广东省汕尾市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试题

汕尾市2024一2025学年度第二学期高中一年级教学质量监测 答案及评分标准（参考）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.号13.214.[g1+2),小水或[g(2+1)-e,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 证明：(1)取AA,的中点G,连接D1G,GF(图略)，…1分 因为G,F分别为AA,BB,的中点，所以GFLA,B, …2分 又因为C,D,LA,B1… ……3分 所以GFLC,D,故四边形CD,GF为平行四边形，…4分 所以C,F⊥D,G …5分 又因为E为DD,的中点，所以AGILED,… 6分 所以四边形D,GAE为平行四边形， 所以AE∥D,G,所以C,F∥AE, …7分 又因为C,F￠平面AOE,AEC平面AOE,所以C,F∥平面AOE. …8分 (2)(法一)连接EC(图略)， 9分 因为ABCD-A,B,C,D,为正方体，所以AE=CE,故△AEC为等腰三角形，·10分 因为0为AC的中点，…12分 所以AC⊥0E。…13分 (法二)因为ABCD-A,B,C,D,为正方体，故侧棱DD1⊥平面ABCD.…9分 因为ACC平面ABCD,所以AC⊥DD,…10分 因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD,…11分 因为BD∩DD1=D,BDC平面BDD,B,DDC平面BDD,B1,·12分 所以AC⊥平面BDD,B,,又因为OEC平面BDD,B,所以AC⊥OE. … 13分 高一·数学答案及评分标准（参考）第1页（共5页） (法三)设正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1，故DE= 2 …9分 所以AE=A0+DE=1+- …10分 因为四边形ABCD为正方形，所以40=D0= 2 11分 因为B0=DE+D0=士+分- 12分 AE=A0+0=+圣-及，所以4C10E 。+…4g4.44。 13分 16.(15分) 解：(I)因为cos(a+B)=cos acosB--sin asin B=了，① …1分 cos(a-B）=cos ccos B+sin asin B=3,② …2分 由②-①，得sin asin B=5 …4分 由①+②，得c0sac0sB=, …6分 故tan atan B=2 …8分 (2)因为0<<年，0<B<开，所以0<a+B<受，因为eos(a+B)=了，所以sin(a+ B)36 4. 5 10分 故an(a+B)=m+=26. 11分 cos(a+B) 原式=tan(+B)(1-tan atan B)+2v6 tan atan B… 13分 =2√6-2√6 tan atan B+2v6 tan atan B 14分 =26. …15分 17.(15分) 解：(1)因为acos B+bcosA=2 ccos A,由正弦定理a sin A sin B sin C' …1分 得sin Acos B+sin Bcos A=2 sin Ce0sA,…2分 sin(A +B)=2sin Ccos A, 即sinC=2 sin Ce0sA,…4分 因为0°<C<180,故sinC≠0，解得cosA=2, …5分 因为0°<A<180°，故A=60°，…6分 故巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用北偏东15的方向航行.…7分 高一·数学答案及评分标准（参考）第2页（共5页） (2)依题意，BW=2,由正弦定理及余弦定理，有2×+c2-口 …8分 2be 解得a=b,…9分 +BM-c2 2 +BM2-a2 又因为cos∠BMA+cos∠BMC =0 …10分 2. -·BM 2·2 ·BM 化简得，b2+2c2=16, …11分 因为+22=6+-2b·≥(6+2P-2(作9， …13分 即(b+2c)≤32，故b+2c≤42，当且仅当b=2c时取等号，…14分 b+2c的最大值为42.…15分 18.(17分) 解：(1)（法一）因为正方形ABCD中的顶点A为圆A的圆心， 故正方形ABCD中与圆A重叠部分的面积为S维=>。=牙 4 …2分 正方形ABCD中不与圆A重叠部分的面积T=2×,2-S=2-及=8：产 4 4 …4分 (法二)正方形ABCD的面积为S,=(2)2=2, …1分 圆A的面积为S2=T·12=石， …2分 由4=受，故重叠部分的面积为S=牙，… …3分 所以正方形ABCD中不与圆A重叠部分的面积T=S,-S,=2-π 4 …4分 (2)(法一)记四棱锥P-EFCG的高为h,底面积为Sm形 现要使四棱锥P-EFCG的体积V达到最大，则需要h与Sc均达到最大值.·5分 单位圆A沿边AD所在的直线向上翻折（以AD为轴）， 当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，且点P在点A的正上方时， 此时h达到最大值，h…=1,…6分 连接AB(图略)，设LBME=,因为四边形EFCG为矩形，所以0∈[0，]， …7分 则EF=AB-AEcos日，EG=AD-AEsin 0.… …8分 因为AB=AD=2,AE=1, 所以E℉=2-C0s0,…9分 EG=2-sin日，…10分 SEEFCG=EF·EG=(2-cos6)(2-sin0)=2-V2(sin0+cos0)+sin0cos6,…11分 因为sin0cs0=2(sin0+ems0)2-7 …12分 高一·数学答案及评分标准（参考）第3页（共5页） 令sin0+cos0=l, 13分 因为0e[0,引，所以=2im0+）∈[l,2, …14分 所以5=2-+=-2)+，te[山，. …15分 当t=1时，S取到最大值，SEw=2-瓦，此时0=0或0=受， …16分 四楼锥P-EFCG的最大体积V=号x(2-v2)x1=2,2 …17分 (法二)动点P,E位于翻折后的两个不同的半圆上，要使四棱锥P-EFCG的体积取到最 大值，则点P到平面EFCG的高h要取得最大值ha,且同时四棱锥P-EFCG的底面积 S取得最大值S …5分 连接AP(图略)，并使翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，即平面PAD⊥平面 ABCD, 令AP⊥AD 因为APC平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AP⊥平面ABCD hm =AP=1, 054444…6分 连接AE,设LBAE=0,0e[0,], …7分 故EF=√2-c0s0,EG=√2-sin0,…10s分 所以四棱锥P-EFCG的底面积 S=EF·EG=(2-cos0)(2-sin0)=2-v2(sin0+cos)+sin0cosa.…11分 令1=sin0+c0s6,1e[1,V,… 12分 则如o分， …14分 故s=-a+号--回+分，1el,同. …15分 故Se[2,2-,故s=2-2. …16分 所以四楼锥P-BPC6的最大体积V=了×(2-2×12，马 3 …17分 19.(17分) 解：(1)因为a=(1,2-i),b=(1+i,2i), 所以a·b=1×1+i+(2-i)2i=1-i-2(2-i)i=1-i-4i+22=-1-5i, …1分 a+b=(1-1-i,2-i-2i)）=(-i,2-3i)）,…2分 |a+b|=-i×i+(2-3i)(2+3i)=√/-i2+4-9=√14. 。…3分 (2)(法一)设a=(,),b=(,4),k=m+ni,,,,4,keC, …4分 k⑧a=(z1,名2)=(m-ni)z1,(m-ni)z2),…5分 高一·数学答案及评分标准（参考）第4页（共5页） k⑧b=(k3,4)=(m-ni)西，(m-ni)a), …6分 故k⑧a+k☒b=((m-ni)z1-(m-ni)z3,(m-ni)a2-(m-ni)z4） =((m-ni)(名1-3)，(m-ni)(22-4)）.…7分 又因为a+b=(1-23,2-), 故k⑧(a+b)=(k(-3),(-)=((m-i)(31-),(m-i)(-4),…8分 所以有k⑧(a+b)=k⑧a+k⑧b成立，即复向量结合律成立.…9分 (法二)设a=(1,2),b=(3,4),31,2,33,24eC,…4分 所以a+b=(-,3-),…5分 故k⑧(a+b)=((1-1),(名2-4)=(21-2，不2-)，…6分 因为k⑧a=(2,2),k⑧b=(,4),…8分 所以⑧a+k⑧b=(z1-a,ka-z),则复向量结合律成立. 9分 (3)由a=(2+2i,2i),b∈2，不妨设b=(m+ni,m+ni+2i),… 10分 则a+b=(2+2i-m-ni,2i-m-ni-2i)=(2-m+(2-n)i,-m-ni),…11分 |a+b|=√2-m+(2-n)i)(2-m-(2-n)i)+(-m-i)(-m+ni) =√(2-m)2+(n-2)+m+m=√2(m2+n)-4(m+n)+8. …12分 (法一)所以a+b=√2(m-1)2+2(n-1)2+4≥2， …+”…” 14分 当且仅当m=n=1时，等号成立.即|a+b的最小值为2. …15分 （法=)因为-（ 2m2+2n2-m2-n2-2mm-（m-n)2 4 42≥0， 所以m2+n2≥m+n)2 2 13分 |a+b|=√2(m2+n）-4(m+n)+8≥√(m+n)2-4(m+n)+8,…14分 当且仅当m=n时，等号成立 令1=m+n,则v√(m+n)2-4(m+n)+8=√-4+8=√(t-2)+4≥4=2，…15分 当1=2，即m=n=1时，等号成立，即a+b的最小值为2. 此时a=(2+2i,2i),b=(1+i,1+3i),c∈2，c=(z,z+2i) a+b=(2+2i-1-i,2i-1-3i)=(1+i,-1-i), b+c=(1+i-3,1+3i-2-2i)=(1+i-8,1+i-2）,…16分 (a+b)·(b+c）=(1+i)(1+i-z)+(-1-i)(1+i-z)=(1+i-1-i)(1+i-z)=0. 命题得证 高一·数学答案及评分标准（参考）第5页（共5页）★开封前注意保密 汕尾市2024一2025学年度第二学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1,答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.sin75°cos30°-sin30°cos75°= A分 B号 c D. 2.若a=(6,2),b=(x,1),若a⊥b,则x的值是 A-号 B.子 C.-3 D.3 3.已知复数名1=a+2i与2=3+bi互为共轭复数，则z2的值是 A.4 B.6 C.9 D.13 4.如图，在△ABC中，D是BC上靠近B的一个三等分点，记A店=a,AC=b,则Ad可以用 a,b表示为 A市=a+ B.励=+ b c而-子知+ D.市-+动 5.已知平面a,B,y和直线m,n,c,下列命题正确的是 A.若mCa,nCa,m∥B,n∥B,则a∥BB.若m⊥c,n⊥c,则m∥n C.若a∥y,B∥y,则ax∥B D.若m⊥a,a⊥B,则m∥B 高一·数学第1页（共4页） 扫描全能王创建 6已知n(a-B)cosa-o(B-a)血a=25,B是第四象限角，则omB+贸）的值是 A.0 10 B.-10 10 C.3⑩ 10 D.-30 10 7.已知集合A={x|lnx+2x-6=0,若A二B,则符合条件的一个集合B是 A.B={xx2-5x+6>0 B.B={xx2-5x+6<0 C.B=xe<x<3 D.B=xx>el 8.已知函数f代x)在定义域(0，+∞)上单调，若对任意的x∈(0，+o),都有ff(x)-log2x)=3, 则f代22)-2的值是 A.22025 B.2202 C.2025 D.2027 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设复数z满足(3-4i)z=1+2i,则下列结论正确的是 A“的虚部为子 B.gi号 c.ll- D.若a+z为虚数，则a=5 10.声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y= 1 Asi血以.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数y=血x+2血2x+ 子血3x,下列说法正确的是 A.该函数是偶函数 B.该函数的最小正周期为2π C。该函数的最大值为号 D.该函数的图象关于(2π，0)对称 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点， F为侧面正方形AA,D,D内一动点，且满足B,F∥平面BC,M,则 A.动点F的轨迹是一条线段，线段长度为2 B。直线B,与AD的夹角的余弦值为号 C.三棱锥F-BC,M的体积为定值 D.若过A,M,C,三点作正方体的截面2，Q为截面2上一点， 则线段A,Q长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC,其中AC=BC,再将 所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何 体的体积为 高一·数学第2页（共4页） 然舞扫描全能王创建 13.已知平行四边形ABCD,对角线AC=2√万，BD=2√5，AB=4,则边AD=」 14.已知函数f(x)=log(2+1)的图象上存在点M,函数g(x)=-x-a的图象上存在点N, 且当∈[0，e]时，存在点M,N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD1中，E,F分别为棱DD,BB,的中点 (1)证明：C,F∥平面AOE; C (2)证明：AC⊥0E. 16(I5分)已知0<a<平，0<B<平，o(a+)=行，oas(a-p)=号 (1)分别求sin asin B,cos acos B,tan atan B的值； (2)求tana+tanB+2V6 tan atan B的值. 17.(15分)如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东75的方向航行c海里后到达小岛B, 然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行α海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b 海里，三个小岛构成△ABC 其中A,B，,C分别为三角形在顶点A,B,C处的内角 (1)若满足关系式：acos B+bcos A=2 ccos A,求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应 采用的方向（以北偏东角度表示）； (2)巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚. 若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若△ABC满足关系式：2CosA= 曲品吕求6+c的最大值 北 M 759 高一·数学第3页（共4页） 扫描全能王创建 18.(17分)已知圆A为单位圆，正方形ABCD的边长为2 (1)如图1，求正方形ABCD中不与圆A重叠部分的面积T; (2)将圆A沿边AD所在的直线向上翻折（以AD为轴）.动点P,E位于翻折后的两个不 同的半圆上（如图2所示），动点F在边BC上，动点G在边CD上，且四边形EFCG始终 为矩形，求四棱锥P-EFCG的最大体积V. D 图1 图2 19.(17分)通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似地，我们可以把有 序复数对(a1,2)(a1,2∈C)看作一个向量，记作a=(名，)，称a为复向量.类比平 面向量的相关运算法则，对于a=(名，)，b=(名，4)(z,2,,4eC),我们定义 复向量运算法则：①加法：a+b=(名-，2-4)；②减法：a-b=(名1+马，石+z4); ③数乘：k⑧a=(1,z2)(k∈C)；④数量积：a·b=a1+z4;⑤模：|a=√a·a. (1)设a=(1,2-i),b=(1+i,2i),求a·b和a+bl; (2)验证复向量结合律：k⑧(a+b)=k⑧a+k⑧b是否成立； (3)设a=(2+2i,2i),集合2={pp=(z,z+2i),z∈C引，be2,求|a+b的最小 值；并证明当|a+b取最小值时，对于任意的c∈2，（a+b)·(b+c)=0. 扫描全能王创建