山东省聊城市2024-2025学年高一下学期期末教学质量抽测数学试题

2024一2025学年度第二学期期末教学质量抽测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试用时120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等 填写在答题卡的相应位置上。 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在客题 卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求。 1.已知点A(-1,3),B(1,2),则AB= A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(2,-1) 2.下列几何体是棱台的是 A. 3-)- A.-3-41 B.-3+4i C.3-4i D.3+41 4,若数据1,2,5，x,2,2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知正四棱锥S一ABCD的所有棱长均相等，则直线SA与其它经过该四棱能的两个顶 点的直线所成的角不可能为 A.30° B.45 C.60° D.90 6.2sin40-√3sinl0°= A.cos10" B.c0820 C.sin40 D.sin50" 高一数学试题第1页（共4页） 7.在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,A泸=X+号AD,当点P在△BCD内部运动 时，d的取值区间为(a,b),则a十b- A骨 B吕 c n 8.如图，AD是半径为4的半圆O的直径，点B,C在弧AD上，若AB=BC,则四边形BCDO 周长的最大值为 A.16 B.17 C.18 D.19 二、选择愿：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知空间中三条不同的直线a,b,c和平面a,且a∥b,则下列结论正确的是 A.若a∥c,则b∥c B.若a∥a,则b∥a C.若a与c相交，则b与c相交 D.若a与a相交，则b与a相交 10.欧拉公式e■cosx十isinz是由数学家歌拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数 的关联，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，若名=©，则 A.2z的虚部为1 B.=e C.=1 D2-2十2-2十…-xs=1 11.将函数f(x)=sin2x十V3cos2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象， 若=Kg(.pz)-得则 A.h(x)与(x)的最小正周期相同 B.h(x)与(x)的对称中心完全相同 Cf代✉)与gx)在[-平，]上的值域相同 D.x)与g红)的图象在[0，m]上恰有四个交点时，m的取值范围为[要，要) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若向量a在单位向量b上的投影向量为一b,则a·b= 13.函数f八)=in(x-)-cos(x一登)，xe[受x]的单调递减区闻为 14,已知△ABC中，CA⊥CB,AB=2,若将△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的内切 球半径等于子BC,则该内切球的表面积为一 高一数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 对于向量a=(1,y),b=(x2,y),定义运算a⑧b=(x1,为x),已知向量m=(1,), n=(（-2,2),t∈R. (1)若m☒n=n☒m,求t的值； (2)若(4m一n)⊥n,求m⑧n与m夹角的余弦值. 16.(15分) 某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试，从所有 学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成[30， 50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]这6组，得到如图所示的颍率分 布直方图. 颜率/阻距 0.0175==--- 0.0125 名 ò√30507090110130150数学成绩/份 (1)求α的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）： (2)从所抽取的数学成绩在[110,130)，[130,150]内的学生中，采用样本量按比例分配的 分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n 名学生中数学成绩在[130,150]内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数 学成绩在[110：130)内的学生数学成绩的平均数与方差， 高一数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A,B的动点，CD,BE 是圆柱的两条母线。 (1)证明：BC∥平面ADE (2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧AB的中点时，求直线AE与平面 ACD所成角的正切值. 18.(17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(cosC-cosA)=(a一b)sin'B. (1)求角C: (2)若△ABC的边e上的高等于sinC (i)当c=2时，求co3 AcosB的值； (i)求△ABC面积的最小值. 19.(17分) 如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA=AB=BC=2,D为AC的中点，平面ABD⊥平面ABC (1)求证：△A,BC1是直角三角形： (2)E为B,C,的中点，F为CE与BC,的交点，点M在线段A:B上，DM⊥BD, 若MF∥平面ABC (i)求侧面ACCA,与底面ABC所成二面角的正弦值： (若点C到平面ABB,A,的距离为2四，求三棱柱ABC-AB,C的体积。 5 高一数学试题第4页（共4页） 2024一2025学年度第二学期期末教学质量抽测 高一数学答案及评分标准 一、选择题 1~4.DDBD 5~8.AACB 二、选择愿 9.AD 10.BCD 11.ABD 三、填空通 12.-1 1a[臣]4特 四、解答题 15.解：(1)因为a⑧b-(x1为h),m=(1,0:n=(-2,2) 所以m⑧m=(2,一2），n⑧m=(一2t,2),……………………4分 因为m☒n=8m,所以一2=2，解得=一1.…+………6分 (2)由题意得4m一程=(6,4一2)，…………7分 又m=(一2,2)，且(4m一n)⊥n,所以一12十8t一4=0，解得t=2, 此时m=(1,2),m⑧n=(2,一4)4………………10分 设m☒m与m的夹角为日， (m☒n)·m(2,一4)·(1,2)--6 则co明m@·m市6×725x店三- 所以8如与m夹角的余弦值为一} …+44…13分 16.解：(1)由题率分布直方图知，(4+2a+4a十0.0175+0.0125+a)×20=1, 解得a=0.0025,+…444444444…3分 设这400名学生数学成绩的中位数为x, 因为(a+2a+4a)×20=7×0.0025×20=0.35<0.5, (a十2a十4a十0.0175)X20=(7×0.0025+0.0175)X20=0.7>0.5.+5分 所以x∈[90,110)， 令0.35+(x-90)X0.0175=0.5,解得x≈99， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分。…7分 a0.00251 (2）由愿意得0.025一0.012宽元解得n-6，…9分 设这6名学生的数学戚绩分别为111，x,x5,136 因为这6名学生的数学成绩的平均数为126分， 高一数学参考答案第1页（共4页） 所以十十+十+136-126，解得十十知十x十西=620， 所以十十十十五124，…12分 5 设1，x,x,x的方差为广，因为这6名学生的数学成绩的方差为50， 所以号[2+(124-126)门+合[0+(136-126)门=50，解得户=36， 故所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36。……… …15分 17.(1)证明：因为CD,BE是圆柱的两条母线， 所以CD∥BE,且CD=BE,所以四边形BCDE为平行四边形， 所以BC∥DE,…3分 又BC过平面ADE,DEC平面ADE,所以BC∥平面ADE. A 4…5分 (2)解：因为AB是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A,B的动点， 所以BC⊥AC, 又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ACB, 而BCC底面ACB,所以CDLBC,……7分 因为CDC平面ACD,ACC平而ACD,且CD∩AC=C, 所以BC⊥平面ACD。+… …44…8分 又由(1)知BC∥DE,所以DE⊥平面ACD,……………9分 所以∠EAD为直线AE与平面ACD所成的角，+…44…4…10分 设圆柱的底面圆半径为r,母线长为1， 因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以2πrl=2x2,得1=r, 又C为弧AB的中点，所以AC=BC=DE=2r, 所以在Rt△ACD中，AD=√AC+CD=√2r+7=3r,………13分 在R△ADE中，∠EAD-器-层-号 所似直线AB与平面ACD所成角的正切值为9 4……15分 18.解：(1)由b(cosC-cos2A)=(a-b)sin2B得b(sinA-sin'C)=(a-b)sin'B, 在△ABC中，由正弦定现得(a2一2)=(a一b)6,……2分 即a2-2-(a-b66=ab-,所以cosC-a+-c-1, 2ab 2 …4……………《分 因为0<C<x,所以C-等 高一数学参考答案第2页（共4页） (2)D由(1)知C-号，因为△ABC的边e上的高等于inC,且c=2, 所以△ABC的面积S-esinC-absinC,所以c=ab=2, ………………7分 图为在△ABC中，品·品c即登-号 所以sinAsinB=g,9分 又△ABC中，cosC=-cos(A+B)=inAsinB-cosAcoB= 所以cosAcoaB=-i血AsinB--音-是-=-音 …………4…11分 (的由(1)及(D知C-号，c=ab, 在△ABC中，由余弦定理得2=d3+8-2 abeos-号=a2+:-ab, 所以a2+8=2十ab=a形十ab,…13分 因为a2+b≥2ab,所以a'+ab≥2ab,解得ab≥1，当且仅当a=b=1时，等号成立. 所以-子ahainC1x9-9, 即△ABC面积的最小值为渠 …17分 19.(1)证明：因为AB=BC,D为AC的中点，所以BD⊥AC,…1分 因为平面A1BD⊥平面ABC,平面A1BD∩平面ABC=BD,ACC平面ABC, 所以AC⊥平面ABD,…2分 因为三棱柱ABC-A,BC,中，AC∥A:C1,所以A,C⊥平面A:BD, 又ABC平面A:BD,所以A1C⊥AB,即△A:BC是直角三角形. 4…小4分 (2)解：()如图，由MF∥平面ABC,得M//平面AB,C, 因为MFC平面A,BC,平面A,BC∩平面A1BC=A,C, 所以MF∥A,C,……4……5分 又E为G的中点，BC/aG,所以能-器-影- 440444…4小444444444小446分 由(1)知AC⊥平面ABD,所以AC⊥A,D,且∠ADB为二面角A,一AC-B的平面角， 7分 高一数学参考答案第3页（共4页） 又A1A=AB,所以A,D=BD,又△A:BD中，DM⊥BD, SAA DM 所以SAoW 2AD·DMsin∠ADM -皱-，所以in∠ADM-,…9分 zDB·DM 因为∠ADM是锐角，所以∠A,DM-音，∠ADB-亭，得hCA,DB-9 即侧面ACGA与底面ABC所成二面角的正弦值为号 444…10分 间图为CG/AA:D为AC的中点，点G到平面ABBA的距离为2， 所以点D到平面ABB,A的距离d为点C到平面ABB,A距离的}，即d-, 5 由()及(O知，ACL平面ABD,AD=BD,∠ADB=等，A,B=厅BD, 因为Vg模-4o=V=微D-有M,且A:A=AB=BC-2,AD=√4一BT, 所时×BDBD·血警·v一BD-青×告×gD·√一BD×, 即BD·V一BD=V16-3BD×严，平方整理得5BD-26BD+32=0, 解得BD-9,或BD=2,所以BD-5,或BD-E, …15分 因为V:e-445-6V4m=6V三p-48=6X×分X3BD·入√一是BD× 所似BD-5时，Ve46一5×5××号×零-16。 BD=E时，Ve445=5xE×春X2x-6 即三棱柱ABC-A马，G的体积为16，厘或6。…17分 25 (本题所有小题其他解法相应给分) 高一数学参考客案第4页（共4页）