8.3双曲线专项训练-2026届高三数学一轮复习

8.3　双曲线 考点1　双曲线的定义和标准方程 1.已知双曲线-=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1　　B.-=1 C.-y2=1　　D.x2-=1 2.已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　) A.　　B.3　　C.　　D.2 4.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1　　B.-=1 C.-=1　　D.-=1 5.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a= (　　) A.1　　B.2　　C.4　　D.8 6.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为  　.  考点2　双曲线的几何性质 1.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为 (　　) A.　　B.2　　C.　　D.2 2.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 (　　) A.4　　B.3　　C.2　　D. 3.点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合.抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=|AB|,则双曲线的离心率为 (　　) A.　　B.　　 C.2　　D.3 6.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 (　　) A.4　　B.8　　C.16　　D.32 7.设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是 (　　) A.(1,1)　　B.(-1,2)　　C.(1,3)　　D.(-1,-4) 8.(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1. (　　) A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆,其半径为 C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x D.若m=0,n>0,则C是两条直线 9.(多选)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则 (　　) A.∠A1MA2=　　 B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为　　 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 10.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为  　.  11.若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=  　.  12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为　 　,　 　.  13.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　 　.  14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是  　.  15.记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　 　.  16.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为  　.  练速度 1.已知直线y=2x是双曲线C:-=1(b>0)的一条渐近线,则C的离心率等于 (　　) A.　　B.　　C.　　D.或 2.已知双曲线E的中心为原点,焦点在x轴上,两条渐近线夹角为60°,且点(1,1)在E上,则E的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.2　　D.或2 3.已知点P在双曲线C:-=1(a>0,b>0)上,且点P到C的两条渐近线的距离之积等于,则C的离心率为 (　　) A.3　　B.2　　C.　　D. 4.已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,过F且倾斜角为30°的直线交双曲线C的两条渐近线于D,E两点,则|DE|= (　　) A.　　B.　　C.2　　D.2 5.若P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)上异于A(-a,0),B(a,0)的动点,且直线PA与PB的斜率之积为5,则C的渐近线方程为 (　　) A.y=±x　　B.y=±x　　 C.y=±x　　D.y=±5x 6.过双曲线的左焦点F1作一条渐近线的垂线,垂足为H,线段HF2(其中F2为双曲线的右焦点)的中点在另外一条渐近线上,则双曲线的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.2　　D.2 7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),圆O经过直线x=±a,y=±b的四个交点,且圆O与C在第一象限交于点P,与x轴分别交于点E,F,则△PEF的面积为 (　　) A.a2　　B.b2　　C.a2+b2　　D.a2-b2 8.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D.3 9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C在第一象限内的点,且PF1⊥PF2,点P关于x轴的对称点为Q,若△F1PQ为等边三角形,则C的离心率为 (　　) A.　　B.+1　　C.　　D. 10.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C第一象限上一点,∠F1PF2的平分线所在直线为l,过点O(O为坐标原点)作PF2的平行线,分别与PF1,l交于M,N两点,若|MN|=|PF2|,则△PF1F2的面积为 (　　) A.20　　B.12　　C.24　　D.10 练思维 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为的直线与C的右支交于A,B两点,且|BF2|=3|AF2|,则的值为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C的左支上一点,AF1与C的一条渐近线平行.若|AF2|=|F1F2|,则C的离心率为 (　　) A.2　　B.2　　C.3　　D.3 3.已知O为坐标原点,F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A1,A2为C的左、右顶点,M为C上一点,MF⊥x轴,过A1的直线分别交y轴和线段MF于H,N两点,直线A2N交y轴于G点,且2+=0,则双曲线的渐近线方程为　 (　　) A.y=±x　　B.y=±2x　　 C.y=±x　　D.y=±x 4.已知双曲线Γ:x2-=1的左焦点为F,点A,B在Γ的右支上,且|AB|=6,则|FA|+|FB|的最小值为 (　　) A.4　　B.6　　C.10　　D.14 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F的直线与双曲线C左支交于P,Q两点,Q,R两点关于y轴对称,且|FP|∶|FR|∶|FQ|=10∶5∶2,则双曲线C的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C的右支上一点,M在y轴上的射影为H,O为坐标原点.若=3,·=0,∥,则C的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(多选)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线y=x-2与C的一条渐近线平行,且与C交于点P,则 (　　) A.C的离心率为　　 B.C的实轴长为4 C.△PF1F2的面积为1　　 D.|PF1|+|PF2|=3 8.(多选)双曲线-=1(a>0)的左、右焦点分别为M,N,O为坐标原点,点P在双曲线上,且△PMN的内切圆圆心为H(1,1),则 (　　) A.点H在直线x=a上 B.∠PMN> C.△PMN外接圆的面积为π D.连接PH并延长,交x轴于点Q,则|PH|=2|HQ| 9.已知点A,B分别为双曲线τ:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,τ的离心率为2,过点B作垂直于x轴的直线l,P为直线l上一点,D为双曲线右支上一点,直线PD交双曲线左支于C点,直线AD,AC分别交直线OP于E,F点,当P(a,b)时,·=3. (1)求双曲线τ的方程; (2)求的值. 10.已知圆O:x2+y2=1,点F(2,0),动点M(x,y),以MF为直径的圆与圆O相外切,记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)设点A(2,3),P(t,0),Q(2-t,0),直线AP,AQ分别与曲线C交于点S,T(点S异于点A). ①求证:直线ST过定点; ②若AG⊥ST,G为垂足,求点G的轨迹方程. 11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F(2,0)到C的一条渐近线的距离为. (1)求C的方程. (2)设点P在C的右支上,过点P作圆O:x2+y2=的两条切线,一条与C的左支交于点M,另一条与C的右支交于点N(异于点P). (i)证明:OM⊥OP; (ii)当△PMN的面积最小时,求直线PM和直线PN的方程. 练风向 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥,得到了圆锥曲线,其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分,已知高PO=2,底面圆的半径为4,M为母线PB的中点,平面与底面的交线EF⊥AB,则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为 (　　) A. 　　B.　　C.　　D. 答案 考点1　双曲线的定义和标准方程 1. D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. -=1 考点2　双曲线的几何性质 1. D 2. C 3. A 4. A 5. A 6. B 7. D 8. ACD 9. ACD 10. 11. 12. y=x;y=-x 13. 2 14. 15. 2(答案不唯一,在(1,]范围内取值均可) 16. 练速度 1. A 2. C 3. D 4. A 5. C 6. A 7. B 8. B 9. B 10. C 练思维 1. B 2. C 3. B 4. C 5. B 6. D 7. ACD 8. ACD 9.解析　(1)因为双曲线的离心率为2,所以=2,即c2=4a2,则b2=3a2. 由题意知A(-a,0),B(a,0), 又P(a,b),所以=(-2a,-b),=(0,-b),所以·=0+b2=b2, 又·=3,所以b2=3,所以a2=1, 所以双曲线τ的方程为x2-=1. (2)由(1)知A(-1,0),B(1,0),设C(x1,y1),D(x2,y2),P(1,t), 则直线OP的方程为y=tx, 直线AC的方程为y=(x+1), 联立 则tx=(x+1),解得xF=, 同理可得xE=, ①当直线PD的斜率为0时,y1=y2=t, 所以xF=,xE=,所以x1+x2=0,所以=1; ②当直线PD的斜率不为0时,设直线PD的方程为y-t=k(x-1), 联立消去x,整理得y2+y+-3=0, 则y1+y2=,y1y2=,Δ>0, 则xF+xE=+ = = =, 因为y2y1+(y2+y1)=·+· ==0, 所以xF+xE=0,所以=1. 综上所述,=1. 10.解析　(1)设N是MF的中点,F1(-2,0),连接ON,MF1, 由题意可得ON∥MF1且|MF1|=2|ON|, ∴|MF1|-|MF|=2(|ON|-|NF|)=2<|F1F|=4, 故点M的轨迹是以F1,F为焦点,实轴长为2的双曲线的右支, 则∴a=1,b==, ∴曲线C的方程为x2-=1(x≥1). (2)①证明:设S(x1,y1),T(x2,y2),直线ST的方程为x=my+n, 由得(3m2-1)y2+6mny+3(n2-1)=0, ∴y1+y2=,y1y2=, 直线AS的方程为y=(x-2)+3, 令y=0,则x=2-=t, 直线AT的方程为y=(x-2)+3, 令y=0,则x=2-=2-t, ∴+=2, ∴3(my1+n-2)(y2-3)+3(my2+n-2)(y1-3)=2(y1-3)(y2-3), ∴y1y2+(n-3m)(y1+y2)-6(n-1)=0, ∴+(n-3m)-6(n-1)=0, ∴(n2-1)(6m-2)-6mn(n-3m)-6(n-1)(3m2-1)=0, ∴18m2-2n2+6n-6m-4=0, 即9m2-n2+3n-3m-2=0, ∴(n+3m-2)(n-3m-1)=0, ∴n=2-3m或n=3m+1, 当n=2-3m时,直线ST的方程为x=m(y-3)+2, 令y-3=0,即y=3,∴x=2, ∴直线ST经过点A(2,3),即点S与A重合,与题意不符; 当n=3m+1时,直线ST的方程为x=m(y+3)+1, 令y+3=0,即y=-3,∴x=1, ∴直线ST过定点(1,-3). ②由①知直线ST过定点(1,-3),记其为点B, 由AG⊥ST可知垂足G在以AB为直径的圆上, ∵<t<1,∴1<x<2, ∴点G的轨迹方程为+y2=1<x<2,3<y≤. 11.解析　(1)因为双曲线C的右焦点为F(2,0),所以c=2,则a2+b2=4. 双曲线C的渐近线方程为y=±x,即为bx±ay=0, 因为点F(2,0)到C的一条渐近线的距离为,所以=,则b=,a=1, 所以C的方程为x2-=1. (2)(i)证明:显然圆O的切线PM的斜率存在,设切线PM的方程为y=kx+m, 由于切线PM不平行于C的渐近线,则k≠±. 由圆心O到切线PM的距离d==,得2m2=3(k2+1), 由消去y得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0, 由题意知Δ>0.设P(x1,y1),M(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=-, 而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =-++m2=. 则x1x2+y1y2==0,则·=x1x2+y1y2=0,所以OM⊥OP. (ii)由(i)同理可得ON⊥OP, 所以M,O,N三点共线. 则△PMN的面积S=2S△POM. 设切线PM与圆O的切点为D, 则|OD|=, S=2S△POM=|OD||PM|=|PM|. 由(i)得|PM|= =, 又2m2=3(k2+1), 则|PM|==. 当k=0时,|PM|min=,Smin=3, 此时,直线PM平行于x轴,则M,P纵坐标的绝对值为圆O的半径, 得点P的坐标为, 所以直线PM的方程为y=±,直线PN的方程为x=. 练风向 D ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$