精品解析：福建省华安县第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

华安一中2024-2025学年下学期期末考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义集合A中的元素是满足的正整数，即为1,2,3，集合B中元素是所有小于5的实数，集合A、B的交集中的元素需同时属于A、B，故. 【详解】已知，表示正整数.满足的正整数为1,2,3，则. ，即所有小于5的实数. 所以 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 3. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得样本中心点的坐标，即可得到，得到线性回归方程，然后求得时的预测值，再由残差定义即可求解. 【详解】因为，， 则样本中心点为，代入可得， 所以回归直线方程为， 当时，， 所以时的残差为. 故选：D 4. 在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 5. 设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 6. 已知随机事件、，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数在上单调递增，可以转化为在上恒成立，分段讨论求解即可． 【详解】函数在上单调递增，可以转化为在上恒成立， 当时，， 令，分离参数得， 令，，求导得， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在内单调递减， 故， 所以； 当时，，求导得， 令，由于，解得或（舍去）， 当时，，则在上单调递增， 由题意，故，解得． 又，解得． 综上，的取值范围是． 故选：C． 8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把原函数构造成奇函数部分与常数项，即，其中为奇函数，求导证明在上单调递增.利用奇函数性质将不等式转化成，再利用函数单调性转化为代数不等式，从而求解. 【详解】令，，，即为奇函数. 求导得：，根据均值不等式，且，故，当且仅当时，.故在上单调递增. 原不等式改写为，根据奇函数性质， 因为单调递增，所以，即 解不等式得： 故选：A. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙三个人独立破译密码机的概率分别为、、，则密码机被破译的概率为 B. 若随机变量且，则的最小值为50 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】可求破译密码机的对立事件没破译成功的概率，从而可对A判断；由正态分布的对称性可得，再结合基本不等式，即可求解；利用超几何分布求期望即可求解C；利用二项分布的期望和方差即可求解D. 【详解】A：破译密码机的对立事件为没破译成功，且没破译成功的概率为，则破译密码的概率为，故A错误； B：由且，则， ，当且仅当时取等号， 则，故B正确； C：由随机变量，所以，故C正确； D：由随机变量，则，，解得，，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 关于对称 B. 的极小值点为 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用中心对称的定义计算可判断A，利用导函数求得函数的单调性，即可得函数的极小值点、极值，从而可判断BC，利用导数求曲线的切线方程可判断D. 【详解】对于A，，则，所以函数关于对称，故A正确； 对于B，， 所以时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增. 所以，在处取得极小值， 故的极小值点为，故B错误； 对于C，由上分析可知，在处取得极大值，极小值， 所以的图象与轴有三个交点，即有三个零点，故C正确； 对于D，令，解得， 所以斜率为的切线过切点，则切线方程为即，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的大小为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABD，根据向量法求距离公式即可判断C. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得，可求得，再结合题意分别验证即可求解. 【详解】由为奇函数，所以可得， 则 ， 即， 化简整理得， 所以得，即， 当时，为常函数， 此时既是奇函数又是偶函数，故不符合题意， 当时，， 由对数函数的定义域得且， 解得，关于原点对称，经检验符合题意. 综上所述：故实数的值为. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的单位方向向量为， 点，，，，， ，， ，， 到直线的距离为. 故答案为：. 14. ，且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设对原不等式进行变形得到，令函数，不等式等价为，即在上单调递减.再利用导数结合单调递减充要条件，得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】设（且），原不等式可变形为： ，整理得，即”， 令函数，，则上述不等式等价于， 即在上单调递减； 又，则在上恒成立， 因（），故等价于. 令，，则， 因且时，故，即在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值 （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出，再结合，则可求得，再经检验即可求解； （2）由（1）可求出在区间上的单调性，从而可求解. 【小问1详解】 函数的导数为： 由题意，，代入得：，解得， 经检验，符合题意； 故的值为. 【小问2详解】 当时，，导数为： 令，解得，（舍去）， 当，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取到极小值也是最小值； 又，，从而可求最大值为， 故最大值为，最小值为. 16. 目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男 m 20 女 15 n 合计 100 （1）求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关? （2）2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，有99.5%的把握认为满意度与性别有关. （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为1 【解析】 【分析】(1)完善列联表，计算的观测值，并与临界值表比对判断； (2)先求出6人中男女生人数，再求出的可能取值及对应的概率值，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由题意知，，. 提出假设：该企业员工喜欢足球与性别无关. 由表中的数据可得. 因为， 所以有99.5%的把握认为满意度与性别有关. 【小问2详解】 由题意知，按分层抽样的方法抽取6人中，男性人数为：人，女性2人. 