江苏省南京市仙林外国语学校2024-2025学年八年级下学期第六周随堂周测卷

2024-2025学年八年级下学期江苏南京仙林外校第六周随堂周测卷 一．选择题 1．下列命题中，错误的是　　 A．两条对角线相等的平行四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．若分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 3．化简的结果为　　 A． B． C． D． 4．如图，点是边延长线上一点，连接，，，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是　　 A． B． C． D． 5．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点与点重合时，． 其中正确的结论是　　 A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④ 二．填空题（共8小题） 6．若分式的值为0，则的值等于　 　． 7．当　　时，分式无意义；当　　时，分式的值为零． 8．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为 　　． 9．已知平行四边形中，，则　　度． 10．如图，中，，分别是，的中点，是延长线上的一点，且，若，，则的长为　　． 11．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，，则　　． 12．已知菱形的两条对角线分别为6和8，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值　　． 13．如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形对角线交于点，连接，如果，那么　　． 三．解答题 14．（1）通分：和； （2）约分：． 15．对“中位线定理”逆向思考，可得命题：在三角形内，经过三角形一边中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．这是一个真命题，填空并证明． 如图：已知是的中点，　　， 求证：　　． 16．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； 17．如图，是直线外一点，分别按下列要求作图．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中作正方形，使得点，在上； （2）在图②中作菱形，使得点，在上，且． 18．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形是“等垂四边形”， ，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定△的形状，并证明你的结论； （3）如图③，四边形是“等垂四边形”， ，，请直接写出边长的最小值． 一．选择题（共5小题） 1．下列命题中，错误的是　　 A．两条对角线相等的平行四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解答】解：、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； 、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故符合题意； 、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故不符合题意； 、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：． 2．若分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【解答】解：中的、都扩大为原来的2倍，得 ， 故选：． 3．化简的结果为　　 A． B． C． D． 【解答】解：原式； 故选：． 4．如图，点是边延长线上一点，连接，，，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故正确； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故正确； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是的中位线， ， 四边形为平行四边形，故正确； 由，得出，但不能得出四边形为平行四边形，故错误； 故选：． 5．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点与点重合时，． 其中正确的结论是　　 A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； 四边形是菱形， ， 若平分， ， ， 点落在上的一点处， 不一定等于 不一定平分，故②错误； 当点与点重合时，有最小值， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 若与重合时，有最大值， 四边形是正方形， ， 最大值为4， ，故③正确； 如图，过点作于， 四边形是矩形， ，， 四边形是菱形， ， ， ，故④正确， 故选：． 二．填空题（共8小题） 6．若分式的值为0，则的值等于　1　． 【解答】解：由分式的值为零的条件得，， 由，得或， 由，得， ， 故答案为1． 7．当　3　时，分式无意义；当　　时，分式的值为零． 【解答】解：当分母为零时，分式无意义， 故， 即； 要使分式的值为零， 则分母不为零且分子为零， 得， 解得． 故答案为：3，． 8．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为 　12　． 【解答】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且． 同理求得，且， 又， ，且． 四边形是矩形． 四边形的面积，即四边形的面积是12． 故答案为：12． 9．已知平行四边形中，，则　60　度． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得：， 故答案为：60． 10．如图，中，，分别是，的中点，是延长线上的一点，且，若，，则的长为　16　． 【解答】解：在直角中，是斜边上的中线，，则． 在中，是中位线，，则． 则． 故答案为：16． 11．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，，则　5　． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ； 故答案为：5． 12．已知菱形的两条对角线分别为6和8，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值　5　． 【解答】解：取的中点，连接，交于，连接，，如图， 四边形是菱形， ，，， ，， ． 垂直平分， ，关于对称（此时正好在上）， ，此时的值最小， ， ． ， 四边形是平行四边形，． ，为的中位线， 点为的中点，连接，则经过点， 四边形是菱形， ，且，， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 故答案为：5． 13．如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形对角线交于点，连接，如果，那么　　． 【解答】解：如图，延长到点，使，连接， 四边形为正方形， ，，，， ， 又是直角三角形，为斜边， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 14．（1）通分：和； （2）约分：． 【解答】解：（1）； ； （2）原式 ． 15．对“中位线定理”逆向思考，可得命题：在三角形内，经过三角形一边中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．这是一个真命题，填空并证明． 如图：已知是的中点，　交于点　， 求证：　　． 【解答】解：已知：是的中点，交于点， 求证：， 证明：取的中点，连接，如图： 是的中点， 为的中位线， ， ， 与为同一条直线， 即点与点重合， 点为的中点， ． 故答案为：交于点；． 16．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； 【解答】（1）证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 17．如图，是直线外一点，分别按下列要求作图．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中作正方形，使得点，在上； （2）在图②中作菱形，使得点，在上，且． 【解答】解：（1）根据正方形的定义作图如下， 作图提示：①以为圆心，足够长为半径作弧，与交于两点， ②作这两点的垂直平分线交于点， ③以为圆心，为半径作圆，与直线交于，与直线交于下方于点， 正方形即为所求． （2）作点关于直线的对称点，分别作等边△，等边△，如图： 菱形即为所求． 18．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形是“等垂四边形”， ，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定△的形状，并证明你的结论； （3）如图③，四边形是“等垂四边形”， ，，请直接写出边长的最小值． 【解答】（1）证明：如图①，延长，交于点， 四边形与四边形都为正方形， ，，． ． △△． ，． ， ， 即， ． ． 又， 四边形是“等垂四边形”； （2）解：△是等腰直角三角形． 理由如下：如图②，延长，交于点， 四边形是“等垂四边形”， ， ，， ， 点，，分别是，，的中点， ，，，， ，，． ． △是等腰直角三角形； （3）解：延长，交于点，连接，分别取、、的中点、、．连接，，，，， 则， 由（2）可知△是等腰直角三角形， ，， ， ． 的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$