精品解析：福建省部分学校教学联盟2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟高二年级期末质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，然后由交集运算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 3. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立. 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，所以若，则，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 5. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. 0 B. -1012 C. -2 D. 1010 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知且，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个周期内的函数值之和，2025项的和包含506个周期之和及，分别求值相加即可. 【详解】已知为奇函数，所以且， 因为，所以，则，函数的周期为4， 因为，，，， 所以， 因为，前2024项和为，， 所以. 故选：C 【点睛】 6. 2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】应用排列组合数依次安排舍长、副舍长和1、2班同学，再应用分步乘法求不同的排法数. 【详解】先将舍长、副舍长排到中间的2个位置上，有种排法， 再从两侧各选1个位置，把不相邻的两位1班同学安排其中，有种排法， 最后把不相邻的两位2班同学安排到余下的2个位置上，有种排法. 所以，共有种. 故选：B 7. 已知函数，则（ ） A. 有三个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数即可判断A，根据对于任意的有即可判断B，根据导数即可判断C，根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，， 令，则和， 当和时，当时， 所以在和时单调递增，在单调递减， 处从正变负， 所以是极大值点， 处由负变正， 所以是极小值点， 所以极值点有两个，故A错误； 对于B，如果点是函数的对称中心， 那么对于任意的有， 即验证， ，故B正确； 对于C，因为， 所以，， 因为和时，当时， 所以和时单调递增，时单调递减， 因为，，时，时， 所以函数从增加到，然后减少到再增加， 所以函数只有一个实数零点，故C错误； 对于D，设直线与相切，切点横坐标为， 则，， 因为，所以或， 当时，当时， 所以没有点满足这两个条件，故D错误. 故选：B. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 若，则（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令即可判断A，令、再解方程组，即可判断B、C，将式子两边对求导，再令，即可判断D. 【详解】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B、C：令得，， 令得，， 所以，，故B、C错误； 对于D：由， 两边对求导可得， 令可得，故D正确. 故选：AD 10. 若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A. A与B相互独立 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，A错； 由，则，B对； 由，C对； 由，则，D对. 故选：BCD 11. 设有限集合，其中，，若存在非空集合，使得中所有元素之和与中所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ ） A. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个 B. 若集合中元素满足，，，，则存在使得是“可拆等和集” C. 存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集” D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“可拆等和集”的定义逐一判断各选项即得. 【详解】对于A项，若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得， 此时因集合已含有元素2，故舍去； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得 若，则由“可拆等和集”的定义，有. 综上可知：可取共6个值，故A正确； 对于B项：当时，，， 则内集合元素之和为16，故可以取，，符合题意，故B正确； 对于C项，将中所有元素同时除以后可得， 根据等比数列前项和公式，可得. 因，所以，，所以有. 所以当时，中所有元素之和也小于， 不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足. 综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，故C错误； 对于D项，易知集合中的元素个数为， 根据等差数列的性质可知，， 共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组. 从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中； 又，则， 而， 不妨将，这两个元素也分到集合中，则可满足，中的元素之和相等.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 13. 为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于，小于的驾驶行为为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过_______个小时才能驾驶汽车．（参考数据：） 【答案】4.7 【解析】 【分析】根据给定条件，结合指数函数列出不等式，利用单调性及对数运算求解. 【详解】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车， 则，所以，又为减函数， 因此， 所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车． 故答案为：4.7 14. 对，恒有，则实数a的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对不等式进行变形，构造函数，利用函数单调性求解的最小值. 【详解】令，则， 令，有 当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在单调递增， 则 令，则， 当时,，当时, 于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得 所以实数a的最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 ①，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设公差为，则，解得， 所以，， 故， 所以， 两式相减得， 所以. 16. 已知奇函数的定义域为R，当时，. （1）求的解析式； （2）证明:在上单调递减； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解； （2）利用函数单调性的定义证明； （3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解. 【小问1详解】 解：当时，， ， ∵为奇函数， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：任取，，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴在上单调递减； 【小问3详解】 ∵恒成立， ∴恒成立， 又∵为奇函数， ∴恒成立， 由（2）知在上单调递减，且为奇函数， ∴在R上单调递减， ∴恒成立， ∴恒成立， 令， 当时，取得最小值， ∴. 17. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了如下表数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 30 10 40 乙校 20 20 40 合计 50 30 80 （1）依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请试用计算说明； 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例分别抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．