精品解析：江苏省南京市田家炳高级中学2024- 2025学年高三下学期4月月考数学试卷

2024-2025学年高三下学期南京田家炳中学4月月考数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每题5分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. 5 D. 7 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列的前4项为，，2，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B. 从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C. 将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D. 名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 11. 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 B. 若AP=，则点P的轨迹长度为 C. 若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 D. 若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题 12. 在的展开式中，项的系数为60，则的值为______. 13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为______；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为______． 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为．已知． （1）求角： （2）若，求的面积． 16. 在长方体中，，为的中点，平面，且． （1）求的值； （2）求点到平面的距离． 17. 已知函数． （1）若存在，使成立，求k的取值范围； （2）已知，若在上恒成立，求k的最小值． 18. 为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 （1）求的值； （2）设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； （3）求． 19. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三下学期南京田家炳中学4月月考数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每题5分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出． 【详解】已知，即．则． 可得． 故选：C． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解集合与集合，再根据交集的定义求出． 【详解】已知集合，根据绝对值的性质，绝对值不等式等价于． 可得，即．所以集合．  已知集合，则．解得或． 所以集合或． 可得，即． 故选：B． 3. 已知双曲线，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得直线斜率，即可根据垂直得，进而求解离心率，根据充要条件的定义即可判断. 【详解】的渐近线方程为， 当的渐近线互相垂直时，则，故，因此离心率为, 故“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的充要条件， 故选：A 4. 已知等差数列的前4项为，，2，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项可得，即可求解公差，进而利用等差数列的性质求解. 【详解】由题意可知，2，成等差，故，解得， 故公差， 故， 故选：A 5. 已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，是两个单位向量，与的夹角为， 所以， 所以 . 故选：B 6. 已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形和三角形的面积公式可得，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】设，由题意可知:圆心为坐标原点，半径为， 则劣弧与弦围成的图形面积， 由于故在单调递增， 又，所以，则， 所以圆心到直线的距离为1，即，解得 故选：D 7. 已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：A. 8. 若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由存在两个不同的点满足条件，可得出存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得出的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为，． 因为函数图象上存在两点处的切线与直线垂直， 故有两个不同的大于1的解， 即有两个不同的大于1的根． 令， 则，即， 所以． 故选：A 二、多选题 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出变换之后的解析式，依次代入选项判断可得结果. 【详解】依题意可得， 因为，故A正确； ，故B错误； 由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确. 故选：ACD 10. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B. 从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C. 将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D. 名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】利用排列计数原理可判断A选项；利用分步乘法计数原理可判断B选项；利用捆绑法可判断C选项；利用倍缩法可判断D选项. 【详解】对于A选项，从个人中选人，人做正组长，人做副组长选法共有种，故A正确； 对于B选项，从个人中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人选法共有种，故B错误； 对于C选项，将个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与个男生一起排序， 由捆绑法可知，不同的排法种数为种，故C正确； 对于D选项，名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中， 由倍缩法可知，不同的排法种数为种，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 B. 若AP=，则点P的轨迹长度为 C. 若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 D. 若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断AB，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C，结合条件可得外接球的半径，即可判断D 【详解】 分别取棱，的中点M，N，连接， 易证，， 平面，平面，所以平面， 且平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 因为平面，且P是正方形内的动点， 所以点Р的轨迹是线段. 因为，所以，因为，所以， 故A正确. 因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆， 则点Р的轨迹长度为，则B错误. 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图1所示的空间直角坐标系. 由题中数据可知则，，. 设平面CEF的法向量为，则，得. 设直线AР与平面CEF所成的角为，则. 因为，所以，所以， 所以，则，故C正确. Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2. 如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得， 从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 在的展开式中，项的系数为60，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式即可求解,即可代入系数中求解. 【详解】展开式的通项公式， 令，可得，则项的系数为，可得. 故答案为： 13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并根据单调性得出不等式在恒成立，再构造函数并利用单调性即可求得实数的取值范围. 【详解】对于，则， 因为在区间上单调递增， 所以在恒成立， 显然，所以在恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以，则或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为______；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及双曲线的定义求出的值，再结合双曲线中的关系求出，从而可求出双曲线的离心率；对于求内切圆的半径，先求出直线的斜率，则可求出直线的方程，代入双曲线方程可求出点的坐标，从而可求出，然后利用三角形面积与周长关系求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形， 所以或， 所以，得， 所以，得，解得， 所以离心率为， 因为直线的斜率大于零，是腰长为8的等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以直线的斜率为， 因为，所以直线为， 由，得，解得或， 因为直线的斜率大于零，点在第一象限，所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 设圆的半径为，则， 所以，解得. 故答案为：2， 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率问题，考查双曲线的焦点三角形问题，解题的关键是根据题意结合双曲线的定义在等腰中求出直线的斜率，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为．已知． （1）求角： （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，求出，结合特殊角的三角函数值，即可求得答案； （2）利用余弦定理求出，根据三角形面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得 在中，，则，即， 故． 【小问2详解】 由余弦定值知：， 即，则， 所以． 16. 在长方体中，，为的中点，平面，且． （1）求的值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质得，，可得四边形为平行四边形，即可利用向量的线性运算求解，或者建立空间直角坐标系，写出与的坐标，根据坐标运算求解，或者利用面面平行的性质得为平行四边形，为平行四边形，根据线段长度关系求解， （2）建系，求解平面的法向量，利用点面距离的公式求解，或者将求点到平面的距离转化为求点到平面的距离，利用锥体的体积公式，结合等体积法求解 【小问1详解】 连接．由平面平面，且平面平面， 平面平面，所以． 解法一：连接，．同理可得，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，即． 解法二： 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，设， 则，，， 由，得，即，则，又，所以． 解法三：连接，．由平面平面，且平面平面， 平面平面，所以， 同理可得，所以四边形为平行四边形， 所以． 连接，因为，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，又为的中点，所以，所以． 【小问2详解】 由（1）中解法二的空间直角坐标系可得，，，所以，， 设为平面的法向量， 则即 令，得为平面的一个法向量． 又，所以点到平面的距离． 解法二： 由（1）知，，又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离． 在Rt中，，，所以， 在Rt中，， 设点到平面的距离为，由得， 所以， 所以点到平面的距离为． 17. 已知函数． （1）若存在，使成立，求k的取值范围； （2）已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【小问1详解】 由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； 【小问2详解】 ， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 18. 为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 （1）求的值； （2）设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； （3）求． 【答案】（1）， （2） 的分布列 3 4 5 6 ，数学期望为5； （3） 【解析】 【分析】（1）计算和运用了分步乘法计数原理和分类加法计数原理来计算事件发生的概率； （2）结合乘法公式计算概率，得到随机变量的分布列和期望； （3）通过分析爬台阶的不同情形建立递推关系，再通过变形构造等比数列来求解数列的通项公式． 【小问1详解】 由题可知， 【小问2详解】 随机变量所有可能取值为：3，4，5，6， 的分布列 3 4 5 6 ； 【小问3详解】 爬到第个台阶有两种情况： 情形一：爬到第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶， 情形二：爬到第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶， 故， 则， 所以， ，又，故是等比数列， ， 故. 19. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】（1），且 （2）（ⅰ）；（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）由化为，根据曲线为双曲线可得答案； （2）方法一：（ⅰ）由题意得，，设点，由求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程与双曲线方程联立， 由韦达定求出、，且可得答案；（ⅱ）由（ⅰ）得、，结合的范围可得求出的范围可得答案；方法二：（ⅰ）由题意得，，设点，由．求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程， 将两式作差，将直线BG方程代入并化简得可得答案；（ⅱ） 由（ⅰ）得的范围，可得答案． 【小问1详解】 由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； 【小问2详解】 方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $