精品解析：北京市密云区2024一2025学年下学期期末考试 七年级数学试卷

北京市密云区2024—2025学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 16的算术平方根是（ ） A. B. C. 8 D. 4 2. 下列各图中，三角形M平移后能与三角形N重合的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 点A在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（ ） A. 与是一对内错角 B. 与是一对同位角 C. 与是一对内错角 D. 与是一对同旁内角 6. 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ） A. ac＞bc B. ab＞cb C. a+c＞b+c D. a+b＞c+b 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B. 第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C. 相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D. 每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 与4的积大于0，用不等式表示为______． 10. 写出二元一次方程的一个解为______． 11. 若，且、是两个连续的整数，则的值为______． 12. 为了解某校七年级名学生每天的阅读时间，从中抽取了名学生进行调查，在这次抽样调查中，样本容量是______． 13. 已知方程，用含的代数式表示，则______． 14. 用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是______． 15. 2025年5月中旬，密云区新城子镇苏家峪村有着580年树龄的流苏古树迎来盛花期，小磊和姐姐计划前往打卡．他们在规划旅游路线时，建立了相同的坐标系描述该地区部分景点所在的位置． 小磊：“紫海香堤香草庄园的坐标是”； 姐姐：“古北水镇的坐标是”； 实际上，两人描述的位置都是正确的．根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系．写出“苏家峪村流苏古树”所在位置的坐标为______．此时，“苏家峪村流苏古树”在“紫海香堤香草庄园”的______方向． 16. 在平面直角坐标系中，点、，其中，且所在的直线与坐标轴平行．下列四个结论中： ①满足条件的点有3个； ②的值为3或； ③当时，； ④当时，点均在第四象限． 所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共68分，其中题每题5分，题每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 20. 解二元一次方程组 21. 解不等式组，并写出它的非负整数解． 22. 阅读下列材料： 如图，长方形纸片，其中，．在学习活动中，丽丽打算通过折纸的方式形成平行线．她的操作步骤如下： ①先沿着长方形纸片的对角线折叠后展平，得到折痕； ②再折叠纸片，使点落在所在直线上的点处，展平纸片，得到折痕； ③再折叠纸片，使点落在所在直线上的点处，展平纸片，得到折痕． 丽丽发现，此时． 根据阅读材料，完成证明，并填写推理依据． 证明：长方形中，， ______，（ ） 纸片折叠后，点和点分别落在所在直线上的点和处， ，， ，（ ） ______， ．（ ） 23. 在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标分别为，，．过点作轴的垂线，垂足为、在的延长线上取一点，使得，平移线段，使点移动到点，点的对应点是点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）结合题意，画出平移后的线段； （3）直接写出、两点的坐标为______； （4）直接写出三角形的面积为______． 24. 如图，点，分别在，上，，垂足为点，，．求证：． 25. 为响应“碳中和”目标，减少交通领域碳排放，某城市大力推广新能源汽车及配套充电设施．2025年第一季度，该城市为分析公共充电桩的充电量分布、优化充电桩布局以促进新能源汽车使用，对公共充电桩的充电量（单位：万度）进行了抽样调查，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a、抽取公共充电桩的充电量数据的频数分布表如下： 充电量区间（单位：万度） 频数 频率 2 0.10 0.25 6 0.30 7 合计 1.00 b、抽取公共充电桩的充电量数据的频数分布直方图和扇形图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为______，的值为______，的值为______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“”充电量区间所对应的扇形的圆心角度数是______； （4）充电量越高，说明新能源汽车的使用越频繁，越有助于降低化石燃料的消耗、减少碳排放．若该城市共有500个公共充电桩，请你估计第一季度充电量在万度的充电桩数量． 26. 2025年3月14日，为庆祝国际数学日，某校以“动思维，数乐无限”为主题，举办了数学节活动．活动包括“奕智连珠、数独密码、立体拼图和魔方复原”四个项目，每个项目满分10分，且每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在8分以上（含8分）设为一等奖，下表为A、B、C三位同学的得分情况（单位：分），其中A同学的部分信息不小心被涂黑了． 项目 项目得分 学生 奕智连珠 数独密码 立体拼图 魔方复原 折算后总分 A 6 9 7 B 6 8 6 7 7 C 6 7 4 7 6 已知A、B、C三位同学“奕智连珠”和“魔方复原”两项得分折算后的分数之和均为2分． （1）求“数独密码”和“立体拼图”两个项目的折算百分比分别是多少？ （2）如果A同学在本次数学节活动中获得了一等奖，那么他的“立体拼图”项目至少获得多少分？ 27. 如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． （1）如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 28. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就叫做点的“交变点”．例如：点的“交变点”是点． （1）若点的“交变点”为点，则点的坐标为______； （2）已知点，，且点是点的“交变点”，求、的值； （3）在长方形中，点，，，．已知点、，当线段上存在一点的“交变点”位于长方形的内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市密云区2024—2025学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 16的算术平方根是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根， 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：16的算术平方根是， 故选：D． 2. 下列各图中，三角形M平移后能与三角形N重合的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移概念，根据平移概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据图形观察可知，三角形M平移后能与三角形N重合的是， 故选：B． 3. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知该定义是解题的关键． 无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：A.为有理数，故A不符合题意； B. 为无理数，故B符合题意； C.为有理数，故C不符合题意； D.为有理数，故D不符合题意， 故选：B． 4. 点A在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：∵点A在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度， ∴点的坐标为（-5，3）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 5. 如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（ ） A. 与是一对内错角 B. 与是一对同位角 C. 与是一对内错角 D. 与是一对同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是一对内错，原结论正确，不符合题意； B、与是一对同位角，原结论正确，不符合题意； C、与不是一对内错角，原结论错误，符合题意； D、与是一对同旁内角，原结论正确，不符合题意； 故选：C． 6. 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ） A. ac＞bc B. ab＞cb C. a+c＞b+c D. a+b＞c+b 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答． 【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0， A、ac＜bc，故本选项错误； B、ab＞cb，故本选项正确； C、a+c＜b+c，故本选项错误； D、a+b＜c+b，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键. 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设清酒斗，醑酒斗，根据一共有5斗酒可得方程，根据一共有30斗谷子可得方程，据此建立方程组即可得到答案． 【详解】解；设清酒斗，醑酒斗， 由题意得，， 故选：A． 8. 为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B. 第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C. 相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D. 每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，折线统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．根据条形统计图和折线统计图里的数据解答即可． 【详解】解：由题意知， A项：5期“100米短跑”集训的时间共计是：（天），故本项结论错误，不符合题意； B项：第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得快，故本项结论错误，不符合题意； C项：，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，符合题意； D项：每期训练的时间以10天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩，故本项结论错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 与4的积大于0，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的意义，列式解答即可． 本题考查了不等式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 10. 写出二元一次方程的一个解为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解的概念，理解掌握方程的解的概念是解题的关键．根据二元一次方程的解的概念即可求解． 【详解】解∶当时，， 解得， ∴是二元一次方程的解， 故答案为∶ （答案不唯一）． 11. 若，且、是两个连续的整数，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，已知字母的值求代数式的值，因为得，故，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且、是两个连续的整数， ∴， ∴， ∴ 故答案为：12 12. 为了解某校七年级名学生每天的阅读时间，从中抽取了名学生进行调查，在这次抽样调查中，样本容量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据样本的容量的定义即可得出答案，样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位． 【详解】抽取了名学生进行调查 在这次抽样调查中，样本容量是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了样本的容量的定义，理解定义是解题的关键． 13. 已知方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质变形解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故答案为：． 14. 用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 任意举一个负数即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 2025年5月中旬，密云区新城子镇苏家峪村有着580年树龄的流苏古树迎来盛花期，小磊和姐姐计划前往打卡．他们在规划旅游路线时，建立了相同的坐标系描述该地区部分景点所在的位置． 小磊：“紫海香堤香草庄园的坐标是”； 姐姐：“古北水镇的坐标是”； 实际上，两人描述的位置都是正确的．根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系．写出“苏家峪村流苏古树”所在位置的坐标为______．此时，“苏家峪村流苏古树”在“紫海香堤香草庄园”的______方向． 【答案】 ①. ②. 东南 【解析】 【分析】本题考查了用坐标确定位置，掌握用坐标确定位置是解题的关键． 先根据紫海香堤香草庄园的坐标和古北水镇的坐标建立好坐标系，即可确定苏家峪村流苏古树的坐标和方向． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： 由图可得：苏家峪村流苏古树的坐标为，在紫海香堤香草庄园的东南方向． 故答案为： ，东南． 16. 在平面直角坐标系中，点、，其中，且所在的直线与坐标轴平行．下列四个结论中： ①满足条件的点有3个； ②的值为3或； ③当时，； ④当时，点均在第四象限． 所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：如图： 点，向上平移四个单位可得，； 点，向下平移四个单位可得，； 点，向左平移四个单位可得，； 点，向右平移四个单位可得，； 故满足条件的点有4个；说法①不正确，的值为3或；说法②正确； 当轴时，， 当轴时，， 故说法③不正确， 当时，由图可知点均在第四象限．故说法④正确 故答案为②④． 三、解答题（共68分，其中题每题5分，题每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根、立方根等，先计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】去括号，去绝对值，计算即可． 本题考查了实数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 19. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】不等式的解集为，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法． 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得不等式的解集，在数轴上表示即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴的解集为，在数轴上表示如下： 20. 解二元一次方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 21. 解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式的解集，再取它们公共解集，结合非负整数解的定义，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴解不等式，得． ∴解不等式得． 则原不等式组的解集为． ∴这个不等式组的非负整数解为． 22. 阅读下列材料： 如图，长方形纸片，其中，．在学习活动中，丽丽打算通过折纸的方式形成平行线．她的操作步骤如下： ①先沿着长方形纸片的对角线折叠后展平，得到折痕； ②再折叠纸片，使点落在所在直线上的点处，展平纸片，得到折痕； ③再折叠纸片，使点落在所在直线上的点处，展平纸片，得到折痕． 丽丽发现，此时． 根据阅读材料，完成证明，并填写推理依据． 证明：长方形中，， ______，（ ） 纸片折叠后，点和点分别落在所在直线上的点和处， ，， ，（ ） ______， ．（ ） 【答案】；两直线平行，内错角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，折叠的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据推理过程，逐步分析即可． 【详解】证明：长方形中，， ，（两直线平行，内错角相等） 纸片折叠后，点和点分别落在所在直线上的点和处， ，， ，（等量代换） ， ．（内错角相等，两直线平行）． 23. 在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标分别为，，．过点作轴的垂线，垂足为、在的延长线上取一点，使得，平移线段，使点移动到点，点的对应点是点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）结合题意，画出平移后的线段； （3）直接写出、两点的坐标为______； （4）直接写出三角形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4）12 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的点的坐标，点与线段的平移，网格中求三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据，即可解答． （2）点平移后的对应点为根据平移的性质，点平移后的对应点为，即可解答． （3）由图即可解答． （4）根据的面积等于直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 如图所示 【小问3详解】 由图可知． 【小问4详解】 由图可知． 故答案为：12． 24. 如图，点，分别在，上，，垂足为点，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据垂直定义可得，从而可得，进利用等量代换可得，然后利用平行线的判定即可证明． 【详解】证明：， ， 垂足为点O， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 为响应“碳中和”目标，减少交通领域碳排放，某城市大力推广新能源汽车及配套充电设施．2025年第一季度，该城市为分析公共充电桩的充电量分布、优化充电桩布局以促进新能源汽车使用，对公共充电桩的充电量（单位：万度）进行了抽样调查，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a、抽取公共充电桩的充电量数据的频数分布表如下： 充电量区间（单位：万度） 频数 频率 2 0.10 0.25 6 0.30 7 合计 1.00 b、抽取公共充电桩的充电量数据的频数分布直方图和扇形图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为______，的值为______，的值为______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“”充电量区间所对应的扇形的圆心角度数是______； （4）充电量越高，说明新能源汽车的使用越频繁，越有助于降低化石燃料的消耗、减少碳排放．若该城市共有500个公共充电桩，请你估计第一季度充电量在万度的充电桩数量． 【答案】（1）5，0.35，20 （2）见解析 （3） （4）175个 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，陪你数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体． （1）根据 的频数与频率求出总频数p，根据的频率可求出m，根据的频数可求出n； （2）根据（1）的结果补全统计图即可； （3）用360度乘以所占的比例即可； （4）用500乘以所占的比例即可 【小问1详解】 ，，， 故答案为：5，0.35，20； 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 个． 26. 2025年3月14日，为庆祝国际数学日，某校以“动思维，数乐无限”为主题，举办了数学节活动．活动包括“奕智连珠、数独密码、立体拼图和魔方复原”四个项目，每个项目满分10分，且每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在8分以上（含8分）设为一等奖，下表为A、B、C三位同学的得分情况（单位：分），其中A同学的部分信息不小心被涂黑了． 项目 项目得分 学生 奕智连珠 数独密码 立体拼图 魔方复原 折算后总分 A 6 9 7 B 6 8 6 7 7 C 6 7 4 7 6 已知A、B、C三位同学“奕智连珠”和“魔方复原”两项得分折算后的分数之和均为2分． （1）求“数独密码”和“立体拼图”两个项目的折算百分比分别是多少？ （2）如果A同学在本次数学节活动中获得了一等奖，那么他的“立体拼图”项目至少获得多少分？ 【答案】（1）， （2）8分 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设“数独密码”项目的折算百分比是x， “立体拼图”项目的折算百分比是y，根据B、C两同学的折算后总分等于各项目折算后得分之和，列出方程组，求解即可． （2）设他的“立体拼图”项目得分为a分，根据A同学在本次数学节活动中获得了一等奖，即A同学 【小问1详解】 解：设“数独密码”项目的折算百分比是x， “立体拼图”项目的折算百分比是y， 根据题意，得各项目折算后得分之和不低于8分，列出不等式，求解即可． ， 解得：， 答：“数独密码”和“立体拼图”两个项目的折算百分比分别是，． 【小问2详解】 解：设他的“立体拼图”项目得分为a分，根据题意，得 ， 解得：， ∴他的“立体拼图”项目至少获得8分． 27. 如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． （1）如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 【答案】（1）①见解析② （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，垂直的定义，平角，正确作出图形是解题的关键． （1）①根据题意作图，即可解答；②理由如下：过点P作，有，继而求出可得到，则，即可解答． （2）过点P作，有，先求出 则有，，即可解答． 【小问1详解】 解：①作图如图 ②理由如下： 过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 【小问2详解】 过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴． 28. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就叫做点的“交变点”．例如：点的“交变点”是点． （1）若点的“交变点”为点，则点的坐标为______； （2）已知点，，且点是点的“交变点”，求、的值； （3）在长方形中，点，，，．已知点、，当线段上存在一点的“交变点”位于长方形的内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）、的值分别为、 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，解不等式组，理解“交变点”的定义是解题的关键． （1）由“交变点”的定义求解； （2）由“交变点”的定义列出方程组求解； （3）由“交变点”的定义列出不等式组求解． 【小问1详解】 解：∵点的“交变点”为点，且 ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点，，且点是点的“交变点”， ∴， 解得：， ∴、的值分别为、． 【小问3详解】 解：如图， 由题意，得 或， 解得： 或 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $