【答案】（2）设AC=AB=x km，则AH=AB-BH=（x-6）km。 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，由勾股定理得 AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-6）2+82，解得 km。 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，若点P从点A出发，以每秒4 cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t s（t>0）。 （1）若点P在AC上，且满足△BCP的周长为14 cm，求此时t的值。 （2）若点P在BC上，且在∠BAC的平分线上，求此时t的值。 （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形。 （1）求出AC的长，用含t的代数式表示PC的长，根据勾股定 理列方程即可得到t的值。（2）过点P作PE⊥AB，设CP=x cm，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可。（3）分类讨论：当 BP=BC时，当CP=CB时，当PC=PB时，结合等腰三角形的性质和勾股定理计算即可。 （1）如图1，由题意得AP=4t。∵∠ACB=90°，∴，则CP=8-4t。 ∵△BCP的周长为14，∴BP=14-6-（8-4t）=4t。 在Rt△BCP中，由勾股定理得62+（8-4t）2=（4t）2，解得t=。 （2）如图2，过点P作PE⊥AB于点E。∵点P在∠BAC的平分线上，∴∠CAP=∠EAP。 ∵∠C=∠AEP=90°，AP=AP，∴△ACP≌△AEP（AAS）。 ∴CP=EP，AE=AC=8。∴BE=2。 设CP=x cm，则BP=（6-x） cm，PE=x cm。 在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，∴22+x2=（6-x）2，解得x=。 ∴CP=。∴CA+CP=8+=。∴t=÷4=。 （3）①如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形， ∴AC+CB+BP=8+6+6=20。∴t=20÷4=5。 ②当CP=CB=6时，△BCP为等腰三角形，如图4，若点P在CA上，则4t=8-6，解得t=。如图5，若点P在AB上，过点C作CD⊥AB于点D， ∴CD==4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=3.6，∴PB=2BD=7.2。在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=3.6，∴PB=2BD=7.2。 ③如图6，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，∵PC=PB， ∴∠PCB=∠B。 ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACP+∠PCB=90°。 ∴∠A=∠ACP。 ∴AP=PC=BP=AB=5。∴AC+CB+BP=8+6+5=19。 ∴t=19÷4=。 综上所述，当t为 s或 s或5 s或5.3 s时， △BCP为等腰三角形。 本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股 定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应 用，解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形，方程思想和 分类讨论是解答本题最重要的思想方法。 1. 勾股定理在《九章算术》中的表述为：“勾股术曰：勾股各自乘，并 而开方除之，即弦”，即c=（a为勾，b为股，c为弦），若“勾” 为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数为（　B　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 2. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD是△ABC的角平分线，则AD的长为（　C　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 C 3. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均 为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线于点D，则CD的长 为（　C　） A. B. C. D. C 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若 正方形A，B，C，D的面积分别是6，10，4，6，则最大正方形E的面积 是（　B　） A. 20 B. 26 C. 30 D. 52 B 5. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中涂色部分的面积为9 cm2，BC=4 cm，则AB= cm。 5 6. 已知直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同 的直角三角形拼成如图所示的正方形，则涂色部分的面积为 ⁠。 120 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上的点，若BD=2，DC=3，则AB2-AD2的值为 ⁠。 16 8. 如图，在离水面高度为8 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳 子BC的长为17 m，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10 m，则船向岸边移动了 m。 9 9. 规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70 km/h。如图，一 辆小汽车在一条城市街路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车 速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，小汽车行驶到点B，测得 小汽车与车速检测仪间的距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？（参考数 据：1 m/s=3.6 km/h） 【答案】在Rt△ABC中，AC=30，AB=50，根据勾股定理可得 BC==40，∴小汽车的速度v==20（m/s）。∵20 m/s=72 km/h，72>70，∴这辆小汽车超速行驶。 10. 细心观察右图，认真分析下列各式，然后解答问题： （）2+1=2，S1=； （）2+1=3，S2=； （）2+1=4，S3=； ⋯ （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化的规律。 【答案】（1）由题意得（。 （2）推算出OA5= 　　　　，OA10= 　　　　，S4= 　　　　， S9= 　　　　。 【答案】（2） （3）求出++…+的值。 【答案】（3） 。 11. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底 端到左墙角的距离BC为0.7 m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m。如果 保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为1.5 m，则小巷的宽为（　D　） A. 2 m B. 2.5 m C. 2.6 m D. 2.7 m D 12. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于点D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（　D　） A. 29 B. 32 C. 36 D. 45 【解析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）=AC2-AB2=45。故选D。 D 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的三边为边向外分别作正方形ACDE、正方形CBGF、正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1=4，S2=7，则S△ACP∶S△BCP= ⁠。 ∶3 【解析】如图，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M， 作PN⊥CA，交CA的延长线于点N。由题可得∠BCG=45°。∵CP⊥CG，∴∠BCP=45°。又∵∠ACB=90°，∴∠ACP=45°，即CP平分∠ACB。 又∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴PM=PN。∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1=4，S2=7，∴AC=2，AB=。在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=。 ∴。∴S△ACP∶S△BCP等于2∶3。 14. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，F是BC的中点，AF=12，D是AB的中点，DE⊥AC于点E。 （1）求BF的长。 【答案】（1）∵AB=AC=13，F是BC的中点，∴AF⊥BC，BF=CF。 ∵AF=12，∴。 （2）直接写出DE的长。 【答案】（2）连结CD。∵BF=CF=5，∴BC=10。∴S△ABC=BC ⋅ AF=60。∵AD=BD，∴S△ADC=S△BCD=。 15. 在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连结BD，DC，延长DC到点E，使CE=DC。 （1）如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连结AF，EF。若AF⊥EF，求证：BD⊥AF。 【答案】（1）在△BCD和△FCE中∵∴△BCD≌△FCE（SAS）。∴∠DBC=∠EFC。∴BD∥EF。∵AF⊥EF，∴BD⊥AF。 （2）连结AE，交BD的延长线于点H，连结CH，依题意补全图2。若 AB2=AE2+BD2，求证：AB2=AH2+BH2。 【答案】（2）依题意补全图形如图，延长BC到点F，使 CF=BC，连结AF，EF。∵AC⊥BF，BC=CF。∴AB=AF。由（1）可知BD∥EF，BD=EF。∵AB2=AE2+BD2，∴AF2=AE2+EF2。 ∴∠AEF=90°。∴AE⊥EF。∵BD∥EF，∴BD⊥AE。∴∠AHB=90°。∴AB2=AH2+BH2。 16. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽 象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一 些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和 解释。 （1）如图1所示为一个重要公式的几何解释，请写出这个公式。 【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2。 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以Rt△ABC的三边长为边向外作正方形，正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论。 【答案】（2）S1+S2=S3。 （3）如图3，如果分别以Rt△ABC的三边长为直径向外作半圆，那么第 （2）问的结论是否成立？请说明理由。 【答案】（3）成立。理由如下：设AB=c，AC=b，BC=a。 ∵∠ACB=90°，∴a2+b2=c2。 由题意得S1=，∴S1+S2=S3。 （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中涂色部分的面积。 【答案】（4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积和等 于以斜边为直径的半圆面积。 ∴涂色部分的面积=直角三角形面积。 ∴涂色部分的面积为5×12÷2=30。 $$