第2章 周末练4 范围：§2.1（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

这是一份高中数学周测资料（周末练4），范围为§2.1，包含复习回顾与分阶段复习内容，涵盖单项选择、多项选择、填空及解答题，配备详细答案与解析，共38页，为学生提供系统的阶段性练习支架。 资料特色突出，注重核心素养培养，通过企业广告费与利润关系等实际问题引导学生用数学眼光观察现实，以比较大小、不等式证明等题目训练逻辑推理（数学思维），规范的公式推导与步骤解析强化数学语言表达。题型多样且解析详尽，助力高一学生适应高中数学学习、巩固基础，也为教师教学提供清晰的学情反馈。

范围：§2.1 周末练4 第2章　一元二次函数、方程和不等式 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C C B ACD ABD 题号 9 10 11 12 答案 AB > 6 －2<7a＋4b≤7 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)M－N＝ ＝＝(a－b)＝－. 因为a>0，b>0， 所以(1＋a)(1＋b)>0，－(a－b)2≤0，得M－N≤0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以M≤N. 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)因为a，b，c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0， 即a2＋b2>2ab. 同理b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. 所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，即p>q. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件的售价为万元， 即万元. ∴该企业的年销售收入为·Q＝万元. ∴W＝48Q＋－32Q－3－x＝16Q＋(x≥0). 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)∵W＝(x≥0)， ∴W＝ ＝－＋50＝－＋50 ≤－2＋50＝42. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当且仅当即x＝7时，等号成立. ∴Wmax＝42. ∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元. 一、单项选择题 1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是 A.60＋30n≥300 B.60＋30n≤300 C.60＋30(n－1)≤300 D.60＋30(n－1)≥300 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万， ∴60＋30(n－1)≥300. 解析 2.设M＝2a(a－1)＋9，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是 A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵M＝2a(a－1)＋9，N＝(a－2)(a－3)， ∴M－N＝2a2－2a＋9－(a2－5a＋6)＝2a2－2a＋9－a2＋5a－6 ＝a2＋3a＋3＝ ∵∀a∈R>0恒成立， ∴M－N>0，∴M>N. 解析 3.已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有 A.若a>b>0，ac>bd>0，则c>d B.若<则a>b C.若a>b，则ac2>bc2 D.若>则a<b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a＝3，c＝1，b＝1，d＝2满足a>b>0，ac>bd>0，但c<d，故A错误； a＝－1，b＝1满足<但a<b，故B错误； 当c2＝0时，ac2＝bc2，故C错误； >⇒>0⇒b－a>0，故D正确. 解析 4.已知实数0<a<1，则以下不等式关系正确的是 A.a2>>a>－a B.a>a2>>－a C.>a>a2>－a D.>a2>a>－a √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　∵0<a<1， ∴0<a2<1>1，－1<－a<0， 由0<a<1，得0<a2<a， 即>1>a>a2>0>－a， ∴>a>a2>－a. 方法二　特值法 取a＝计算可得选C. 解析 5.已知a>0，b>0，且则4a＋b的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　∵a>0，b>0，且 即＝1， 从而4a＋b＝4(a＋4)＋b－16 ＝[4(a＋4)＋b]－16 ＝15＋－16≥2－1＝11， 当且仅当即a＝b＝9时，等号成立. ∴4a＋b的最小值为11. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二　∵a>0，b>0 ∴b＝＝3＋. ∴4a＋b＝4a＋＋3＝4(a＋1)＋－1≥2－1＝11. 当且仅当4(a＋1)＝即a＝b＝9时，等号成立. ∴4a＋b的最小值为11. 解析 6.“>2”是“>>0”的 A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由>2得－2＝>0， 所以即a>0，b>0，a≠b或a<0，b<0，a≠b， 所以充分性不成立； 由>>0知，b>a>0， 所以≥2＝2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当且仅当即a＝b时等号成立， 又因为b>a>0，所以>2，所以必要性成立. 所以“>2”是“>>0”的必要而不充分条件. 解析 二、多项选择题 7.下列不等式正确的是 A.(x－1)2>x(x－2) B.≥ C.a2＋b2≥2(a－b－1) D.a2＋b2≥2ab 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，(x－1)2－x(x－2)＝x2－2x＋1－x2＋2x＝1>0，∴(x－1)2>x(x－2)，A正确； 对于B则a2b2>0，但a2＋b2－1的符号不能确定，B不正确； 对于C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，C正确； 对于D，a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，D正确. 解析 8.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是 A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.ab2>cb2 D.ac(a－c)<0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ ∵c<b<a且ac<0，∴c<0，a>0，由b>c两边同时乘以a得ab>ac，即A一定成立； ∵b－a<0，∴c(b－a)>0，即B一定成立； b2是非负的，虽然a>c，但当b2＝0时，ab2＝cb2，即C不一定成立； ∵a－c>0，∴ac(a－c)<0，即D一定成立. 解析 9.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 A.a2＋b2≥8 B.≥ C.≥2 D.≤1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 对于A，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴a2＋b2≥＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号，故A恒成立； 对于B，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴ab≤＝4， 当且仅当a＝b＝2时取等号， ∴≥故B恒成立； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴≤＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故C不恒成立； 对于D，∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴(a＋b)＝1， (a＋b)≥×2＝1， 当且仅当即a＝b＝2时取等号，故D不恒成立. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 10.　　　 .(填“>”或“<”) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > 因为＝17＋2 ＝17＋2所以>故>. 解析 11.设a>0，b>0，则的最小值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 由a>0，b>0，得＝1＋＋1≥2＋2＝6， 当且仅当即2a＝b时取等号. 解析 12.已知2<a＋2b≤5，－2≤3a＋b≤1，则7a＋4b的取值范围为 　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 －2<7a＋4b≤7 设7a＋4b＝x(a＋2b)＋y(3a＋b)＝(x＋3y)a＋(2x＋y)b， 所以解得 因为2<a＋2b≤5，－2≤3a＋b≤1， 则－4≤2(3a＋b)≤2， 因此，－2<7a＋4b≤7. 解析 四、解答题 13.(1)已知a>0，b>0，试比较M＝与N＝的大小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 M－N＝ ＝＝(a－b)＝－. 因为a>0，b>0， 所以(1＋a)(1＋b)>0，－(a－b)2≤0，得M－N≤0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以M≤N. 解 (2)已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ac，试比较p与q的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为a，b，c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0， 即a2＋b2>2ab. 同理b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. 所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，即p>q. 解 14.★★某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q＝(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件的售价为万元， 即万元. ∴该企业的年销售收入为·Q＝万元. ∴W＝48Q＋－32Q－3－x＝16Q＋(x≥0). 解 (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵W＝(x≥0)， ∴W＝ ＝－＋50＝－＋50≤－2＋50＝42. 当且仅当即x＝7时，等号成立. ∴Wmax＝42. ∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元. 解 第2章　一元二次函数、方程和不等式 <<< $