8.2椭圆专项训练-2026届高三数学一轮复习

8.2　椭圆 考点1　椭圆的定义和标准方程 1.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　) A.+=1(y>0)　　B.+=1(y>0) C.+=1(y>0)　　D.+=1(y>0) 2.已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　) A.13　　B.12　　C.9　　D.6 3.设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|= (　　) A.1　　B.2　　C.4　　D.5 4.设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为 (　　) A.　　B.　　C.　　D.2 5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为 (　　) A.+=1　　B.+=1　　 C.+=1　　D.+y2=1 6.设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|. 8.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2. (1)求椭圆E的方程; (2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值. 9.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|. (1)求C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 10.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴. 11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=. (1)求C的方程. (2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3. (i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示); (ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值. 考点2　椭圆的几何性质 1.设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　　) A.　　B.　　C.-　　D.- 3.椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 (　　) A.　　B.　　 C.　　D. 4.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　　) A.　　B.　　 C.　　D. 5.已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为　 　.  6.已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　 　.  7.已知椭圆+=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是  　,椭圆的离心率是  　.  8.已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　 　.  练速度 1.椭圆Γ:+=1(a>b>0)经过(,0)和(0,2)两点,则椭圆Γ的焦距为 (　　) A.2　　B.4　　C.　　D.2 2.已知椭圆C:+y2=1的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合,则C的离心率为　 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.已知A,B分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点,直线x=(c为椭圆E的半焦距)上存在点C,使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且△ABC的面积为4,则椭圆E的方程为 (　　) A.+=1　　B.+=1 C.+=1　　D.+=1 4.已知△ABC的三条边长分别为3,4,5,△ABC的两个顶点是椭圆E的焦点,其另一个顶点在椭圆E上,则E的离心率的最大值为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF2并延长交椭圆C于另一点B,若|F1B|∶|AB|=5∶7,则椭圆C的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,⊥,且3=2,则cos∠BAF1= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.如图,在高为16的圆柱形筒中,放置两个半径均为3的小球,两个小球均与筒壁相切,且分别与两底面相切,已知平面α与两个小球也相切,平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆,则该椭圆的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.直线3x+2y=6经过椭圆m2x2+n2y2=1的两个顶点,则该椭圆的离心率为  　.  10.已知椭圆C:+=1(m>0)的焦点为F1,F2,P为C上的一点,若△PF1F2的周长为18,则C的离心率为  　.  练思维 1.如图,已知椭圆+=1(a>2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为 (　　) A.20　　B.10　　C.2　　D.4 2.已知点P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,点Q在圆O:x2+y2=b2上.若|PQ|的最大值等于椭圆C的焦距,则椭圆C的离心率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(多选)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A,B为椭圆C上关于原点对称的两点,且|AB|=|F1F2|,则 (　　) A.AF1⊥AF2 B.四边形AF1BF2的周长为4a C.四边形AF1BF2的面积为b2 D.椭圆C的离心率的取值范围为 4.(多选)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,O为坐标原点,P为C上异于左、右顶点的一点,H是线段PF2的中点,则 (　　) A.|OH|+|HF2|=2 B.|OH|>1 C.△OHF2内切圆半径的最大值为 D.△HF1F2外接圆半径的最小值为1 5.(多选)已知O(0,0),A(a,0),B(a,1),C(0,1),D(0,-1),其中a≠0.点M,N分别满足=λ,=(1-λ),其中0<λ<1,直线CM与直线DN交于点P,则 (　　) A.直线CM与直线DN的斜率乘积为- B.当a=-1时,存在点P,使得|DP|=2 C.当a=2时,△PAC面积最大值为 D.若存在λ,使得|DP|>2,则a∈(-∞,-)∪(,+∞) 6.设O为坐标原点,A为椭圆E:+=1(a>b>0)的上顶点,点B在E上,线段AB交x轴于点M.若∠AOB=135°,且|BM|=|AM|,则E的离心率等于  　.  7.如图,椭圆C1:+=1(a>b>0)的右顶点A是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,过A作x轴的垂线交C2于点B,线段BO与C1交于点D,F是C1的焦点,DF∥AB,则C1的离心率e=  　.  8.已知椭圆C:+y2=1的上顶点为A,直线l:y=kx+m交C于M,N两点.若△AMN的重心为,则实数k的值是  　.  9.平面内,动点M(x,y)与定点F(,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是常数,记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)O为坐标原点,A,B为曲线E上不同两点,经过A,B两点的直线与圆x2+y2=1相切,求△OAB面积的最大值. 10.已知椭圆E1:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)在E1上. (1)求E1的方程. (2)设椭圆E2:+y2=m(m>1).若过P的直线l交E1于另一点Q,交E2于A,B两点,且A在x轴上方. (i)证明:|AP|=|BQ|; (ii)O为坐标原点,C为E2的右顶点,设A在第一象限内,=2,是否存在实数m,使得△OBP的面积与△CPA的面积相等?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 11.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线论》一书中指出:平面内动点M与两定点Q,P的距离之比=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数,那么动点M的轨迹是一个圆,且圆心在直线PQ上,我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆x2+y2=2的两个定点分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A,且椭圆C的离心率为e=. (1)求椭圆C的标准方程. (2)如图,过右焦点F斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于B,D(点B在x轴上方),点S,T是椭圆C上异于B,D的两点,SF平分∠BSD,TF平分∠BTD. ①求的取值范围; ②若△SFT外接圆的周长为9π,求直线l的方程. 答案 考点1　椭圆的定义和标准方程 1. A 2. C 3. B 4. A 5. B 6. B 7.解析　(1)由题意,得 解得, 所以b==. 故C的方程为+=1. (2)由题意知,直线l的斜率必存在. 设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 消去y,得(1+2k2)x2-8kx+4=0,① 由Δ=(-8k)2-4×4(1+2k2)>0,得k2>, 由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2| =· =· =. 又原点O到直线l的距离d=,且△OAB的面积为, 所以··=,解得k2=,满足Δ>0, 所以|AB|==. 8.解析　(1)由题意得b=1,c=,则a==2,所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)过点P且斜率为k的直线方程为y-1=k(x+2),设B(x1,y1),C(x2,y2), 联立直线和椭圆E的方程得可得(1+4k2)·x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0, 由Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)·(16k2+16k)>0,解得k<0, 根据根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=. 直线AB的斜率kAB=,则直线AB的方程为y=+1,令y=0,可得点M的横坐标xM=, 同理可得点N的横坐标xN=, 则|MN|== = = ==2. 所以 =2, 化简可得=,解得k=-4, 故k的值为-4. 9.解析　(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=. 不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c. 由|CD|=|AB|得4c=,即3×=2-2.解得=-2(舍去)或=. 所以C1的离心率为. (2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:+=1. 设M(x0,y0),则+=1,=4cx0,故+=1.① 由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得+=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3. 所以C1的标准方程为+=1,C2的标准方程为y2=12x. 10.解析　(1)∵MF⊥x轴,且M在C上, ∴c=1,=,结合c2=a2-b2,解得a=2,b=, ∴C的方程为+=1. (2)证明:当直线AB与x轴重合时显然符合题意. 当直线不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=ty+4,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x得(4+3t2)y2+24ty+36=0, 由Δ=(24t)2-4×(4+3t2)×36=144(t2-4)>0,得t2>4, 由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=, ∵N为FP的中点,∴N, ∴直线NB的方程为y=, 令x=1,解得yQ=-, ∴y1-yQ=y1+==, ∵2ty1y2+3(y1+y2)=2t·+3·=0, ∴y1=yQ,即AQ⊥y轴. 综上,AQ⊥y轴. 11.解析　(1)由题意得e==, 且|AB|==,a2=b2+c2, 解得a=3,b=1,c=2, ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)(i)∵点R在射线AP上,A(0,-1), ∴设=λ=λ(m,n+1), 则||||=λ||2=λ[m2+(n+1)2]=3, ∴λ=, ∴=, ∴R. (ii)由(i),知kOR====3kOP, 化简得n2+m2+8n-2=0, 即m2+(n+4)2=18. ∴P(m,n)在以D(0,-4)为圆心,3为半径的圆上. 则|PQ|的最大值即为|DQ|max+3. 设Q(x,y),其中-1≤y≤1. 则|DQ|2=x2+(y+4)2 =9(1-y2)+y2+8y+16(提示:利用点Q在椭圆上,消x) =-8y2+8y+25=-8+27, 当y=时,|DQ|max=3. 则|PQ|max=3+3. 考点2　椭圆的几何性质 1. A 2. C 3. A 4. C 5. x+y-2=0 6. 8 7. ; 8. 13 练速度 1. D 2. D 3. B 4. C 5. C 6. A 7. A 8. D 9. 10. 练思维 1. D 2. D 3. ABD 4. ACD 5. AD 6. 7. -1 8. 9.解析　(1)设M到定直线l:x=的距离为d, 依题意,可得==,化简得x2+4y2=4, 即曲线E的方程为+y2=1. (2)依题意,直线AB的斜率不可能是0,不妨设其方程为x=my+t, 则圆x2+y2=1的圆心到直线x=my+t的距离为=1,即m2+1=t2①, 由消去x,可得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0, 由Δ=4m2t2-4(m2+4)(t2-4)>0,可得m2-t2+4>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 则|AB|=· =· =·, 将①式代入,化简得|AB|=, 因点O(0,0)到直线x=my+t的距离为d1=, 则S△OAB=|AB|·d1= =2·=2·, 设λ=m2+1,则λ≥1,S△OAB=2·=2·≤2=1, 当且仅当λ=3,即m=±时取等号, 故△OAB的面积的最大值为1. 10.解析　(1)由题意得 解得 所以椭圆E1的方程为+y2=1. (2)(i)证明:要证|AP|=|BQ|,只需证明弦AB的中点与弦PQ的中点重合. 当l垂直于x轴时,弦AB,PQ的中点都是坐标原点,此时|AP|=|BQ|; 当l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),P(xP,yP),Q(xQ,yQ),A(xA,yA),B(xB,yB). 由得(1+4k2)x2+8kx+4-4m=0,则xA+xB=, 所以弦AB中点的横坐标为=,同理可得xP+xQ=, 所以弦PQ中点的横坐标为=, 所以弦PQ的中点与弦AB的中点重合,此时|AP|=|BQ|. 综上所述,|AP|=|BQ|. (ii)因为=2,所以-xB=2xA, 又因为点A在第一象限内,所以k>0, 由(i)知,xA+xB=,所以 又xAxB=, 所以·=, 化简得m=①, 设O到l的距离为dO,C到l的距离为dC.△OBP的面积与△CPA的面积相等,则|BP|·dO=|PA|·dC, 因为=2,所以||=2||, 所以2dO=dC, 又dO==, dC==, 所以k=②, 由①②解得经检验符合题意, 所以m=3. 11.解析　(1)令M(±,0),由阿波罗尼斯圆的定义知=,又a=2c,解得c2=1,则a2=4,b2=a2-c2=3, 故椭圆C的标准方程为+=1. (2)①由 ==, 又=,(两三角形的高相等) 所以=.(或由角平分线定理得)令==n, 设l:x=ty+1(t>0),B(x1,y1),D(x2,y2), 联立消去x得(3t2+4)y2+6ty-9=0, 则y1+y2=-,y1y2=-, 所以==-=n,即y1=-ny2, 则-n++2==-, 又=∈, 所以n+=2+∈, 解得n∈∪(1,3), 又y1+y2=-<0,所以n=-<1, 综上,∈. ②由①知,==,由阿波罗尼斯圆定义知,S,T,F在以B,D为定点的阿波罗尼斯圆上,设该圆圆心为C1,半径为r,与直线l的另一个交点为N, 则有=,即=, 解得r=. 又△SFT外接圆的周长为2πr=9π,故r=,则-=, 又|BF|=y1,|DF|=(-y2), 则-=-=·=·=·=·, 得=-=·, 解得t=,则k==2, 故直线l的方程为y=2x-2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$