第1章 1.2 集合间的基本关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

1．2　集合间的基本关系 1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点) 1．子集的相关概念 (1)子集、真子集、集合相等概念 ①子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． ②集合相等 一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. ③真子集的概念 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (2)空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集． 2．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C： ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC； ③若A⊆B，A≠B，则AB. 1．1⊆{1，2，3}．(　　) 【答案】　× 【解析】　提示　“⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合的关系． 2．任何集合都有子集和真子集．(　　) 【答案】　× 【解析】　提示　空集只有子集，没有真子集． 3．∅和{∅}表示的意义相同．(　　) 【答案】　× 【解析】　提示　∅是不含任何元素的集合，而集合{∅}中含有一个元素∅. 一、集合间关系的判断 　　判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． 【解】　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A⊆B. (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC. (3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB. 【反思感悟】　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 【提醒】　若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系． 1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 【答案】　B 【解析】　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 二、子集、真子集的个数问题 　已知集合M满足：{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况． 【解】　由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}． 【反思感悟】　公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 2．已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为(　　) A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】　D 三、集合间关系的应用 　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． 【解】　(1)∵B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. (2)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 【反思感悟】 1．利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，导致分类讨论不全面． 2．数学素养的建立 通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题． 1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 【解】　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. (2)当B≠∅，如图所示． ∴解得即2≤m＜3， 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． 2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 【解】　当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅. ∴即 ∴m不存在． 即不存在实数m使A⊆B. 1．下列四个集合中，是空集的是(　　) A．{0} B．{x|x>8，且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4} 【答案】　B 2．(多选)已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　) A．0∈A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A 【答案】　AD 3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A B；(2)A C； (3){2} C；(4)2 C. 【答案】　(1)＝　(2)　(3)　(4)∈ 4．集合{0，1}的子集有 个． 【答案】　4 5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若BA，则实数a的取值范围是 ． 【答案】　a≥1 1．知识归纳： (1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断． (2)求子集、真子集的个数问题． (3)由集合间的关系求参数的值或范围． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，求参数范围时，端点值能否取等容易出现错误． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$