第二章 直线与圆的位置关系 单元测试2024-2025学年浙教版数学九年级下册

浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试 一、选择题 1.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，延长OD，与直线BC相交于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 2.如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.包含 3.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 4.如图，在△ABC中，，I是△ABC的内心，连接BI、CI，则∠BIC的度数是（　　） A.110° B.120° C.130° D.140° 5.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.无法确定 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若⊙C与直线AB相交，则⊙C半径r的值或取值范围为（　　） A.0＜r＜2.4 B.r＝2.4 C.r＞2.4 D.2.4＜r＜4 7.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（　　） A.π B. C.1.5π D. 8.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　） A. B. C.5 D.5 9.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，Ⅰ是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（　 　） A.30° B.35° C.40° D.45° 10.边长分别为5、5、6的三角形的内切圆的半径为（　　） A. B. C. D. 11.题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r＝4．乙答：3＜r＜4．丙答：．则正确的是（　　） A.只有乙答的对 B.甲、乙的答案合在一起才完整 C.乙、丙的答案合在一起才完整 D.三人的答案合在一起才完整 12.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（　　） A.①② B.②③④ C.①③④ D.①②④ 二、填空题 13.为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为 　  　cm． 14.如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，AC＝10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为　    　． 15.在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 　       　．（写一个条件即可） 16.已知⊙O直径为2，△ABC为⊙O内接三角形，点I为△ABC内心，求ID长为　　． 17.等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，点O1、O2分别是△ABC的内心和外心，则O1O2＝　　． 三、解答题 18.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离？ 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径画圆，如果⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围． 20.已知，如图，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB分别相交于点D，E，F．求证：∠FDE＝90°﹣∠A． 21.沿海某城市A的正南方200千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动且台风中心风力不变，若城市所受风力超过5级，则称为受台风影响．（在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半） （1）在台风中心移动过程中，台风中心与城市A的最近距离为 　   　； （2）城市A恰好受台风影响的距离是 　   　； （3）该城市是否受到此次台风影响？请说明理由； （4）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多长？ 22.圆内接四边形ABCD，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （Ⅰ）如图①，求∠BAD的大小； （Ⅱ）如图②，过点C作圆的切线与AB的延长线相交于点F，若CF∥AD，AF＝3，求圆半径的长． 浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，延长OD，与直线BC相交于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 【答案】C 【解析】先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC＝2∠A＝50°，再求，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°，可得结论． 直线BC与⊙O相切， 理由：∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°， ∴∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴直线BC与⊙O相切． 故选：C． 2.如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.包含 【答案】A 【解析】根据直线与圆的位置关系，即可解答． 这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交， 故选：A． 3.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】A 【解析】由于CD是切线，可知∠OCD＝90°，而∠A＝35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D． 连接OC， ∵CD是切线， ∴∠OCD＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠COD＝2∠A＝60°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°． 故选：A． 4.如图，在△ABC中，，I是△ABC的内心，连接BI、CI，则∠BIC的度数是（　　） A.110° B.120° C.130° D.140° 【答案】C 【解析】求出∠ABC+∠ACB，得∠IBC+∠ICB，根据三角形内角和定理求出即可． ∵I为△ABC的内心， ∴∠ABI＝∠IBC＝∠ABC，∠ACI＝∠ICB＝∠ACB， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∴（∠ABC+∠ACB）＝50°， 即∠IBC+∠ICB＝50°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝130°． 故选：C． 5.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.无法确定 【答案】A 【解析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． ∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点． 故选：A． 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若⊙C与直线AB相交，则⊙C半径r的值或取值范围为（　　） A.0＜r＜2.4 B.r＝2.4 C.r＞2.4 D.2.4＜r＜4 【答案】C 【解析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论． 过C作CD⊥AB于D， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5， ∴CD＝＝2.4， ∵直线AB与⊙C相交，则r的取值范围是r＞2.4． 故选：C． 7.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（　　） A.π B. C.1.5π D. 【答案】C 【解析】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB，推出四边形ABOC是正方形，求得∠BOC＝90°，OB＝AB＝3，根据弧长公式即可得到结论． 连接OC，OB， ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB， ∵∠CAB＝60°+30°＝90°， ∴四边形ABOC是正方形， ∴∠BOC＝90°OB＝AB＝3， ∴的长度＝＝1.5π， 故选：C． 8.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　） A. B. C.5 D.5 【答案】C 【解析】根据切线长定理求得PA=PB，从而判断得△PAB为等边三角形即可求解. 解：∵PA，PB为⊙O的两条切线， ∴PA＝PB， ∵∠APB＝60°， ∴△PAB为等边三角形， ∴AB＝PA＝5， 故选：C． 9.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，Ⅰ是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（　 　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】B 【解析】连接BI，因为Ⅰ是△ABC的内心，∠BAC＝70°，所以∠BAD＝∠DAC＝35°，∠CBI＝∠ABI，由ID＝BD，得∠DBI＝∠DIB，而∠DBI＝∠DBC+∠CBI，∠DIB＝∠DAC+∠ABI，所以∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠ABI，则∠DBC＝∠DAC＝35°，于是得到问题的答案． 连接BI， ∵Ⅰ是△ABC的内心，∠BAC＝70°， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝35°，∠CBI＝∠ABI， ∵ID＝BD， ∴∠DBI＝∠DIB， ∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI，∠DIB＝∠BAD+∠ABI＝∠DAC+∠ABI， ∴∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠ABI， ∴∠DBC＝∠DAC＝35°， 故选：B． 10.边长分别为5、5、6的三角形的内切圆的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC于D，根据切线长定理得到BD＝BE，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解． 如图∵⊙O是△ABC的内切圆， ⊙O切AB于E，切BC于D， ∵AB＝AC＝5， ∴A，O，D三点共线， ∴BD＝BC＝3， ∴AD＝＝4， ∴BE＝BD＝3， ∴AE＝2， 设三角形内切圆的半径为r， ∴（4﹣r）2＝22+r2， ∴r＝cm， ∴三角形内切圆的半径为． 故选：B． 11.题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r＝4．乙答：3＜r＜4．丙答：．则正确的是（　　） A.只有乙答的对 B.甲、乙的答案合在一起才完整 C.乙、丙的答案合在一起才完整 D.三人的答案合在一起才完整 【答案】D 【解析】由勾股定理求出BC＝4，再根据等面积法求出斜边AC上的高为，再根据半径r的情况，分别作出图形，进行判断即可得到答案． ∵AB＝3，AC＝5， ∴， ∴斜边AC上的高为：， 当r＝4时，画出图如图所示： ， 此时△ABC在圆内部，⊙B与AC只有一个交点， 当3＜r＜4时，画出图如图所示， ， 此时⊙B与AC只有一个交点， 当时，画出图如图所示： ， 此时⊙B与AC只有一个交点， ∴三人的答案合在一起才完整， 故选：D． 12.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（　　） A.①② B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】根据切线长定理，证△COB≌△COD，可得∠COB＝∠BOD，根据圆周角定理即可得出∠DAB＝∠COB，由此可证得AD∥OC； 连接DE、BE；上面已证得弧DE＝弧BE，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得DE、BE分别平分∠CDB和∠CBD；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确； 若FE＝FC，则∠OCB＝∠CEF＝∠OEA＝∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA＝∠OCB，即∠DBA＝∠EAB；因此弧BE＝弧AD，而这个条件并不一定成立．故③不正确； 先证明FB＝GB，然后证明△ABG∽△CEF，从而可得出④正确． 连接OD，DE，EB， CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB， ∵OC＝OC ∴Rt△CDO≌Rt△CBO， ∴∠COD＝∠COB， ∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB， ∴AD∥OC，故①正确； ∵CD是⊙O的切线， ∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE， ∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线， 因此E为△CBD的内心，故②正确； 若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA， ∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确； 设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF， 又∵BE⊥GF， ∴FB＝GB， 由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE， 又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA， ∴∠BCE＝∠GBA， 而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等）， ∴∠AGB＝∠CFE， ∴△ABG∽△CEF， ∴CE•GB＝AB•CF， 又∵FB＝GB， ∴CE•FB＝AB•CF 故④正确． 因此正确的结论有：①②④． 故选：D． 二、填空题 13.为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为 　  　cm． 【答案】240 【解析】设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M，N连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可． 如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM， ∴OD⊥MN， ∴MD＝DN， 在Rt△ODM中，OM＝180cm，OD＝60cm， ∴MD＝＝＝120（cm）， ∴MN＝2MD＝240（cm）， 即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为240cm， 故答案为：240． 14.如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，AC＝10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为　    　． 【答案】11 【解析】根据切线长定理，可将△ADE的周长转化为AB+AC﹣BC的长，由此得解． 如图； 设DE、BD、BC、CE与⊙I的切点分别为F、G、H、M，由切线长定理知： BH＝BG、CH＝CM、EM＝EF、FD＝DG、AM＝AG； 则AG+AM＝AB+AC﹣BC＝11； 所以△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DG+EM+AE＝AG+AM＝11． 15.在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 　       　．（写一个条件即可） 【答案】∠TAC＝∠B（答案不唯一） 【解析】要使得直线AT是⊙O的切线，只要证明∠OAT＝90°即可，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而得∠B+∠BAC＝90°，所以只要满足∠TAC＝∠B即可． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， 当∠TAC＝∠B时，∠TAC+∠BAC＝90°， 即∠OAT＝90°， ∵OA是圆O的半径， ∴直线AT是⊙O的切线， 故答案为：∠TAC＝∠B（答案不唯一）． 16.已知⊙O直径为2，△ABC为⊙O内接三角形，点I为△ABC内心，求ID长为　　． 【答案】 【解析】连接BD，BI，BD，CD，如图，根据三角形内心的性质得∠2＝∠4，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得∠7＝∠4，则∠2＝∠7，接着利用三角形外角性质得∠1＝∠2+∠5，于是得到∠1＝∠7+∠6，即∠1＝∠DBI，所以ID＝BD，再证明△BDC为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得BD＝BC＝，即有ID＝． 连接BD，BI，BD，CD，如图， ∵点I为△ABC内心， ∴AD平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠2＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠7＝∠4， ∴∠2＝∠7， ∵∠1＝∠2+∠5， ∴∠1＝∠7+∠6，即∠1＝∠DBI， ∴ID＝BD， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠2＝∠4， ∴＝， ∴BD＝CD， ∴△BDC为等腰直角三角形， ∴BD＝BC＝×2＝， ∴ID＝． 故答案为． 17.等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，点O1、O2分别是△ABC的内心和外心，则O1O2＝　　． 