精品解析：湖南省衡阳市一中教育集团2024—2025学年下学期期末考试七年级数学度理

衡阳市一中教育集团2025年上学期期末考试试卷 初一数学 命题人：船山实验中学王宇雯 审题人：船山实验中学任燕 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 本试卷共3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以低成本、开源特性打破美国垄断，为我国发展注入一剂强心针：以下是四款国产应用，其文字上方的图案是中心对称的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，B，D不是中心对称图形，D是中心对称图形． 故选：D． 2. 下列方程变形正确的是（ ）． A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形正确，符合题意； D、由，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 3. 已知，判断下列不等式，不正确的有（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】A． 由，两边同乘正数3，得，原不等式正确，不符合题意． B． 由，两边同乘得，两边再加2得，原不等式不正确，符合题意． C． 由，，两边同除以，得，原不等式正确，不符合题意． D． 由直接移项得，原不等式正确，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，中，，，，下列选项不正确的是（ ）． A. 是的角平分线 B. 是的高 C. 是的中线 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 5. 下列正多边形的组合中，不能密铺地板的是（ ）． A. 正四边形和正六边形 B. 正四边形和正八边形 C. 正三角形和正四边形 D. 正三角形和正六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的密铺问题. 分别设每个选项两种多边形分别用a个和b个，列二元一次方程分别判断是否存在整数解使其和为即可. 【详解】解：选项A：正四边形（）和正六边形（），设两种多边形分别用a个和b个，需满足，化简为，无正整数解，故不能密铺． 选项B：正四边形（）和正八边形（），设两种多边形分别用a个和b个，方程为，化简为，存在解，故能密铺． 选项C：正三角形（）和正四边形（），设两种多边形分别用a个和b个，方程为，化简为．存在解，故能密铺． 选项D：正三角形（）和正六边形（），设两种多边形分别用a个和b个，方程为，化简为，存在解，故能密铺． 故选A． 6. 三个内角之比是，是（ ）． A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形的三个内角的度数之和为180度求出最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵三个内角之比是， ∴三个内角中，最大的内角的度数为， ∴是直角三角形， 故选：D． 7. “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设鸡有x只，则兔子有只，根据鸡脚数加兔子的脚数等于总脚数94，建立方程即可． 【详解】解：设有x只鸡，则可列方程为， 故选：B． 8. 下列尺规作图，能确定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图—基本作图，观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项作图痕迹可知，D为中点，即，不能确定； B选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，即，不能确定； C选项作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定； D选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定． 故选：C． 9. 关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式组无解情况． 先求出两不等式的解集，再根据不等式组无解判断即可． 【详解】解：， 解①得：； 解②得：； ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故选A． 10. 如图，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，且点D恰好在线段上，以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（ ）个． A 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，四边形内角和，等腰直角三角形的性质和判定， 由旋转的性质可得，，，，由等腰直角三角形的性质和四边形内角和可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，故①错误； 由旋转的性质可得，图形可得， 等量代换得，故②正确； 由旋转的性质可得旋转角，故③正确； 和是等腰直角三角形，，故④正确； 由旋转的性质可得， 点D在线段上，， 等量代换得，故⑤正确； 已证明， 又∵，四边形内角和为， ∴．故⑥正确； 综上：正确的有②③④⑤⑥，共5个； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若关于的方程的解是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程． 根据题意，先把代入方程，得出关于a的一元一次方程，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 移项、合并同类项，得， 故答案为：． 12. “x的相反数与1的差是非负数”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际意义抽象出一元一次不等式，先表示出x的相反数，再表示差，表示非负数是“”． 【详解】解：∵x的相反数与1的差表示为，非负数表示为， ∴根据题意可列出不等式． 故答案：． 13. 七年级（1）班实行个人积分制，30积分兑换一个本子，20积分兑换一支笔；某同学计划将150积分一次性兑换两种物品，有______种兑换方案． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题，根据实际问题列出二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可得到答案．读懂题意，列出二元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设兑换个本子，支笔， 由题意得， 整理得， 二元一次方程的非负整数解是，，， 要求兑换两种物品，故（舍去）， 将150积分一次性兑换两种物品，有两种方案： ①兑换1个本子，6支笔； ②兑换3个本子，3支笔； 故答案为：2． 14. 数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用．由题意知，结合构成三角形的三边关系即可得到，代值求解即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两点可以重合， 可以为， 故答案为：． 15. 如图，是一块长方形场地，米，米．从两个入口的小路的宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为______． 【答案】160平方米 【解析】 【分析】本题考查生活中的平移现象．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积即可．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 草坪面积（平方米）， 故答案为：160平方米． 16 如图，已知翻折得到，若，，则______°． 【答案】97 【解析】 【分析】此题主要考查的是折叠的性质及三角形的内角和的性质等有关知识，题目难度适中，通过考查，了解学生对折叠的性质及三角形的内角和等知识的掌握程度．熟练掌握折叠的性质及三角形的内角和并灵活运用是解决本题的关键． 根据翻折得，再根据三角形的内角和等于列式计算，由此即可解答． 【详解】解：由翻折得，， ∴， ∵在中，，， ∴． 故答案为：97． 17. 定义新运算“”，规定当时，；当时，．例如：，．如果，那么x的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，一元一次不等式和新定义题型，先判断两个式子的大小，得到一元一次不等式，根据新定义题的题意得到一元一次方程，进而解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，即，，解得：，，成立； 当时，即，，解得，，成立． 故答案为：2或． 18. 如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 三、解答题（19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共66分．） 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】该题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解①得， 解②得， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示出来如下： 20. 如图，是边上的一点，，． （1）求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式） 解：（1）∵是的外角，（已知）， ∴______（______）． 又∵（已知）， ∴______°．（等量代换） （2）若平分，求的度数．（请写出完整的解答过程） 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．熟记三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，并灵活运用是解决问题的关键． （1）由是的外角，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可求出的度数； （2）利用角平分线的定义和“三角形的内角和等于”，可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵是的外角，（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又∵（已知）， ∴．（等量代换）； 【小问2详解】 解：∵平分，（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵在中，，（已证）， ∴（三角形的内角和定理）． 21. 【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页第7题． 7．已知的解是非负数，求k的取值范围． （1）若遮挡部分为：“关于x的方程”，求k的取值范围． （2）若遮挡部分为：“关于x、y的方程组”，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式（组），一元一次方程的解和二元一次方程组的解，解题的关键是正确的计算出方程的解； （1）先根据一元一次方程的步骤，运用移项合并同类项系数化为1的步骤，用含的式子表示，根据解是非负数，得到关于含的不等式，解不等式即可； （2）先根据二元一次方程组的解法，运用加减消元法，用含的式子表示，根据解是非负数，得到关于含的不等式，解不等式即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵此方程的解是非负数， ∴， 解得：； k的取值范围． 【小问2详解】 解： 得：， 解得：； 把代入得：， ∴原方程组的解为． ∵此方程组的解是非负数， ∴， ∴． k的取值范围． 22. 如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边，，上，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）先根据得，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据三角形外角定理得，再根据得，则，然后再根据（1）的结论可得出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ， 又， ， ∴； 【小问2详解】 解：是的一个外角， ， 又，， ， ∵， ， 平分， ， ， ． 23. 某小区准备新建个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建个地上停车位和个地下停车位共需万元：新建个地上停车位和个地下停车位共需万元， （1）该小区新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元? （2）若该小区新建车位的投资金额超过万元而不超过万元，问共有几种建造方案? （3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额. 【答案】（1）新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.5万元；（2）一共2种建造方案；（3）当地上建39个车位地下建21个车位投资最少，金额为14.4万元. 【解析】 【分析】（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案． （2）设新建地上停车位m个，则地下停车位（60-m）个，根据投资金额超过14万元而不超过15万元，可得出不等式组，解出即可得出答案． （3）将m=38和m=39分别求得投资金额，然后比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）设新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元， 由题意得：， 解得， 故新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元. （2）设新建个地上停车位， 由题意得：， 解得，因为为整数，所以或， 对应的或，故一共种建造方案． （3）当时，投资（万元）， 当时，投资（万元）， 故当地上建个车位地下建个车位投资最少，金额为万元. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解，有一定难度． 24. 【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）设，由角平分线定义得，由三角形外角定理得，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）延长交于，延长交于，先求出，再根据得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， ∵平分平分， ， ， ， 整理得：， ∴当时，； （2）∵和是邻补角， ， ∵平分平分， ， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）延长交于，延长交于，如下图所示： ， ， ， 即， 同理：， ， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 25. 定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“自由数”，将一个“自由数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：10，22，56中，“自由数”为______；②计算：______． （2）如果一个“自由数”b的十位数字是，个位数字是，且，请你求出“自由数”b． （3）如果一个“自由数”c，满足，请你求出所有满足条件的c的值． 【答案】（1）①56；②9 （2） （3）91或92 【解析】 【分析】本题属于新定义题目，考查了一元一次方程和不等式的解法，准确结合所给定义列出式子进行求解是解题的关键． （1）①根据定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零”，可以确定“自由数”； ②根据所给定义代入并运算就可以求得的值． （2）根据“自由数”的定义代入可得的值为，根据，可求得，再出b的值为86． （3）先设c的个位为n，十位为m，可以代入求得的值为．