精品解析：2025年河北省盐山县韩集中学及兄弟校联考初中学业水平模拟考试数学试卷

2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂除法计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 在如图四个图形中随机抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：∵第二个、第三个、第四个图形既是轴对称图形也是中心对称图形， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形和概率公式，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：亿， ， 故选：C． 4. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 7. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 8. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 9. 如图，修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，由此可解． 【详解】解：修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短， 故选B． 10. 数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设第一次分钱的人数为x人，根据两次分钱的钱数相等列出方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得， ， 故选：C． 11. 如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 12. 如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以；时，由图像可知此时，所以；由对称轴，可得；当时，由图像可知此时，即，将代入可得. 【详解】①根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故①正确. ②时，由图像可知此时，即，故②正确. ③由对称轴，可得，所以错误，故③错误； ④当时，由图像可知此时，即，将③中变形为，代入可得，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题． 二、填空题 13. 已知代数式，其中为的小数部分，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数的估算，二次根式性质，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先化简分式，再估算求出，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，为的小数部分， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 15. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接相交于点E，过点B作轴与点D，利用勾股定理求出的长，判定出，求出，的长，利用待定系数法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D， 四边形为菱形， ，，， ， ，， ， 即， 解得：， ， ， 函数的图象经过顶点B， ， 故答案为：． 16. 如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，概率公式的应用．设其中，直线的解析式为，求得直线的解析式为，联立得，整理得，根据根与系数的关系求得，据此求解即可． 【详解】解：设其中，直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∵该直线与反比例函数的图象有两个交点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的个数有和两条， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是． 故答案为：． 三、解答题 17. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． （1）请你用上述方法解方程组． （2）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【小问1详解】 解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； 【小问2详解】 略 18. 某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； （2）所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 【答案】（1）6 （2）83 （3）45人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图的相关知识，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据其他等级的所占的百分比为求出调查的总人数，再根据合格的百分比为即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵体育成绩在合格的人数所占的百分比为 ∴其他等级的所占的百分比为 ∴总人数人， ∴所抽取的学生中体育成绩为合格的人数人； 【小问2详解】 解：20个人中位数是第10和第11个人成绩的平均数， 即中位数是分， 故答案为：83； 【小问3详解】 解：七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数人． 19. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）小时，小时 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； 【小问2详解】 解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 20. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”描述了山寺桃花盛开的美景，体现了生命独特的韵律与希望．某校学生开展综合实践活动，测量一株花树的最高点离地面的距离．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，求该花树的最高点离地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，设，证明四边形，四边形都是矩形，得， 由，得，求解后计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，设， 根据题意，得：，，，，，，， ∴， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， 在，， ∴， 在，，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴（米）， ∴该花树的最高点离地面的距离约为米． 【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，分式方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数是解题关键． 21. 如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若． ①求证：； ②求的长度． 【答案】（1） 证明：，沿翻折，点落到点处， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； （2）①证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）结合翻折的性质证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）①根据题意证明，进而得到，再进行等量代换，并结合等腰三角形性质，即可证明； ②过点作于点，结合叠的性质推出，利用等腰三角形性质得到，再证明四边形为矩形，得到，设，得到，结合勾股定理得到，据此建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②过点作于点， 由折叠的性质可知，， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质，矩形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． 22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：如图1，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论； （2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，由三角函数定义可得结论； （3）证明△AHF∽△ACE，列比例式可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∴； 【小问3详解】 由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x， ∴， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB， ∴∠E＝∠AFH， ∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴． 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 23. 如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． （1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标； （2）在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标； 定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 【答案】（1）； （2）或或 【解析】 【分析】（1）令即可求点坐标，利用可得顶点坐标； （2）由，得出或，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标，再利用结合点的坐标求出直线解析式，最后联立新的抛物线的解析式即可求出点；②当为时，同理可得； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式即可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时和当时，分别列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵令，得， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 当为时，如图， 设新的抛物线的解析式为， 抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 则， ∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称， ∴， 解得：， ∴新的抛物线的解析式为， ∵如图，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴设， 设直线解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴； 当为时，如图， 同理可得新的抛物线的解析式为， 如图，过点作轴于点， 同理可得直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 综上所述，或； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，， ∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 同方法可得新的抛物线的解析式为， 设交轴于点， ∵， ∴，且点在轴负半轴， ∴， 设直线解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形， 当时， 得， 解得：； 当时， 得， 解得：或（大于，舍）； 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数的性质，一次函数的解析式，旋转，平行四边形，两点之间的距离公式，解一元二次方程，三角函数，熟练掌握这些性质是解题的关键． 24. 关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可得； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，利用平分，结合，得出，得出，再证明，利用，求出，设，则，利用，求出，则可求出，利用，求出，则可求出，最后利用勾股定理即可求解； （3）过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，证明四边形是矩形，得，证明，可得，证明，可得，再证明，求得，则可得，利用即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 得：， 解得：， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是定值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在如图四个图形中随机抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 10. 数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ） A. B. C. D. 12. 如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是     A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知代数式，其中为的小数部分，则的值为_____． 14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 15. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为__________． 16. 如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是______． 三、解答题 17. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． （1）请你用上述方法解方程组． （2）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 18. 某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； （2）所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 19. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 20. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”描述了山寺桃花盛开的美景，体现了生命独特的韵律与希望．某校学生开展综合实践活动，测量一株花树的最高点离地面的距离．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得花树的最高点的仰角，求该花树的最高点离地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，） 21. 如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若． ①求证：； ②求的长度． 22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 23. 如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． （1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标； （2）在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标； 定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 24. 关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $