1.5.1 等腰三角形 同步提升 2025—2026学年苏科版八年级数学上册

21.5.1 等腰三角形 同步提升 一．选择题 1．若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（　　） A．10 B．10或11 C．10或12 D．11 2．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．70° C．100° D．40°或100° 3．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 6．如图，△ABC，AB＝AC，AD平分外角∠EAC，则∠EAD与∠C的关系是（　　） A．∠EAD＝∠C B．∠EAD＞∠C C．∠EAD＜∠C D．∠EAD≥∠C 7．如图，C为两个直角三角板的公共顶点，∠A＝∠B＝30°，则图中等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝54°，D是BC边上的中点，连接AD，则∠DAC等于（　　） A．36° B．45° C．54° D．72° 第8题 第10题 第12题 第13题 9．从长分别为3cm、3cm、5cm、5cm、6cm五根小杯中，选取三根围成不同的等腰三角形，这些等腰三角形的周长不可能是（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．16cm 10．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 二．填空题（共8小题） 11．△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝50°，AC＝5，则AB＝　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的一点，满足AD＝CD．若∠BAD＝a°，则∠B的度数为　 　 °．（请用含a的代数式表示） 13．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝ 　 　 ． 第13题 第15题 14．如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若AD∥BC，DB＝DC，∠A＝∠BDC＝40°，则∠ABD＝ 　 　 °． 15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝30°，∠EDC＝15°，则∠DAE的度数是 　 　 度． 16．如图，组成虚线网格的每个小正三角形的边长都为1，若有格点（小正三角形的顶点）C，使△ABC为等腰三角形，那么这样的C点共有　 　 个． 第16题 第17题 第18题 17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　 　 ． 18．在第1个△ABA1中，∠B＝n°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，以A2027为顶点的等腰三角形的底角的度数为 　 　 °．（用含n的式子表示） 三．解答题 19．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB； （2）当BC＝AC时，请判断BE与AD的数量关系，并说明理由． 20．如图，AD⊥BC，BD＝DC，CF垂直平分AE，交AE于点F． （1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数； （2）若AB+BD＝6，AE＝8，求△ABE的周长． 21．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 22．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AC上，点E在AC左侧，连接BD，CE，AE，BD＝CE且∠ADB＝∠BCE，延长BD交AE于点F． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠FAB＝107°，求∠ABC的度数． 23．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由． （1）AD∥FG； （2）点A在EF的垂直平分线上． 24．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B A D A B D 二．填空题 11．△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝50°，AC＝5，则AB＝　5　 ． 解：∵∠A＝80°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∴AB＝AC＝5． 故填5． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的一点，满足AD＝CD．若∠BAD＝a°，则∠B的度数为　（）　 °．（请用含a的代数式表示） 解：由题意，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C． 设∠B＝x°， ∴∠DAC＝∠C＝∠B＝x°． ∵∠ADB是△ADC的一个外角， ∴∠ADB＝∠DAC+∠ACD＝x°+x°＝2x°． 在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝180°﹣a°﹣2x°＝x°． ∴x°． ∴∠B． 故答案为：（）． 13．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝ 　4　 ． 解：∵EC＝3EF＝6， ∴EF＝2， ∵CD平分∠ACB，BF平分∠ABC， ∴∠ACD＝∠DCB，∠ABF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EDC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠EDC，∠ABF＝∠DFB， ∴ED＝EC＝6，DB＝DF， ∴DF＝DB＝DE﹣EF＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 14．如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若AD∥BC，DB＝DC，∠A＝∠BDC＝40°，则∠ABD＝ 　70　 °． 解：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°． 又∵∠A＝40°， ∴∠ABC＝140°． ∵DB＝DC，∠BDC＝40°， ∴∠DBC＝∠C70°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°． 故答案为：70． 15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝30°，∠EDC＝15°，则∠DAE的度数是 　60　 度． 解：设∠C＝x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝x， ∴∠AED＝x+15°， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠AED＝x+15° 根据三角形的内角和定理，得x+x+（30°+x+15°）＝180° 解得x＝45°， 则∠DAE＝60°． 故答案为：60． 16．如图，组成虚线网格的每个小正三角形的边长都为1，若有格点（小正三角形的顶点）C，使△ABC为等腰三角形，那么这样的C点共有　7　 个． 解：∵每个小正三角形的边长都为1， ∴当AB为底边时，作AB的垂直平分线与格点的交点即为点C， 所以满足条件的点C有5个， 当AB为腰时，分别以点B、A为圆心，AB为半径画弧于格点的交点有2个， 故这样的点C有7个． 故答案为：7． 17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　7　 ． 解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC ∴BM＝EM，NE＝NC， ∵BM+CN＝7， ∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7， 故答案为：7． 18．在第1个△ABA1中，∠B＝n°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，以A2027为顶点的等腰三角形的底角的度数为 　　 °．（用含n的式子表示） 解：∵∠B＝n°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝∠B， ∵CA1＝A1A2， ∴∠A1A2C＝∠A1CA2， ∵∠A1A2C+∠A1CA2＝∠BA1A， ∴∠A1A2C∠BA1A， 同理：∠A2A3D， 按此做法进行下去，以A2027为顶点的等腰三角形的底角的度数为． 故答案为：． 三．解答题 19．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB； （2）当BC＝AC时，请判断BE与AD的数量关系，并说明理由． （1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵DE∥BC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB． （2）解：BE＝AD，理由如下： ∵BC＝AC， ∴∠A＝∠ABC， ∵DE∥AB， ∴∠CDE＝∠A，∠CED＝∠ABC， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE， ∵BC＝AC， ∴BC﹣CE＝AC﹣CD， ∴BE＝AD． 20．如图，AD⊥BC，BD＝DC，CF垂直平分AE，交AE于点F． （1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数； （2）若AB+BD＝6，AE＝8，求△ABE的周长． 解：（1）∵BD＝DC，AD⊥BC， ∴AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝20°， ∴∠ACD＝90°﹣20＝70°， ∵CF垂直平分线段AE， ∴CA＝CE， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠ACD＝∠E+∠CAE＝70°， ∴∠E＝35°； （2）∵AB＝AC＝CE，BD＝DC，AB+DB＝6， ∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝6， ∴AB+BE＝12， ∵AE＝8， ∴△ABE的周长＝12+8＝20． 21．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． （1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CDA＝28°， ∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝28°+90°＝118°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣118°＝62°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2∠ABD62°＝31°， ∵∠1＝∠3， ∴∠3＝31°． 22．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AC上，点E在AC左侧，连接BD，CE，AE，BD＝CE且∠ADB＝∠BCE，延长BD交AE于点F． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠FAB＝107°，求∠ABC的度数． （1）证明：∵∠ADB是△BCD的外角， ∴∠ADB＝∠BCD+∠DBC， ∵∠BCE＝∠BCD+∠ECA，∠ADB＝∠BCE， ∴∠BCD+∠ECA＝∠BCD+∠DBC， ∴∠ECA＝∠DBC， 在△ECA和△DBC中， ， ∴△ECA≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：设∠ACB＝α， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC（180°﹣∠ACB）＝90°α， 由（1）可知：△ECA≌△DBC， ∴∠EAC＝∠ACB＝α， ∵∠FAB＝107°， ∴∠BAC＝∠FAB﹣∠EAC＝107°﹣α， ∴90°α＝107°﹣α， 解得：α＝34°， ∴∠ABC＝90°α＝73°． 23．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由． （1）AD∥FG； （2）点A在EF的垂直平分线上． 解：（1）∵AB＝AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∵FG⊥BC， ∴AD∥FG； （2）∵AB＝AC，D为BC边的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AD∥FG， ∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD， ∴∠F＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∴点A在EF的垂直平分线上． 24．