阶段质量检测(1) 第1章 集合与常用逻辑用语（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

阶段质量检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列关系中正确的是 (　　) A．{0}＝∅ B．∅⊆{0} C．{0，1}⊆{(0，1)} D．{(a，b)}＝{(b，a)} B　解析：对于A，{0}是单元素集合，元素为0，而∅是空集，二者不相等，故A错误；对于B，空集为任何一个集合的子集，故∅⊆{0}正确；对于C，{0，1}的元素为0，1，而{(0，1)}的元素为点(0，1)，二者没有包含关系，故错误；对于D，当a≠b时，(a，b)与(b，a)表示不同的点，故{(a，b)}＝{(b，a)}在a≠b时不成立，故错误．故选B. 2．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是 (　　) A．实数都可以写成小数形式 B．凸多边形的外角和等于360° C．存在一个实数，它的相反数是它本身 D．至少存在一个无理数x，使x2－x＝0成立 C　解析：A，B都是全称量词命题，D只有x＝0或1时成立，为假命题． 3．命题：∀n∈Z，n2>n－1的否定是 (　　) A．∀n∉Z，n2>n－1 B．∃n∉Z，n2>n－1 C．∀n∈Z，n2≤n－1 D．∃n∈Z，n2≤n－1 D　解析：由全称量词命题与存在量词命题的否定，可知原命题的否定为“∃n∈Z，n2≤n－1”．故选D. 4．(2025·重庆高一期末)已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{a，－1，4}．若A∩B＝{4}，则a＝ (　　) A．4 B．－2或2 C．－2 D．2 C　解析：因为A＝{1，2，a2}，B＝{a，－1，4}，A∩B＝{4}，所以a2＝4⇒a＝±2.若a＝2，则A＝{1，2，4}，B＝{2，－1，4}，A∩B＝{2，4}与题意不符，所以a≠2，则a＝－2，经验证，此时满足题意． 5．设x∈R，则“x＝2”是“x2－x－2＝0”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由x＝2一定可得出x2－x－2＝0； 反过来，方程x2－x－2＝0的解是x＝2或x＝－1. 所以“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件． 6．(2025·长春高一期中)下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是 (　　) A．有的梯形对角线互相平分 B．三角形都有内切圆 C．∃x∈N，x2＝0 D．∀x∈Z，x2>0 A　解析：对于A，“有的”是存在量词，梯形的对角线不可能互相平分，原命题为假命题， 该命题的否定为真命题，故A符合题意； 对于B，原命题是省略了全称量词的全称量词命题，原命题为真命题，其否定为假命题，B不符合题意； 对于C，原命题是存在量词命题，但它是一个真命题，其否定为假命题，C不符合题意； 对于D，原命题是全称量词命题，取x＝0，则x2＝0，原命题为假命题，其否定为真命题，D不符合题意． 7．如果不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是 (　　) A．＜a＜ B．≤a≤ C．a＞或a＜ D．a≥或a≤ B　解析：由|x－a|＜1，得a－1＜x＜a＋1.由题意知(等号不能同时成立)，即≤a≤. 8．(2025·沈阳高一期末)命题p：∀x∈[－1，1]，x2＜a为真命题的一个充分不必要条件是 (　　) A．a＞1 B．a＜0 C．a＞2 D．a＜1 C　解析：因为p：∀x∈[－1，1]，x2＜a为真命题，所以0≤x2≤1，所以a＞1，故p为真命题的一个充分不必要条件为a＞2. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2025·成都石室中学高一期中)下列说法正确的是 (　　) A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合{a，b，c，d}共有16个子集 C．集合{x|x＝4n＋2，n∈Z}＝{x|x＝4n－2，n∈Z} D．集合{x|x＝1＋a2，a∈N*}＝{x|x＝a2－2a＋2，a∈N*} BC　解析：A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确； B：集合{a，b，c，d}中有四个元素，所以它的子集个数为24＝16，所以本选项说法正确； C：因为{x|x＝4n－2，n∈Z}＝{x|x＝4(n－1)＋2，n∈Z}，所以{x|x＝4n＋2，n∈Z}与{x|x＝4n－2，n∈Z}均表示4的倍数与2的和所组成的集合，所以{x|x＝4n＋2，n∈Z}＝{x|x＝4n－2，n∈Z}，因此本选项说法正确； D：对于{x|x＝a2－2a＋2，a∈N*}，当a＝1时，x＝a2－2a＋2＝1， 即1∈{x|x＝a2－2a＋2，a∈N*}，但1∉{x|x＝1＋a2，a∈N*}， 所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确． 10．(2025·百色高一期末)下列命题中的假命题是 (　　) A．∀x∈R，x2＋|x|＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x∈R，x2＋x＝1 D．∃x∈R，x＋＝－2 AB　解析：对于A，当x＝0时，x2＋|x|＝0，所以A为假命题；对于B，∃x＝1∈N*，使(x－1)2＝0，所以B是假命题；对于C，显然对于二次方程x2＋x－1＝0，Δ＝1＋4＞0，所以有实根，故C是真命题；对于D，当x＝－1时，x＋＝－2成立，故D为真命题．故选AB. 11．已知“m－1<x<2m＋5”是“2<x<3”成立的必要不充分条件，则符合条件的实数m的值为 (　　) A．－1 B．0 C．4 D．5 AB　解析：“m－1<x<2m＋5”是“2<x<3”成立的必要不充分条件，故(等号不同时成立)，解得－1≤m≤3. 故选AB. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．(2025·重庆高一期中)命题“∃m∈Q，m3∉Q”的否定为________________． 答案：∀m∈Q，m3∈Q　解析：命题“∃m∈Q，m3∉Q”的否定为“∀m∈Q，m3∈Q”． 13．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则∁UA＝______，(∁UA)∩B＝_________________________________________________. 答案： {4，6，7，9，10}　{7，9}　解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，即∁UA＝{4，6，7，9，10}，(∁UA)∩B＝{7，9}． 14．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合．给出如下四个结论： ①集合A＝{0}为闭集合；②集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；④若集合A1，A2均为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________. 答案：①③　解析：①0＋0＝0，0－0＝0，0∈A，故①正确．②当a＝－4，b＝－2时，a＋b＝－4＋(－2)＝－6∉A，不是闭集合，故②错误．③由于任意两个是3的倍数的数，它们的和、差仍是3的倍数，故③正确．④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3＋5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，故④错误．综上所述，正确结论的序号是①③. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(2025·淄博临淄中学高一检测)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|4<x<10}． (1)求A∪B； (2)求A∩(∁RB)； (3)求(∁RA)∪(∁RB). 解：(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|4<x<10}，所以A∪B＝{x|3≤x<10}． (2)因为∁RB＝{x|x≤4或x≥10}， 所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤4}． (3)因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x≤4或x≥7}． 16．(15分)已知p：∀x∈R，mx2＋1＞0，q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0. (1)写出命题p的否定¬p，命题q的否定¬q； (2)若¬p和¬q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 解：(1)¬p：∃x∈R，mx2＋1≤0；¬q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0. (2)由题意知，¬p为真命题或¬q为真命题， 当¬p为真命题时，m＜0， 当¬q为真命题时，Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2， 因此，当¬p为真命题或¬q为真命题时，m＜0或－2＜m＜2， 即m＜2. 17．(15分)(2025·长沙高一期末)已知集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}． (1)若m＝3，求A∪B； (2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围； (3)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝3时，集合B＝{x|x＜3}，则A∪B＝{x|x＜4}． (2)由已知可得集合B＝{x|x＜m}，当A∩B＝∅时，只需m≤－2， 即实数m的取值范围为{m|m≤－2}． (3)由题意可得AB，又B＝{x|x＜m}， 则只需m≥4，即实数m的取值范围为{m|m≥4}． 18．(17分)求证：关于x的方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0＜m＜. 证明：①充分性：因为0＜m＜， 所以方程mx2－2x＋2＝0的判别式Δ＝4－4×m×2＞0，且两根之积＞0， 所以方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根． ②必要性：若方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根， 设两根为x1，x2，则有解得0＜m＜. 结合①②可知，方程mx2－2x＋2＝0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0＜m＜，命题得证． 19．(17分)在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩(∁RB)＝∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}． (1)当a＝2时，求A∪B；(2)若__________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－1≤x≤3}， 则A∪B＝{x|－1≤x≤3}． (2)若选①，A∪B＝B，则A⊆B， 因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅， 又B＝{x|－1≤x≤3}， 所以解得0≤a≤2， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}． 若选②，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 所以或解得0≤a≤2， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}． 若选③，A∩(∁RB)＝∅， 因为B＝{x|－1≤x≤3}， 所以∁RB＝{x|x<－1或x>3}， 又A＝{x|a－1≤x≤a＋1}， 则解得0≤a≤2， 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$