【答案】 【解析】连接O2B，如图，设△ABC的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，利用等腰三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝3，∠ADB＝90°，AD平分∠BAC，则根据三角形外心与内心的定义可判断点O1、O2在AD上， 再利用勾股定理计算出AD＝4，由于O2A＝O2B＝R，则O2D＝4﹣R，所以利用勾股定理得到（4﹣R）2+32＝R2，解方程得R＝，则O2D＝，接着利用三角形内心的性质得到点O1到△ABC各边的距离都等于r，利用三角形面积公式得到S△ABC＝（AB+BC+AC）r＝8r，而S△ABC＝12，则8r＝12，解得r＝，即O1D＝，然后计算O1D﹣O2D即可． 连接O2B，如图，设△ABC的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R， ∵AB＝AC＝5，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC＝3，∠ADB＝90°，AD平分∠BAC， ∴点O1、O2在AD上， 在Rt△ABD中，AD＝＝＝4， ∵点O2分别是△ABC的外心， ∴O2A＝O2B＝R， ∴O2D＝4﹣R， 在Rt△BDO2中，（4﹣R）2+32＝R2， 解得R＝， ∴O2D＝4﹣＝， ∵点O1是△ABC的内心， ∴点O1到△ABC各边的距离都等于r， ∴S△ABC＝（AB+BC+AC）r＝×（5+6+5）r＝8r， ∵S△ABC＝BC•AD＝×6×4＝12， ∴8r＝12， 解得r＝， 即O1D＝， ∴O1O2＝O1D﹣O2D＝﹣＝． 故答案为：． 三、解答题 18.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离？ 【答案】解：∵∠A＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝30°， ∵BO＝x， ∴OD＝BO＝x， （1）若圆O与AB相离，则有OD大于r，即x＞2，解得：x＞4； （2）若圆O与AB相切，则有OD等于r，即x＝2，解得：x＝4； （3）若圆O与AB相交，则有OD小于r，即x＜2，解得：0＜x＜4； 综上可知：当x＞4时，AB与⊙O相离；x＝4时，AB与⊙O相切；0＜x＜4时，AB与⊙O相交． 【解析】 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径画圆，如果⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围． 【答案】解：由勾股定理得：AB＝10cm， 分为两种情况：①如图1，当⊙C与AB相切时，只有一个公共点，则CD⊥AB， 由三角形的面积公式得：S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD， 故6×8＝10×CD， 所以CD＝4.8cm，即r＝4.8cm． ②如图2，当R的范围是6cm＜r≤8cm时，⊙C和AB只有一个公共点． 综上所述，r＝4.8cm或6cm＜r≤8cm． 【解析】 20.已知，如图，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB分别相交于点D，E，F．求证：∠FDE＝90°﹣∠A． 【答案】证明：连接IE、IF，如图， ∵内切圆I与边CA，AB分别相交于点E，F， ∴IE⊥AC，IF⊥AB， ∴∠AEI＝∠AFI＝90°， ∴∠A+∠EIF＝180°， ∵∠EIF＝2∠FDE， ∴∠A+2∠EDF＝180°， ∴∠FDE＝90°﹣∠A． 【解析】 21.沿海某城市A的正南方200千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动且台风中心风力不变，若城市所受风力超过5级，则称为受台风影响．（在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半） （1）在台风中心移动过程中，台风中心与城市A的最近距离为 　   　； （2）城市A恰好受台风影响的距离是 　   　； （3）该城市是否受到此次台风影响？请说明理由； （4）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多长？ 【答案】解：（1）作AD⊥BC于D，在直角三角形ABD中，30°角所对的边等于斜边的一半，AD＝AB＝×200＝100千米，台风中心与城市A的最近距离为100千米； （2）城市A恰好受台风影响时，城市所受风力为5级， 距离恰好为：（12﹣5）×20＝140千米． （3）该城市受到此次台风影响，因为140＞100． （4）过点A作AD⊥BC交BC于D点， 设当台风中心移动到E点时，城市恰好受到台风影响，移动到F点时恰好结束，此时AE＝140千米， DE＝＝40， EF＝40×2＝80， 80÷15＝． 则台风影响该城市持续时间为小时． 【解析】 22.圆内接四边形ABCD，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （Ⅰ）如图①，求∠BAD的大小； （Ⅱ）如图②，过点C作圆的切线与AB的延长线相交于点F，若CF∥AD，AF＝3，求圆半径的长． 【答案】解：（Ⅰ）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠BAC＝∠BDC，而∠BAC＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠BDC． 又∵BD＝BD， ∴△BAD≌△BCD（ASA）， ∴∠BAD＝∠BCD． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°； （Ⅱ）∵∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径． 设BD的中点为O，即点O为圆心．连接CO并延长与AD相交于点H． ∵CF 是⊙O的切线， ∴OC⊥FC． ∴∠OCF＝90°， ∵CF∥AD， ∴∠OCF＝∠CHD＝90°， ∴OH⊥AD， ∴， ∴AC＝CD， 由（Ⅰ）得△BAD≌△BCD， ∴AD＝CD． ∴AD＝CD＝AC， ∴△ADC 是等边三角形． ∴∠ADC＝60°， ∴∠ADB＝∠BDC＝30°， ∴在Rt△OHD 中，， ∵∠OCF＝∠OHA＝∠BAD＝90°， ∴四边形AFCH是矩形． ∴AF＝CH＝3． ∵OH＝OC+OH＝OC＝3， ∴OC＝3×＝2． 即圆的半径长为2． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$