随机变量X的取值为0，1，2 ，，， 故随机变量X的概率分布表为： X 0 1 2 P 故. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，. （1）求二面角的余弦值； （2）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记的中点为，连结，易得，，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解； （2）设，利用空间向量结合直线与平面所成角的正弦值为求出k值，再利用空间向量求解. 【小问1详解】 记的中点为，连结， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 则，， 设平面的一个法向量为 则，所以， 令，则， 设平面的一个法向量为 则，所以， 令，则， 所以 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 依题意，设，则， 又由（1）得平面的一个法向量为 记直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（1）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个解，求的范围； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）由（1）知，当时，函数单调，不合要求；当时，结合函数单调性及走势，只需的最小值为，求出的范围； （3）由导函数几何意义得到，，参变分离得到在上恒成立，令，求导，得到函数单调性，求出，故，得到答案. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减， 此时不可能有两个解，舍去； 当时，在单调递减，在单调递增， 故的最小值为， 且当趋向于0时，趋向于，且趋向于时，趋向于， 要想有两个解，需满足，即，解得， 的范围为； 【小问3详解】 ，依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令，， 当时，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 19. 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. （1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； （2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； （3）测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 【答案】（1）的分布列为： （2） （3） 【解析】 【分析】这道题考查的是条件概率性质的应用、利用二项分布求分布列、求递推关系式、利用全概率公式求概率的综合运用. （1）设为三人满分的人数，可知，可得的分布列； （2）根据条件概率公式、全概率公式求解即可； （3）设数列，表示第次传球后球在乙手中的概率，先探索数列的递推公式，再求它的通项公式. 【小问1详解】 该校随机抽取三人，每个人满分的概率为， 设抽取的三人中满分人数为，则， 则，， ，， 则的分布列为： 【小问2详解】用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”， 则，， 用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”， 则，且， 又因为， 所以， 故， 所以. 【小问3详解】 记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”， 设次传球后球在乙手中的概率为，， 则有，所以， 所以 ， 即，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即第次传球后球在乙手中的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安一中2024-2025学年下学期期末考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 4. 在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 6. 已知随机事件、，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙三个人独立破译密码机的概率分别为、、，则密码机被破译的概率为 B. 若随机变量且，则的最小值为50 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 关于对称 B. 的极小值点为 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的一条切线 11. 如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的大小为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是________ 13. 在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为________ 14. ，且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值 （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 目前，江苏省城市足球联赛简称“苏超”战火正燃.某大型企业工会为了丰富员工的业余体育文化生活，传播足球运动文化，组建了足球社团.企业为了解员工喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女员工各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男 m 20 女 15 n 合计 100 （1）求m，n的值，试运用独立性检验的思想方法判断，能否有99.5%的把握，认为该企业员工喜欢足球与性别有关? （2）2025年7月5日，“苏超”联赛将在南京奥体中心体育场迎来常规赛第6轮比赛.该企业足球社团计划赛事当天组织部分“球迷”现场观赛，先从这100名参与调查且喜欢足球的员工中按性别用分层抽样的方法抽取6人，然后再从这6人中随机抽取3人担任现场观赛“球迷”，记抽出的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，. （1）求二面角的余弦值； （2）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个解，求的范围； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. （1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； （2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； （3）测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $