8.4　抛物线专项训练-2026届高三数学一轮复习

8.4　抛物线 考点1　抛物线的定义和标准方程 1.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=　 (　　) A.3　　B.4　　C.5　　D.6 2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p= (　　) A.1　　B.2　　C.2　　D.4 3.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|= (　　) A.2　　B.2　　C.3　　D.3 4.已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为  　.  5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值. 考点2　抛物线的几何性质 1.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 (　　) A.　　B.　　C.(1,0)　　D.(2,0) 2.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 (　　) A.经过点O　　B.经过点P C.平行于直线OP　　D.垂直于直线OP 3.(多选)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则 (　　) A.|AD|=|AF|　　B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6　　D.|AE|·|BE|≥18 4.(多选)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 (　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 5.(多选)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 6.(多选)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则　 (　　) A.C的准线为y=-1　　 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2　　 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 7.(多选)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则　 (　　) A.直线AB的斜率为2　　 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF|　　 D.∠OAM+∠OBM<180° 8.斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=  　.  9.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　 　.  练速度 1.如图,曲线AOB是抛物线C:x2=4y的一部分,且曲线AOB关于y轴对称,|AB|=4,则点B到C的焦点的距离为 (　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 2.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= (　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.6 3.已知A为抛物线y2=2px(p>0)上一点,若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(-2,0),则p的值为 (　　) A.1　　B.2　　C.4　　D.8 4.已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 (　　) A.2　　B.3　　C.　　D. 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点F的直线l与抛物线C的一个交点为A(m,8),则直线l的方程为 (　　) A.4x+3y-8=0　　B.4x-3y-8=0　　 C.3x+4y-6=0　　D.3x-4y-6=0 6.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点,交直线x=-1于点P,若=,则△OAF与△OBF的面积之比为　 (　　) A.　　B.　　C.　　D.1 7.已知O为坐标原点,过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,且|AB|=12,若△OAB的面积为4,则p= (　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.3 8.(多选)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则 (　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 9.(多选)抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M,点A在抛物线上(除原点外),则 (　　) A.当AF⊥x轴时,|AM|=2 B.当|AF|=3时,△AMF的面积为2 C.以AF为直径的圆与y轴相切 D.△AMF外接圆的面积最小值为π 练思维 1.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=7,则cos∠AFB的值为 (　　) A.0　　B.-　　C.-　　D.- 2.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,l是C的准线,点N是C上一点且位于第一象限,直线FN的斜率为正数,且与圆A:x2+y2-6x+6=0相切,过点N作l的垂线,垂足为P,则△PFN的面积为 (　　) A.2　　B.4　　C.4　　D.16 3.(多选)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,点A(8,8)在抛物线上,过点F作直线交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则 (　　) A.|MN|的最小值为4 B.以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切 C.当=2时,|MN|=9 D.·=-12(O为坐标原点) 4.(多选)设动直线l:y=kx-k+2与抛物线C:x2=2y相交于A,B两点,分别过A,B作C的切线,设两切线相交于点P,则　 (　　) A.直线l经过一定点 B.抛物线C的焦点为 C.点P到坐标原点的距离不小于 D.△PAB的面积的最小值为3 5.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线过点A(-1,0),M是抛物线上的动点,则 (　　) A.p=2 B.当|MF|=t|MA|时,t的最小值为 C.点M到直线y=x+3的距离的最小值为2 D.当=2时,直线ON的斜率的最大值为 6.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点F且不与x轴垂直的直线与E交于A,B两点,过AB的中点M作x轴的平行线交E于N点,则=　 　.  7.已知P为抛物线y2=4x上一点,过点P作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A,B两点,若直线AB的斜率为,则点P的坐标为　 　.  8.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,O是坐标原点.当l的斜率为2时,|AB|=5. (1)求抛物线C的方程; (2)若∠AOB=120°,求直线l的方程. 9.已知抛物线C:y2=4x,过点D(4,0)作斜率大于0的直线l,与曲线C交于A、B两点.原点O关于AB的对称点记为M点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当M在抛物线C上时,求△ABM的面积. 10.已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,点D(p,0),过F的直线交Γ于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A1,B1,直线A1D,B1D与直线AB分别交于点M,N. (1)求Γ的方程; (2)记M,N的纵坐标分别为yM,yN,当+=1时,求直线AB的斜率; (3)设E为x轴上一点,记k1,k2分别为直线ME,ND的斜率.若为定值,求点E的坐标. 练风向 图1是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm,口径26 cm,底径10 cm,该碗的轴截面(不含碗底部分)是抛物线的一部分,如图2,则该抛物线的焦点到准线的距离为 (　　) 　　 A. cm　　B. cm　　 C. cm　　D. cm 答案 考点1　抛物线的定义和标准方程 1. C 2. B 3. B 4. 5.解析　(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2. ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标. 设点P(4,4x0),Q(x1,y1), 则=(x1-4,y1-4x0), ∵F(1,0),∴=(1-x1,-y1), ∵=9, ∴ 整理得 第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值. ∴kOQ==, 当kOQ最大时,x0>0,∴kOQ=≤=, 当且仅当4x0=时取“=”,此时x0=,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为. 考点2　抛物线的几何性质 1. B 2. B 3. ACD 4. ABD 5. AC 6. BCD 7. ACD 8. 9. x=- 练速度 1. C 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. ABC 9. ACD 练思维 1. B 2. C 3. BCD 4. ACD 5. ABD 6. 4 7. (4,-4) 8.解析　(1)当l的斜率为2时,设l的方程为y=2,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y得4x2-6px+p2=0,则x1+x2=p, 由|AB|=x1+x2+p=p=5,解得p=2. 故抛物线C的方程为y2=4x. (2)解法一:当l垂直于x轴时,直线方程为x=1,可得A,B两点坐标分别为(1,2),(1,-2), 所以|AO|=|BO|==,|AB|=4, 由余弦定理的推论得cos∠AOB==-≠-,不符合题意; 设l的方程为y=k(x-1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y得k2x2-2(k2+2)·x+k2=0, Δ>0显然成立,且x1+x2=,x1x2=1. ·=x1x2+y1y2=x1x2-4=-3, ||||= = = =, 由∠AOB=120°得,cos∠AOB===-, 解得k=±. 从而l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1), 即l的方程为x-y-=0或x+y-=0. 解法二:由题可知,直线l的斜率不为0, 设l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x得y2-4my-4=0, Δ>0显然成立,且y1+y2=4m,y1y2=-4, ·=x1x2+y1y2=+y1y2=-3, ||||= = = = =, 由∠AOB=120°得,cos∠AOB===-, 解得m=±, 从而l的方程为x=±y+1, 故直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0. 9.解析　(1)证明:设直线l的方程为x=my+4(m>0),A(x1,y1)、B(x2,y2), 联立消去x得y2-4my-16=0, Δ=16m2+64>0, 由根与系数的关系得y1y2=-16,y1+y2=4m, 所以x1x2===16, 则·=x1x2+y1y2=16+(-16)=0, 所以OA⊥OB. (2)设M(x0,y0),AB与x轴的交点为D,因为原点O关于AB的对称点记为M点, 所以 解得x0=,y0=, 即M, 因为点M在抛物线C上, 所以=, 解得m=1, 所以y1+y2=4,又y1y2=-16, 所以|y1-y2|===4. 故S△ABM=S△OAB=|OD|·|y1-y2|=×4×4=8. 10.解析　(1)由题意知p=2,所以抛物线方程为y2=4x. (2)由(1)知D(2,0).由题意可设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),A1(-1,y1),B1(-1,y2). 联立消去x得y2-4my-4=0, 所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 直线A1D的方程为y=-(x-2), 联立解得yM=, 同理yN=. 所以+=+=2m+=-m=1, 所以m=-1.所以直线AB的斜率为=-1. (3)设E(t,0),因为=· =· =. 因为y1+y2=4m,y1y2=-4, 所以= =. 当t=时,=2为定值. 所以E. 练风向 B ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$