1.5.2 等边三角形 同步提升2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第 1页（共 5页） 1.5.2 等边三角形 同步提升 一．选择题（共 10 小题） 1．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点 D为 边 AB的中点，点 A，B对应的刻度为 1，7，则 CD等于（ ） A．6cm B．4cm C．3cm D．3.5cm 2．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边 AC上的中线．若∠A＝40°，则∠DBC＝（ ） A．40° B．45° C．50° D．55° 第 2题 第 2题 第 3题 3．如图，将等边△APQ的边 PQ向两边延长，使 PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（ ） A．120° B．110° C．100° D．90° 4．已知直角三角形中 30°角所对的直角边长是 2 3cm，则斜边的长是（ ） A．4cm B．4 3cm C．6cm D．6 3cm 5．下列说法中，正确的有（ ）个． ①有一个外角为 120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为 a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A．有两个角等于 60°的三角形 B．一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C．有一个角等于 60°的等腰三角形 D．三个外角都相等的三角形 第 2页（共 5页） 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则 AD的长为（ ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 8．如图，在边长为 6的等边△ABC中，BD是 AC边上的中线，延长 BC至点 E，使 CE＝CD，连接 DE， 则 DE＝（ ） A．3 B．4 C．3 3 D．4 3 第 7题 第 8题 第 9题 9．如图，已知∠AOB＝60°，点 P在边 OA上，OP＝12，点 M，N在边 OB上，PM＝PN，若 MN＝2， 则 OM的长度是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图 1，对折长方形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，再展开，折痕为 EF．如图 2，再折叠一角，使 点 A落在 EF上的 A1处，得到折痕 BG，延长 GA1交 BC于点 H．则下列结论：①∠BGA＝60°；② ∠BGA1＝45°；③3GH＝4EA1；④△BHG是等边三角形．正确的是（ ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共 8 小题） 11．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ °． 12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为 BC的中点，DE⊥AB于点 E，若 AE＝2，则 BE的长为 ． 第 11题 第 12题 第 13题 第 3页（共 5页） 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰 AB的垂直平分线与底边 BC交于点 D，垂足为点 E， BD＝4cm，则边 BC的长度为 ． 14．如图，AD是等边三角形 ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝ ． 第 14题 第 15题 第 16题 第 17题 15．如图，△ABC是等边三角形，点 D是 AB边上一点，过点 D作 DE⊥BC，垂足为点 E，直线 DE与 CA 的延长线相交于点 F．若 BD＝4cm，AF＝3cm，则 EC的长为 cm． 16．如图，点 A，D在 BC同侧，AB＝BC＝CA，BD＝CD，∠BDC=90°,则∠ABD＝ ． 17．如图，△ABC是等边三角形，点 D在边 AC上，点 E在 AB延长线上，若 ED⊥AC 交 BC于 P，且 AD＝4，BP＝2，则 PC＝ ． 18．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为 1.6米的梯子（图中 CM）斜靠在墙上， 此时梯子的倾斜角为 75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图 中 CN）的倾斜角为 45°，那么 MN的长是 米． 第 18 题 三．解答题 19．如图，在等边△ABC中，点 D，E分别在边 BC，AC上，且 DE∥AB，过点 E作 EF⊥DE，交 BC的 延长线于点 F． （1）求证：CE＝CF； （2）若 CD＝6，求 DF的长． 第 4页（共 5页） 20．在等边三角形 ABC中，点 E在 AB边上，点 D在 CB的延长线上，且 DE＝EC． （1）如图 1，当 E为 AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图 2，若 AB＝12，AE＝2，求 CD的长． 21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为 G，且 AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分 别交边 AB，AC于点 E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 22．如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于 E，且 D、E分别是 AB、AC的中点，延长 BC至点 F，使 CF ＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． 第 5页（共 5页） 23．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点 M，BN⊥AC于点 N，连接 MN． （1）证明：AB＝BC； （2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 24．如图，△ABC是等边三角形，点 D在边 AB上，DE∥BC交 AC于点 E． （1）求证：BD＝CE； （2）如图 2，点 F在 DE上，△AFG是等边三角形，FG交 AC于点 H，连接 BF，CG， 求证：△ABF≌△ACG； （3）在（2）的条件下，△AGH与△AFH的面积之比是 1：2，求 EF：DE的值． 答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B B B B C B C 二．填空题 11．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　85　 °． 解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝25°， ∴∠EAC＝∠BAC+∠1＝85°， ∵光线AE∥CF， ∴∠2＝∠EAC＝85°． 故答案为：85°． 12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE＝2，则BE的长为　6　 ． 解：连接AD，如图所示： ∵AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵D为BC的中点， ∴∠BAD∠BAC＝60°，AD⊥BC， ∴∠ADE＝30°， ∵DE⊥AB于点E， ∴AD＝2AE＝4， ∴BA＝2AD＝8， ∴BE＝AB﹣AE＝6， 故答案为：6． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分线与底边BC交于点D，垂足为点E，BD＝4cm，则边BC的长度为　12cm　 ． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB＝4cm， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°， ∴CD＝2AD＝8（cm）， ∴BC＝CD+BD＝12（cm）， 故答案为：12cm． 14．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　15°　 ． 解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC60°＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为：15°． 15．如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F．若BD＝4cm，AF＝3cm，则EC的长为 　5　 cm． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠CEF＝90°， ∴∠BDE＝∠F＝30°， ∵BD＝4cm， ∴BEBD＝2cm， ∵∠ADF＝∠BDE＝30°， ∴∠ADF＝∠F， ∴AD＝AF＝3cm， ∴BC＝AB＝AD+BD＝7cm， ∴EC＝BC﹣BE＝5（cm）． 故答案为：5． 16．如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA，BD＝CD，∠CAB=90°，则∠ABD＝　15°　 ． 【解答】解： ∵AB＝BC＝CA， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=60°， ∵BD＝CD，∠CAB=90° ∴∠DBC=∠DCB=45° ∴∠ABD＝15° 17．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，点E在AB延长线上，若ED⊥AC交BC于P，且AD＝4，BP＝2，则PC＝ 　4　 ． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠ABC＝60°，AB＝BC， ∵ED⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠CAB＝30°， ∵AD＝4， ∴AE＝2AD＝8， ∵∠ABC是△BPE的一个外角， ∴∠BPE＝∠ABC﹣∠E＝30°， ∴∠BPE＝∠E＝30°， ∴BP＝BE＝2， ∴AB＝BC＝AE﹣BE＝8﹣2＝6， ∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 18．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中CN）的倾斜角为45°，那么MN的长是 　1.6　 米． 解：由条件可知∠MCN＝180°﹣∠ACM﹣∠BCN＝60°， ∵CM＝CN， ∴△CMN为等边三角形， ∴MN＝CM＝1.6米， 故答案为：1.6． 三．解答题 19．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求证：CE＝CF； （2）若CD＝6，求DF的长． （1）证明：∵∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°，∠CED＝∠A＝60°， ∵EF⊥ED， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°，∠CEF＝90°﹣∠CED＝30°， ∴∠F＝∠CEF＝30°， ∴CE＝CF； （2）解：∵∠EDC＝∠CED＝∠DCE＝60°， ∴CE＝CD＝6， ∴CF＝CE＝6， ∴DF＝DC+CF＝12． 20．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°， ∵EB＝AE， ∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°， ∴2EB＝BC， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°， ∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°， ∴BD＝BE， ∴2BD＝BC； （2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC， 在△BDE和△FEC中， ， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD， ∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． 21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． （1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 22．如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． （1）解：∵BE⊥AC于E，E是AC的中点， ∴△ABC是等腰三角形，即AB＝BC， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°； （2）∵CF＝CE， ∴∠F＝∠CEF， ∵∠ACB＝60°＝∠F+∠CEF， ∴∠F＝30°， ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴∠EBC＝30°， ∴∠F＝∠EBC， ∴BE＝EF． 23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN． （1）证明：AB＝BC； （2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 证明：（1）在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD． ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC． （2）∵∠CAB＝30°， ∴∠BCA＝∠ACD＝∠CAB＝30°， ∵AM⊥CD于点M， ∴∠MAC+∠ACD＝90°，， ∴∠MAC＝60°， ∵AB＝BC，BN⊥AC于点N， ∴， ∴AN＝AM， ∴△AMN是等边三角形． 24．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，点F在DE上，△AFG是等边三角形，FG交AC于点H，连接BF，CG，求证：△ABF≌△ACG； （3）在（2）的条件下，△AGH与△AFH的面积之比是1：2，求EF：DE的值． （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， 即BD＝CE； （2）证明：∵△ABC和△AFG都是等边三角形， ∴∠BAC＝∠FAG＝60°，AF＝AG， ∴∠BAF＝∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（SAS）； （3）解：如图2，连接EG， 在△ADF和△AEG中， ， ∴△ADF≌△AEG（SAS）， ∴S△ADF＝S△AEG， ∵△AGH与△AFH的面积之比是1：2， ∴， ∴△EHG与△EHF的面积之比是1：2， ∴△AEG与△AEF的面积之比是1：2， ∴△ADF与△AEF的面积之比是1：2， ∴EF：DE＝2：1， 即EF：DE的值是2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/12 17:13:45；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.2 等边三角形 同步提升 一．选择题（共10小题） 1．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD等于（　　） A．6cm B．4cm C．3cm D．3.5cm 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线．若∠A＝40°，则∠DBC＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 第2题 第2题 第3题 3．如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 4．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是（　　） A．4cm B．4cm C．6cm D．6cm 5．下列说法中，正确的有（　　）个． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个角等于60°的三角形 B．一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C．有一个角等于60°的等腰三角形 D．三个外角都相等的三角形 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 8．如图，在边长为6的等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，则DE＝（　　） A．3 B．4 C． D． 第7题 第8题 第9题 9．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长度是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，再展开，折痕为EF．如图2，再折叠一角，使点A落在EF上的A1处，得到折痕BG，延长GA1交BC于点H．则下列结论：①∠BGA＝60°；②∠BGA1＝45°；③3GH＝4EA1；④△BHG是等边三角形．正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共8小题） 11．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　 　 °． 12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE＝2，则BE的长为　 　 ． 第11题 第12题 第13题 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分线与底边BC交于点D，垂足为点E，BD＝4cm，则边BC的长度为　 　 ． 14．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　 　 ． 第14题 第15题 第16题 第17题 15．如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F．若BD＝4cm，AF＝3cm，则EC的长为 　 　 cm． 16．如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA，BD＝CD，∠BDC=90°,则∠ABD＝　 　 ． 17．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，点E在AB延长线上，若ED⊥AC交BC于P，且AD＝4，BP＝2，则PC＝ 　 　 ． 18．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中CN）的倾斜角为45°，那么MN的长是 　 　 米． 第18题 三．解答题 19．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求证：CE＝CF； （2）若CD＝6，求DF的长． 20．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 22．如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． 23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN． （1）证明：AB＝BC； （2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 24．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，点F在DE上，△AFG是等边三角形，FG交AC于点H，连接BF，CG， 求证：△ABF≌△ACG； （3）在（2）的条件下，△AGH与△AFH的面积之比是1：2，求EF：DE的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$