再根据，可求得关于m和n的不等式，再对m、n进行讨论就可以求得c的值． 【小问1详解】 解：①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为自由数”可知，10，22，56中，“自由数”为56． 故答案为：56． ②． 故答案为：9． 【小问2详解】 解：∵这个“自由数”b的十位数字是，个位数字是， ∴． 将这个数的个位和十位调换后为：， ∴， 又， ∴， ∴． 故这个“自由数”． 【小问3详解】 解：设这个“自由数”c的个位为n，十位为m，则， 且m，n均为大于1小于10的正整数． 则，调换个位和十位后为：， 故， ∵， ∴． 整理得：， ∵，且m、n都是非零整数， ∴． ∵，， ①当时，，舍去； ②当时，． 当，此时；当时，此时； 故所有满足条件的c有：91或92． 26. 现有特制的等腰三角板（其中，），，，三点按顺时针方向排列，点在直线上，直线． （1）如图1，若点也在直线上，的平分线交直线于点，求的度数； （2）如图2，若把三角板绕点顺时针旋转α度（其中），起始位置如图，延长交直线于点，的平分线交直线于点，求和满足的数量关系； （3）若把三角板在平面内绕点顺时针旋转一周，起始位置如图，当的平分线与三角板的一条边所在的直线垂直时，直接写出三角板绕点旋转的度数． 【答案】（1） （2） （3）；； 【解析】 【分析】（1）由补角的定义求得，再根据角平分线的性质求得，由平行线的性质即可求解； （2）由补角的定义求得，再根据角平分线的性质求得，再根据平行线的性质求得，过点作，则，由平行线的性质求得，即可得出结论； （3）设角平分线为，分别考虑与三角板的三条边垂直的情况． 【小问1详解】 解：， ， 是的角平分线， ， ， ； 【小问2详解】 解：，平分， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：设角平分线为，分别考虑与三角板的三条边垂直： ①如图，当时，， ， ， , 此时旋转角度为； ②如图，当时， ， ， ， 恰好在上． 此时旋转角度为； ③如图，当时， ， ， ， 此时旋转角度为， 综上所述，三角板绕点旋转的度数，，． 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的性质，平行线的判定和性质，垂直的定义，补角的定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳市一中教育集团2025年上学期期末考试试卷 初一数学 命题人：船山实验中学王宇雯 审题人：船山实验中学任燕 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 本试卷共3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以低成本、开源特性打破美国垄断，为我国发展注入一剂强心针：以下是四款国产应用，其文字上方的图案是中心对称的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列方程变形正确是（ ）． A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 3. 已知，判断下列不等式，不正确的有（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，下列选项不正确的是（ ）． A. 是的角平分线 B. 是的高 C. 是的中线 D. 5. 下列正多边形的组合中，不能密铺地板的是（ ）． A. 正四边形和正六边形 B. 正四边形和正八边形 C. 正三角形和正四边形 D. 正三角形和正六边形 6. 三个内角之比是，是（ ）． A 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 7. “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 下列尺规作图，能确定的是（ ）． A. B. C. D. 9. 关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，且点D恰好在线段上，以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（ ）个． A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若关于的方程的解是，则______． 12. “x的相反数与1的差是非负数”用不等式表示为______． 13. 七年级（1）班实行个人积分制，30积分兑换一个本子，20积分兑换一支笔；某同学计划将150积分一次性兑换两种物品，有______种兑换方案． 14. 数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是______． 15. 如图，是一块长方形场地，米，米．从两个入口的小路的宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为______． 16 如图，已知翻折得到，若，，则______°． 17. 定义新运算“”，规定当时，；当时，．例如：，．如果，那么x的值为______． 18. 如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________． 三、解答题（19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共66分．） 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 如图，是边上的一点，，． （1）求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式） 解：（1）∵是的外角，（已知）， ∴______（______）． 又∵（已知）， ∴______°．（等量代换） （2）若平分，求的度数．（请写出完整的解答过程） 21. 【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页第7题． 7．已知的解是非负数，求k的取值范围． （1）若遮挡部分为：“关于x的方程”，求k的取值范围． （2）若遮挡部分为：“关于x、y的方程组”，求k的取值范围． 22. 如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边，，上，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 某小区准备新建个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建个地上停车位和个地下停车位共需万元：新建个地上停车位和个地下停车位共需万元， （1）该小区新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元? （2）若该小区新建车位的投资金额超过万元而不超过万元，问共有几种建造方案? （3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额. 24. 【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 25. 定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“自由数”，将一个“自由数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：10，22，56中，“自由数”为______；②计算：______． （2）如果一个“自由数”b的十位数字是，个位数字是，且，请你求出“自由数”b． （3）如果一个“自由数”c，满足，请你求出所有满足条件c的值． 26. 现有特制的等腰三角板（其中，），，，三点按顺时针方向排列，点在直线上，直线． （1）如图1，若点也在直线上，的平分线交直线于点，求的度数； （2）如图2，若把三角板绕点顺时针旋转α度（其中），起始位置如图，延长交直线于点，的平分线交直线于点，求和满足的数量关系； （3）若把三角板在平面内绕点顺时针旋转一周，起始位置如图，当的平分线与三角板的一条边所在的直线垂直时，直接写出三角板绕点旋转的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$