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/12 16:28:13；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 5页） 21.5.1 等腰三角形 同步提升 一．选择题 1．若等腰三角形的两边长分别为 3和 4，则它的周长是（ ） A．10 B．10或 11 C．10或 12 D．11 2．等腰三角形的一个角是 40°，则它的顶角是（ ） A．40° B．70° C．100° D．40°或 100° 3．若等腰三角形的一边长为 3cm，周长为 15cm，则此等腰三角形的底边长是（ ） A．3cm或 9cm B．9cm C．3cm D．3cm或 6cm 4．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重 叠），则拼成的等腰三角形有（ ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 第 4题 第 5题 第 6题 第 7题 5．如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，A、B是格点，以 A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点 C 的个数为（ ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 6．如图，△ABC，AB＝AC，AD平分外角∠EAC，则∠EAD与∠C的关系是（ ） A．∠EAD＝∠C B．∠EAD＞∠C C．∠EAD＜∠C D．∠EAD≥∠C 7．如图，C为两个直角三角板的公共顶点，∠A＝∠B＝30°，则图中等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝54°，D是 BC边上的中点，连接 AD，则∠DAC等于（ ） A．36° B．45° C．54° D．72° 第 8题 第 10题 第 12题 第 13题 第 2页（共 5页） 9．从长分别为 3cm、3cm、5cm、5cm、6cm五根小杯中，选取三根围成不同的等腰三角形，这些等腰三角 形的周长不可能是（ ） A．11cm B．12cm C．13cm D．16cm 10．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点 P从点 B出发以每秒 3cm的速度向点 A运动，点 Q 从点 A同时出发以每秒 2cm的速度向点 C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运 动，当△APQ是以 PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 二．填空题（共 8 小题） 11．△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝50°，AC＝5，则 AB＝ ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D是边 BC上的一点，满足 AD＝CD．若∠BAD＝a°，则∠B的度 数为 °．（请用含 a的代数式表示） 13．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点 D作 DE∥BC交 AC于点 E，BF平分∠ABC交 DE于点 F，若 EC＝3EF＝6，则 BD＝ ． 第 13题 第 15题 14．如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若 AD∥BC， DB＝DC，∠A＝∠BDC＝40°，则∠ABD＝ °． 15．如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝30°，∠EDC＝15°，则∠DAE 的度数是 度． 16．如图，组成虚线网格的每个小正三角形的边长都为 1，若有格点（小正三角形的顶点）C，使△ABC 为等腰三角形，那么这样的 C点共有 个． 第 16题 第 17题 第 18题 17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点 E，过点 E作 MN∥BC交 AB于 M，交 AC于 N， 第 3页（共 5页） 若 BM+CN＝7，则线段 MN的长为 ． 18．在第 1 个△ABA1中，∠B＝n°，AB＝A1B，在 A1B上取一点 C，延长 AA1到 A2，使得 A1A2＝A1C； 在 A2C上取一点 D，延长 A1A2到 A3，使得 A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，以 A2027为顶点的等 腰三角形的底角的度数为 °．（用含 n的式子表示） 三．解答题 19．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交 BC于点 E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB； （2）当 BC＝AC时，请判断 BE与 AD的数量关系，并说明理由． 20．如图，AD⊥BC，BD＝DC，CF垂直平分 AE，交 AE于点 F． （1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数； （2）若 AB+BD＝6，AE＝8，求△ABE的周长． 第 4页（共 5页） 21．如图，已知 AB∥CD，BC平分∠ABD，交 AD于点 E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若 AD⊥BD于点 D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 22．如图，在△ABC中，AC＝BC，点 D在线段 AC上，点 E在 AC左侧，连接 BD，CE，AE，BD＝CE 且∠ADB＝∠BCE，延长 BD交 AE于点 F． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠FAB＝107°，求∠ABC的度数． 第 5页（共 5页） 23．如图，△ABC中，AB＝AC，D为 BC边的中点，F为 CA的延长线上一点，过点 F作 FG⊥BC于 G 点，并交 AB于 E点，试说明下列结论成立的理由． （1）AD∥FG； （2）点 A在 EF的垂直平分线上． 24．已知在△ABC中，AB＝AC，点 D是边 AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图 1，试说明 CD＝CB的理由； （2）如图 2，过点 B作 BE⊥AC，垂足为点 E，BE与 CD相交于点 F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．