从这84人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生的概率． 【答案】（1）认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，不一样，说明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出观测值，再与临界值比对即可得解. （2）根据给定条件，利用全概率公式求解即可. 【小问1详解】 零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异， 由给定数表经计算得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立， 因此认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异． 所有数据都扩大为原来的10倍后： ． 这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系， 所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样. 【小问2详解】 抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：， 记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”， 则， ， 所以抽到数学成绩优秀学生的概率 ． 18. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系. 平均温度 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数个 5 9 22 25 65 118 324 441 529 625 729 841 1024 1225 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 27.43 773.43 81.14 3.55 20.03 0.37 0.29 0.0052 其中. （1）根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：） （2）模型①，②的决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好； （3）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：. 【答案】（1）答案见解析 （2）模型②的拟合效果更好 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先令，建立与的线性相关关系，利用表中数据结合最小二乘法求出即可得解； （2）根据决定系数的大小关系及意义即可得解； （3）①先由题意得，再利用导数工具结合范围即可得解；②由①得每年需要人工防治的概率为，故由题意，接着由二项分布的均值和方差公式即可得解. 【小问1详解】 令，则， 所以与呈线性相关关系， 由题，， ， 所以，故， 所以，故， 所以模型②下关于的回归方程为； 当时， 经模型①计算估计产卵数为， 经模型②计算估计产卵数为. 【小问2详解】 因为模型①，②的决定系数分别为，故， 所以模型②的拟合效果更好. 【小问3详解】 ①由题， 所以 ， 令得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率. ②由①知，当时取最大值， 所以当时，， 则由题意可知每年需要人工防治的概率为，且， 所以. 【点睛】方法点睛：常见非线性回归方程类型与求解思路： 求解思路：非线性转化成线性. （1）指数型： 令，则与建立线性相关关系， 利用最小二乘法公式求出关于的线性回归方程，进而利用即可得到关于的回归方程. （2）幂函数型： 令，则，故与建立线性相关关系， 同理求出关于的线性回归方程，即可利用得到关于的回归方程. （3）对数型： 令，则，故与建立线性相关关系， 同理求出关于的线性回归方程，即可利用得到关于的回归方程. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分和讨论即可； （2）（i）当时，显然不会有3个零点，当时，求出的两根，判断出的符号，利用零点存在性定理证明零点存在即可； （ii）根据得，则，最后根据对勾函数单调性即可证明. 【小问1详解】 的定义域为， . 当时，，所以恒成立， 所以在单调递增； 当时，， 所以的两根为， 且，所以， 所以，时，或时，． 所以在上单调递减，在和单调递增． 综上：当时，在单调递减， 在和单调递增； 当时，在单调递增. 【小问2详解】 （i）由（1）可知当时，在单调， 不可能有三个零点； 当时，的两根为， 且，所以，且， 因为在上单调递减，所以， 因为，所以， 设， 在上单调递减，， 即，所以使. 因， 又因为，所以， 所以使， 所以，当时，有三个零点， （ii）由（i）可知，的三个零点：， 因为，且，所以， 又因为，所以， 因为，所以函数单调递减，， 所以，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟高二年级期末质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若R，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 5. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. 0 B. -1012 C. -2 D. 1010 6. 2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 7. 已知函数，则（ ） A. 有三个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A. A与B相互独立 B. C. D. 11. 设有限集合，其中，，若存在非空集合，使得中所有元素之和与中所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ ） A. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个 B. 若集合中元素满足，，，，则存在使得是“可拆等和集” C. 存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集” D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______. 13. 为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于，小于的驾驶行为为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过_______个小时才能驾驶汽车．（参考数据：） 14. 对，恒有，则实数a最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. 16. 已知奇函数的定义域为R，当时，. （1）求的解析式； （2）证明:在上单调递减； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了如下表数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 30 10 40 乙校 20 20 40 合计 50 30 80 （1）依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请试用计算说明； 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例分别抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．从这84人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生的概率． 18. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系. 平均温度 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数个 5 9 22 25 65 118 324 441 529 625 729 841 1024 1225 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 2743 773.43 81.14 3.55 2003 0.37 0.29 0.0052 其中. （1）根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：） （2）模型①，②决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好； （3）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$