1.4 线段垂直平分线与角平分线 同步提升 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第 1页（共 5页） 1.4 线段垂直平分线与角平分线 同步提升 一．选择题 1．如图，射线 OC平分∠AOB，点 P在 OC上，过点 P作 PD⊥OB于点 D，若 PD＝3，则点 P到 OA的 距离是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点 E，若 DE＝4，AB＝10，则 BD的长 为（ ） A．10 B．8 C．7 D．6 第 1题 第 2题 第 3题 3．如图，Rt△ABC的斜边 AB的垂直平分线 MN与 AC交于点 M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．三角形中，到三边距离相等的点是（ ） A．三条高线所在直线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点 C，点 D在 OB上，若 PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 第 5题 第 6题 第 8题 6．在△ABC中，AB＝8，∠BAC和∠ABC的平分线相交于 O，OD⊥AB于点 D，△ABO的面积是 12，△ ABC的面积是 45，则 AC+BC为（ ） A．20 B．21 C．22 D．23 第 2页（共 5页） 7．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中 间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的 （ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 8．如图，点 P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，则∠PAB的度数为（ ） A．33° B．35° C．37° D．39° 9．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交 BC于点 D，点 M，交 AB于点 E，交 AC于点 F， 若 BC＝4，则△ADM的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 第 9题 第 10题 第 11题 第 12题 10．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交 AC于点 D，点 E是射线 BC 上的动点，连接 AE，∠BAE的平分线与 BD交于点 P，若∠CAE＝20°，则∠APB的度数为（ ） A．120° B．145° C．125°或 145° D．120°或 145° 二．填空题 11．如图，AD∥BC，∠DAB与∠ABC的角平分线交于点 E，CD过点 E，且与 BC垂直．若点 E到 AB的 距离为 3，则 CD的长为 ． 12．如图，∠A＝80°，O是 AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 °． 13．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，△ABC 的面积是 40，AB＝13，BC＝7，则 DE ＝ ． 第 13题 第 14题 第 15题 第 16题 14．如图，OC平分∠AOB，点 P在 OC上，PD⊥OA于 D，PD＝3cm，点 E是射线 OB上的动点，则 PE 第 3页（共 5页） 的最小值为 cm． 15．如图，在∠AOB的边 OA、OB上取点 M、N，连接 MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若 MN＝ 4，△PMN的面积是 6，△OMN的面积是 9，则 OM+ON的长是 ． 16．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与 AB相交于点 D、E，则图中阴影部分的周长为 ． 三．解答题 17．某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道 OM，ON之间（即 ∠MON内部）的开阔地修建一所红十字救助站 P，使其到景观道 OM，ON的距离相等，同时到 A，B 两个休息亭的距离也相等，试确定救助站 P的位置． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于 E． （1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线 AD是线段 CE的垂直平分线． 第 4页（共 5页） 19．如图，直线 l与 m分别是△ABC边 AC和 BC的垂直平分线，l与 m分别交边 AB于点 D和点 E． （1）若 AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线 EF交 BC于点 E，交 AB于点 F，D为线段 CE的中点，BE＝ AC． （1）判断 AD与 BC的位置关系，并说明理由； （2）若 AB＝BC，求∠C的度数． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于 E，F在 AC上，且 BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断 AB与 AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 第 5页（共 5页） 22．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DE、FG分别是 AB、AC的中垂线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果△DAF的周长为 18cm，求 BC的长． 23．如图，在△ABC中，D是 BC上的一点，连接 AD，作 DE⊥AB，DF⊥AC，且 DE＝DF． （1）试说明 AD垂直平分 EF； （2）若 AB＝7，AC＝5，S△ABC＝24，∠BAC＝60°，求 AD的长． 24．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线 l1交 BC于点 D，AC边的垂直平分线 l2交 BC于点 E， l1与 l2相交于点 O，连接 OB，OC，若△ADE的周长为 8cm，△OBC的周长为 18cm． （1）求线段 BC的长； （2）连接 OA，求证：OB＝OC； （3）求线段 OA的长． 答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C C C C B A C 二．填空题 11．如图，AD∥BC，∠DAB与∠ABC的角平分线交于点E，CD过点E，且与BC垂直．若点E到AB的距离为3，则CD的长为 　6　 ． 解：过E作EH⊥AB于H， ∴EH＝3， ∵AD∥BC，CD⊥BC， ∴CD⊥AD， ∵EA平分∠BAD，BE平分∠ABC， ∴DE＝EH＝3，EC＝EH＝3， ∴CD＝CE+DE＝6． 故答案为：6． 12．如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 　160　 °． 解：连接OA、OB， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵O是AB，AC垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC， ∴∠OBA+∠OCA＝80°， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO＝10°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝160°， 故答案为：160°． 13．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是40，AB＝13，BC＝7，则DE＝ 　4　 ． 解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H， ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， ∴DH＝DE， ∵△ABD的面积+△BCD的面积＝△ABC的面积＝40， ∴AB•DEBC•DH（AB+BC）•DE＝40， ∵AB＝13，BC＝7， ∴DE＝ 4． 故答案为：4． 14．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　3　 cm． 解：过P点作PH⊥OB于H，如图， ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB， ∴PH＝PD＝3cm， ∵点E是射线OB上的动点， ∴PE的最小值为3cm． 故答案为：3． 15．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝4，△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的长是 　10　 ． 解：过P作PH⊥MN于H，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连接PO， ∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB， ∴PC＝PH，PD＝PH， ∴PC＝PD， ∵△PMN的面积MN•PH＝6，MN＝4， ∴PH＝3， ∴PC＝PD＝3， ∵△PMN的面积是6，△OMN的面积是9， ∴△POM+△PON＝6+9＝15， ∴OM•PCON•PD＝15， ∴（OM+ON）×3＝15×2， ∴OM+ON＝10． 故答案为：10． 16．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　6　 ． 解：连接OA，OB， ∵O为△ABC三个内角平分线的交点， ∴OA平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠OAC， 由平移的性质得到：OF∥AC， ∴∠AOD＝∠∠OAC， ∴∠OAD＝∠AOD， ∴AD＝OD， 同理：BE＝OE， ∴阴影部分的周长＝OD+DE+OE＝AD+DE+BE＝AB＝6． 故答案为：6． 三．解答题（共8小题） 17．某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道OM，ON之间（即∠MON内部）的开阔地修建一所红十字救助站P，使其到景观道OM，ON的距离相等，同时到A，B两个休息亭的距离也相等，试确定救助站P的位置． 解：由题知， 点P既在∠MON的角平分线上，又在线段AB的垂直平分线上． 如图所示，点P即为所求作的点． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． （1）解：∵∠BAC＝40°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD∠BAC＝20°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠EDA＝90°﹣20°＝70°． （2）证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠DAC， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，AD平分线段EC， 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 19．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 解：（1）△CDE的周长为10． ∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10； （2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE， 又∵∠ACB＝125°， ∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ACD+∠BCE＝55°， ∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°． 20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝BC，求∠C的度数． 解：（1）AD⊥BC，理由如下： 如图，连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵BE＝AC， ∴AE＝AC， ∵D为线段CE的中点， ∴AD⊥BC； （2）∵AE＝BE， ∵∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝2∠B， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠C， ∴∠C＝2∠B， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠C， ∴∠B+2∠B+2∠B＝180°， 解得：∠B＝36°， 则∠C＝72°． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． （1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 22．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DE、FG分别是AB、AC的中垂线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果△DAF的周长为18cm，求BC的长． 解：（1）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵DE、FG分别是AB、AC的中垂线， ∴DA＝DB，FA＝FC， ∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C， ∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C＝80°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°； （2）由（1）知DA＝DB，FA＝FC， ∴BC＝BD+DF+FC＝AD+DF+AF＝△DAF的周长＝18cm． 23．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若AB＝7，AC＝5，S△ABC＝24，∠BAC＝60°，求AD的长． （1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF，DE＝DF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵AB＝7，AC＝5， ∴， 又∵DE＝DF， ∴DE＝4， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC60°＝30°， ∴AD＝2DE＝2×4＝8． 24．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求证：OB＝OC； （3）求线段OA的长． （1）解：∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长为8cm， ∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8（cm）， ∴BC＝8cm； （2）证明：连接OA， ∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OB＝OC； （3）解：∵△OBC的周长为18cm， ∴OB+OC+BC＝18cm， ∵BC＝8cm， ∴OB＝OC＝5（cm）， ∵OA＝OB， ∴OA＝5cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/12 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 线段垂直平分线与角平分线 同步提升 一．选择题 1．如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D，若PD＝3，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，若DE＝4，AB＝10，则BD的长为（　　） A．10 B．8 C．7 D．6 第1题 第2题 第3题 3．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．三角形中，到三边距离相等的点是（　　） A．三条高线所在直线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 第5题 第6题 第8题 6．在△ABC中，AB＝8，∠BAC和∠ABC的平分线相交于O，OD⊥AB于点D，△ABO的面积是12，△ABC的面积是45，则AC+BC为（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 7．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 8．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，则∠PAB的度数为（　　） A．33° B．35° C．37° D．39° 9．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，交AB于点E，交AC于点F，若BC＝4，则△ADM的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 第9题 第10题 第11题 第12题 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线BC上的动点，连接AE，∠BAE的平分线与BD交于点P，若∠CAE＝20°，则∠APB的度数为（　　） A．120° B．145° C．125°或145° D．120°或145° 二．填空题 11．如图，AD∥BC，∠DAB与∠ABC的角平分线交于点E，CD过点E，且与BC垂直．若点E到AB的距离为3，则CD的长为 　 　 ． 12．如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 　 　 °． 13．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是40，AB＝13，BC＝7，则DE＝ 　 　 ． 第13题 第14题 第15题 第16题 14．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　 cm． 15．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝4，△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的长是 　 　 ． 16．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　 　 ． 三．解答题 17．某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道OM，ON之间（即∠MON内部）的开阔地修建一所红十字救助站P，使其到景观道OM，ON的距离相等，同时到A，B两个休息亭的距离也相等，试确定救助站P的位置． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 19．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝BC，求∠C的度数． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 22．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DE、FG分别是AB、AC的中垂线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果△DAF的周长为18cm，求BC的长． 23．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若AB＝7，AC＝5，S△ABC＝24，∠BAC＝60°，求AD的长． 24．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求证：OB＝OC； （3）求线段OA的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$