精品解析：四川省雅安市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

雅安市2024-2025学年下期期末教学质量检测高二年级 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数和排列数的公式求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 2 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用赋值法解方程即可. 【详解】，， 令，，解得. 故选：C. 4. 已知等差数列的首项为1，是和的等比中项，则（ ） A. －9或1 B. －7或1 C. 1 D. －7 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列公差为，利用等比中项可求，继而可求. 【详解】设等差数列公差为， 是和的等比中项，， 即，解得， 所以. 故选：C. 5. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（ ） A. 牛的毛色与角无关 B. 牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C. 牛的毛色与角有关 D. 牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【解析】 【分析】根据卡方独立性检验规则，比较与临界值即可得出结论. 【详解】因为，所以牛的毛色与角无关. 故选：A. 6. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义令，解出即可求解. 【详解】由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有2个零点. 故选：C. 7. 袋中装有2个红球和3个白球，从袋中每次随机不放回地取出1个球后，同时再放入1个另一种颜色的球到袋中，则第二次取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分为第一次取到红球和第二次取到红球，两种情况讨论，分别求得相应的概率，即可求解. 【详解】由题意，若第一次取到红球，则第二次取到红球的概率为， 若第一次取到白球，则第二次取到红球的概率为， 所以第二次取出红球的概率是. 故选：A. 8. 已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，根据等差数列求和公式即可求得，利用二次函数取最值即可. 【详解】根据题意，， 则， 又，所以或时，取得最大值. 故选：A. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可知，数列首项，公差的等差数列，利用等差数列通项公式和前项和公式求得即可判断ABC选项，根据，利用裂项相消法可求. 【详解】，即， 所以数列首项，公差的等差数列， ，故A正确； ，，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对随机事件，，若，则 B. 若随机事件，相互独立，则 C. 若随机事件，相互独立，，，则 D. 若随机事件，满足，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件概率公式可判断A，结合独立事件的乘法公式可推导B；运用和事件的概率公式可判断C；利用全概率公式可求. 【详解】因为，故A错误； 随机事件，相互独立，则， 即，故B正确； 随机事件，相互独立，，故C错误； 根据全概率公式， 解得，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A B. 当时， C. D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由在处取得极大值可求即可判断A；根据导数确定函数单调性，利用单调性比较大小可判断B；利用导数可直接验证式子是否成立，即可判断C；对于D，由单调性可得，则，代入计算即可判断D. 【详解】由题知的定义域为， ，又在处取得极大值，， 时，， 所以时，，函数单调递增， ，，函数单调递减， 所以时，在处取得极大值，故A正确； 时，，函数单调递减， 又，所以当时，，故B错误； ， ， 所以，故C正确； 因为时，函数单调递增，，， 且，， 所以，则， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 已知随机变量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布方差公式直接可求. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有______种不同的排法.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分为体育课排在最后一节和体育课不排在第一节和最后一节，两种情况，分别求得相应的排法数，结合分类计算原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为两类： （1）若体育课排在最后一节，则有种不同的排法； （2）若体育课不排在第一节和最后一节，则有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中： （1）若，求的系数； （2）若展开式的二项式系数和为32，求展开式的系数和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得二项展开式的通项，结合通项，即可求解； （2）由二项式系数的性质，得到，得到，令，即可求得二项展开式的系数和. 【小问1详解】 解：当时，可得二项式展开式的通项为， 令，可得展开式中的系数为. 【小问2详解】 解：由题意知，展开式的二项式系数和为，解得，即， 令，可得，所以二项展开式的系数和为. 16. 某超市为销售一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用（百元）与当日销售量（百件）的关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下： 日广告费用（百元） 2 3 4 5 6 日销售量（百件） 1.5 1.7 2.0 2.2 2.6 已知与线性相关. （1）根据表中的数据，求关于的经验回归方程； （2）利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000元时，日销售量为多少件？ 附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】（1） （2）件 【解析】 【分析】（1）由统计表格中的数据，利用回归系数的公式，求得和，即可得到回归方程； （2）由（1）知，当时，求得（百件），即可得到结论. 【小问1详解】 解：由统计表格中的数据，可得，， 且，， 可得，则， 所以关于的经验回归方程是. 【小问2详解】 解：由（1）知回归方程是， 当时，（百件），所以估计当日广告费用元时，日销售量为件. 17. 小张和小李两位同学进行乒乓球比赛，比赛规则采用5局3胜制（有一方先胜3局即赢得比赛，比赛结束），如果每局比赛小张获胜的概率为，小李获胜的概率是，假设每局比赛结果互不影响. （1）求比赛进行4局且小张获胜的概率； （2）比赛结束时，小张和小李共进行了局比赛，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率列式计算即可. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 比赛进行4局且小张获胜，即：前三局中，小张获胜两局，小李获胜一局，且第4局小张获胜， 所以所求的概率是：. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值分别是3，4，5 ， ， ， 所以的分布列为 3 4 5 . 18. 已知函数，. （1）当时： （i）求曲线在处的切线的方程； （ii）证明：直线与曲线有且仅有一个公共点； （2）当时，若任意，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意，求得，得到和，结合导数的结合意义，即可求解； （ⅱ）由题意，可转化为有且仅有一解，令，求得，得到函数递增，结合，即可得证； （2）转化为，由，求得，分，，求得函数的单调性和最小值，进而得到答案. 【小问1详解】 解：（ⅰ）当时，，可得，所以， 又由，所以曲线在处的切线方程为， 所以切线的方程为； （ⅱ）要证直线与曲线有且仅有一个公共点，只需证得有且仅有一解， 即证方程有且仅有一解， 令，可得， 所以函数在上单调递增， 因为，所以有且仅有一解， 所以直线与曲线有且仅有一个公共点 【小问2详解】 解：由任意，恒成立， 等价于， 由，可得，其中， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. ①当，即时，在上单调递减， 所以，， 此时，不合题意. ②当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故，且， 即，且， 即，且， 令，当时，， 所以在上单调递增，故， 令，当时，， 所以在上单调递减，故， 所以当时，满足题意. 综上可得，实数的取值范围为. 19. 设为非零实数， (Ⅰ)写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (Ⅱ)设，求数列的前n项和． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) . 【解析】 【分析】（1）根据题目所给公式类推证明数列前几项均满足条件，再根据公式证明数列的表达式符合等比数列形式；（2）根据（1）中所求通项公式代入求得通项公式，再利用错位相减法可求得数列的前项和. 【详解】 ∴从而 因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列；（6分） (Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴， (2)-(1)得：, ∴. 【点睛】本题主要考查等比数列的判定及错位相减求和问题. 一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅安市2024-2025学年下期期末教学质量检测高二年级 数学试题 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2 3. 已知函数导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的首项为1，是和的等比中项，则（ ） A －9或1 B. －7或1 C. 1 D. －7 5. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（ ） A. 牛的毛色与角无关 B. 牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C. 牛的毛色与角有关 D. 牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 6. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 袋中装有2个红球和3个白球，从袋中每次随机不放回地取出1个球后，同时再放入1个另一种颜色的球到袋中，则第二次取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对随机事件，，若，则 B. 若随机事件，相互独立，则 C. 若随机事件，相互独立，，，则 D. 若随机事件，满足，，，则 11. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 已知随机变量，则______. 13. 某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有______种不同的排法.（用数字作答） 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在展开式中： （1）若，求的系数； （2）若展开式二项式系数和为32，求展开式的系数和. 16. 某超市为销售一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用（百元）与当日销售量（百件）的关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下： 日广告费用（百元） 2 3 4 5 6 日销售量（百件） 1.5 1.7 2.0 2.2 2.6 已知与线性相关. （1）根据表中的数据，求关于的经验回归方程； （2）利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000元时，日销售量为多少件？ 附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 17. 小张和小李两位同学进行乒乓球比赛，比赛规则采用5局3胜制（有一方先胜3局即赢得比赛，比赛结束），如果每局比赛小张获胜的概率为，小李获胜的概率是，假设每局比赛结果互不影响. （1）求比赛进行4局且小张获胜的概率； （2）比赛结束时，小张和小李共进行了局比赛，求随机变量的分布列和数学期望. 18. 已知函数，. （1）当时： （i）求曲线在处的切线的方程； （ii）证明：直线与曲线有且仅有一个公共点； （2）当时，若任意，，恒成立，求实数的取值范围. 19. 设为非零实数， (Ⅰ)写出并判断否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (Ⅱ)设，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$