第1章 1.2 集合间的基本关系（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1．2　集合间的基本关系 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义． 2．能用符号和Venn图表示两个集合间的基本关系． 3．能识别给定集合的子集，理解空集与子集、真子集之间的关系． 知识点一　子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与 读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C “A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，都能推出x∈B. 2．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． [例1] 判断下列各对集合是否有包含关系． (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A是数集，集合B是点集，故A与B之间无包含关系． (2)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊆M，M与N有包含关系． 判断集合间关系的三种方法 (1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系； (2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断； (3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系. [练1]写出下列每对集合之间的关系． (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5}； (2)E＝{x|x<3}，F＝{x|－1<x≤2}． 解：(1)因为集合B的每个元素都属于集合A，而4∈A且4∉B，所以B⊆A. (2)在数轴上表示出集合E和F，如图所示． 由图可知F⊆E. 知识点二　集合相等、真子集与空集 观察下面几个实例： (1)设A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是有一个角是直角的平行四边形}； (2)A＝{1，5，6}，B＝{5，6}． 你发现两个集合间有什么关系了吗？ 1．集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 2．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法 记作AB(或BA) 读法 读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 结论 (1)AB且BC，则AC； (2)A⊆B且A≠B，则AB (1)两集合的相等与真子集关系是子集关系的特例． (2)假设集合A中含有n个元素，则有： ①A的子集的个数为2n； ②A的真子集的个数为2n－1； ③A的非空真子集的个数为2n－2. 3．空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A ∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． [例2] 写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 解：集合{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 其中∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}是它的真子集． 求集合子集、真子集的步骤 [练2](2024·陕西师大附中期中)集合A＝{x|x≤2，x∈N}，则集合A的非空真子集个数为 (　　) A.2　　　　B．3　　　　C．6　　　　D．7 C　解析：A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，元素个数为3，故集合A的非空真子集个数为23－2＝6. [练3]满足{2，4，6}⊆A{1，2，3，4，5，6}的集合A的个数为________． 答案：7　解析：集合A中的元素除了2，4，6外，还要从1，3，5中取一个或两个元素，有3＋3＝6(个)，故集合A的个数为1＋6＝7. 综合应用：由集合间的包含关系求参数 [例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． 答案：1<m≤4　解析：由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4， 又m>1，所以1<m≤4. [变式探究1] 本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则由例题解析可知1<m≤4. 则m的取值范围为m≤4. [变式探究2] 本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：因为B⊆A， ①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点是实点还是虚点． [提醒](1)不能忽视集合为∅的情形； (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． [练4]设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，求m的取值集合． 解：由2x2－5x－3＝0，得x＝3或x＝－，所以集合M＝.若N⊆M，则N＝{3}或或∅.当N＝{3}时，m＝；当N＝时，m＝－2；当N＝∅时，m＝0.所以m的取值集合为. 1．知识清单 (1)子集、真子集的概念与性质； (2)子集的个数； (3)由集合间的关系求参数． 2．方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区 (1)在解决问题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位； (2)求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论． ◎随堂演练 1．(2025·郑州高一期中)设集合M＝{x|1≤x<2}，N＝{x|x<3}，则集合M和集合N的关系是 (　　) A.N∈M B．M∈N C.M⊆N D．N⊆M C　解析：∵M＝{x|1≤x<2}，N＝{x|x<3}， ∴M⊆N. 2．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则有 (　　) A.M⊆N B．MN C.N⊆M D．M＝N C　解析：∵M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N⊆M. 3．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于 (　　) A.2 B．－1 C.2或－1 D．4 C　解析：依题意，得m2－m＝2，解得m＝2或m＝－1，经验证符合题意，故选C. 4．(2025·青岛高一期中)已知集合{0，m3}⊆{0，m，1}，则实数m的取值集合为 ________． 答案：{－1}　解析：因为集合{0，m3}⊆{0，m，1}，所以m3＝m或m3＝1， 解得m＝0或m＝1或m＝－1.当m＝0或m＝1时，不满足元素的互异性，舍去； 当m＝－1时，集合{0，－1}⊆{0，－1，1}，符合题意． 综上所述，实数m的取值集合为{－1}． 5．已知集合Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝∅，则实数k的取值范围是________． 答案：k<2　解析：∵Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝∅，∴k＋1>2k－1，解得k<2.∴实数k的取值范围是k<2. 学科网（北京）股份有限公司 $$