专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（89题）-2025-2026学年新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（89题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分、必要条件的判断 （一）充分条件的判断 （二）必要条件的判断 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要必要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点六 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充要不必要条件 （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点七 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 考点八 充要条件的证明 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 策略方法 判断一个语句是否为命题，解题策略如下：​ 首先，明确命题的定义：能判断真假的陈述句。这是判断的核心依据，需同时满足“陈述句”和“可判断真假”两个条件。​ 其次，对语句类型进行分析。祈使句（如“请起立”）、疑问句（如“你是高一的学生吗？”）、感叹句等非陈述句，直接判定为非命题。​ 然后，针对陈述句，进一步判断其是否能确定真假。若语句所表述的内容有明确的真假属性（如“三角形的内角和是180°”为真，“空集是任何集合的真子集”为假），则是命题；若无法判断真假（如未明确变量取值的“x＞2”），则不是命题。​ 最后，结合具体语句逐一验证，严格按照上述标准进行判定，确保不遗漏关键条件。 题型训练 1．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 2．（21-22高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 3．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) （二）判断命题的真假 策略方法 判断命题的真假，解题策略如下：​ 首先，先确定语句是否为命题（依据“能判断真假的陈述句”标准），非命题无需讨论真假。​ 其次，对于确定为命题的语句，分情况判断：​ 事实性命题：依据公认事实（如“空集是任何集合的子集”为真，“一个数不是正数就是负数”因存在0为假）。​数学定义/定理相关命题：结合定义、定理验证（如“正方形既是矩形又是菱形”符合定义为真）。含变量的命题：若为全称量词命题，需验证所有情况；若为存在量词命题，举一例成立即可（如“∃x，x²=2”为真）。复合判断命题：通过举反例（如“若xy是有理数，则x，y都是有理数”，反例为假）或推理证明真假。​ 最后，对复杂命题可采用反证法（如假设“a，b都≤1”推导矛盾，证明“a+b>2则至少一个>1”为真），确保判断逻辑严谨。 题型训练 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 7．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 9．【多选】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 10．【多选】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 考点二 充分、必要条件的判断 策略方法 1、符号“⇔”的含义 “⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”. 2、对充分条件与必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 3、充分条件、必要条件的判断方法 注：（1）充分条件的判断方法 ①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． ②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 必要条件的判断方法 ①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． ②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 题型训练 （1） 充分条件的判断 11．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 14．（19-20高一·全国·课后作业）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 15．（24-25高一上·上海·课后作业）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)，，； (2)，； (3)，． （2） 必要条件的判断 16．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 17．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 18．（2023高一·全国·专题练习）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 19．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 20．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 策略方法 探求命题成立的充分、必要条件，解题策略如下：​ 首先，明确充分条件和必要条件的定义：若p能推出q，则p是q的充分条件；若q能推出p，则p是q的必要条件。​ 其次，对于“探求q成立的充分条件p”：需找到一个p，使得p⇒q成立。可通过分析q成立的条件，选取其真子集范围内的条件（如q为x>1，p可为x>2，因x>2⇒x>1）。​ 对于“探求q成立的必要条件p”：需找到一个p，使得q⇒p成立。可从q成立的条件出发，推导其必然满足的更宽泛的条件（如q为x>2，p可为x>1，因x>2⇒x>1）。​ 最后，结合具体问题（如方程有实根、不等式成立等），先求出命题成立的充要条件，再根据充分、必要条件与充要条件的包含关系（充分条件是充要条件的子集，必要条件是充要条件的母集）筛选答案，必要时通过举反例验证逻辑关系。​ 题型训练 21．（21-22高一上·江苏连云港·阶段练习）写出一个使“”成立的充分条件为 . 22．【多选】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 23．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高一上·全国·课后作业）的一个必要条件是（     ） A． B． C． D． 25．（23-24高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 策略方法 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． (3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 题型训练 （1） 根据充分条件求参数的取值范围 26．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 27．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 29．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 30．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. （二）根据必要条件求参数的取值范围 31．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 32．【多选】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 33．【多选】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 34．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 35．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 36．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 考点五 充分、必要、充要条件的判断 策略方法 1.对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立． (2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等． (3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论 3.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 题型训练 （1） 充分不必要条件的判断 37．（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 38．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 39．（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 40．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二）必要不充分条件的判断 41．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（23-24高二下·上海·期末）人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）命题“”是命题“”的 条件． 44．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （三）充要必要条件的判断 45．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 46．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 48．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 49．（24-25高一上·广东·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （四）既不充分也不必要条件的判断 50．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 51．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 52．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 53．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 54．（24-25高一上·安徽·期中）设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点六 探求命题为真的一个充要条件 策略方法 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 题型训练 （1） 探求命题为真的一个充要不必要条件 55．（24-25高一下·广东广州·期末）使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 56．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 57．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 58．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 60．（24-25高一上·贵州·期中）方程有两个不相等的正实数根的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D． （2） 探求命题为真的一个必要不充分条件 61．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）写出“”的一个必要不充分条件为 . 63．【多选】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 64．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，，则p的一个必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． （三）探求命题为真的一个充要条件 65．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 66．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 67．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 68．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 69．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 考点七 充要条件的应用 策略方法 1.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 2.充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型训练 （1） 依据充分不必要条件求参数 70．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 71．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若是不等式成立的一个充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 72．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 73．【多选】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 74．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． （2） 依据必要不充分条件求参数 75．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 76．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 77．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 78．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 79．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. （3） 依据充要条件求参数 80．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 81．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 82．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 83．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 84．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 考点八 充要条件的证明 策略方法 p是q的充要条件的证明 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 题型训练 85．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 86．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 87．（24-25高一上·全国·课后作业）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 88．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 89．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（89题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分、必要条件的判断 （一）充分条件的判断 （二）必要条件的判断 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要必要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点六 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充要不必要条件 （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点七 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 考点八 充要条件的证明 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 策略方法 判断一个语句是否为命题，解题策略如下：​ 首先，明确命题的定义：能判断真假的陈述句。这是判断的核心依据，需同时满足“陈述句”和“可判断真假”两个条件。​ 其次，对语句类型进行分析。祈使句（如“请起立”）、疑问句（如“你是高一的学生吗？”）、感叹句等非陈述句，直接判定为非命题。​ 然后，针对陈述句，进一步判断其是否能确定真假。若语句所表述的内容有明确的真假属性（如“三角形的内角和是180°”为真，“空集是任何集合的真子集”为假），则是命题；若无法判断真假（如未明确变量取值的“x＞2”），则不是命题。​ 最后，结合具体语句逐一验证，严格按照上述标准进行判定，确保不遗漏关键条件。 题型训练 1．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 2．（21-22高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B 3．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) 【答案】 是 是 否 【分析】根据命题的定义判断语句是否为命题. 【详解】（1）"正方形是四边形"是陈述句，即为命题； （2）任意一个三角形的内角和都是是陈述句，即为命题； （3）1是自然数吗？不是陈述句，不为命题. 故答案为：是，是，否 （二）判断命题的真假 策略方法 判断命题的真假，解题策略如下：​ 首先，先确定语句是否为命题（依据“能判断真假的陈述句”标准），非命题无需讨论真假。​ 其次，对于确定为命题的语句，分情况判断：​ 事实性命题：依据公认事实（如“空集是任何集合的子集”为真，“一个数不是正数就是负数”因存在0为假）。​数学定义/定理相关命题：结合定义、定理验证（如“正方形既是矩形又是菱形”符合定义为真）。含变量的命题：若为全称量词命题，需验证所有情况；若为存在量词命题，举一例成立即可（如“∃x，x²=2”为真）。复合判断命题：通过举反例（如“若xy是有理数，则x，y都是有理数”，反例为假）或推理证明真假。​ 最后，对复杂命题可采用反证法（如假设“a，b都≤1”推导矛盾，证明“a+b>2则至少一个>1”为真），确保判断逻辑严谨。 题型训练 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 7．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 9．【多选】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 【答案】ACD 【分析】借助反证法可得A、C；结合直线三角形性质与外心定义可得B；利用分数与有理数定义可得D. 【详解】对A：假设，都小于或等于，则， 与已知矛盾，故假设错误，故A正确； 对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误； 对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集， 这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确； 对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确. 故选：ACD. 10．【多选】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 【答案】ABC 【分析】举例子即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，成立，故A正确， 对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确， 对于C,当，是无理数，故C正确， 对于D,负数没有算术平方根，故D错误， 故选：ABC 考点二 充分、必要条件的判断 策略方法 1、符号“⇔”的含义 “⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”. 2、对充分条件与必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 3、充分条件、必要条件的判断方法 注：（1）充分条件的判断方法 ①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． ②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 必要条件的判断方法 ①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． ②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 题型训练 （1） 充分条件的判断 11．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【详解】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【分析】由全等三角形的判定定理可得结果. 【详解】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 14．（19-20高一·全国·课后作业）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【分析】利用充分条件的定义即可求解. 【详解】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. 15．（24-25高一上·上海·课后作业）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)，，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据充分、必要条件的定义分别判断即可． 【详解】（1）解：，，， 由，，得，反之不成立， 故； （2）解：，， 由，得，反之不成立， 故； （3）解：，， 由，得，反之不成立， 故． （2） 必要条件的判断 16．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 17．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【详解】（1）由，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 18．（2023高一·全国·专题练习）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 【分析】先根据条件得到他们之间的推导关系，再判定他们的逻辑关系. 【详解】（1）由平行四边形的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （2）由三角形相似的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （3）存在对角线垂直，但不是菱形的四边形，可得，所以 q不是p的必要条件. （4）由于 ，但，可得，所以 q不是p的必要条件. （5）由于为无理数，但不全是无理数，可得， 所以 q不是p的必要条件. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 20．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 策略方法 探求命题成立的充分、必要条件，解题策略如下：​ 首先，明确充分条件和必要条件的定义：若p能推出q，则p是q的充分条件；若q能推出p，则p是q的必要条件。​ 其次，对于“探求q成立的充分条件p”：需找到一个p，使得p⇒q成立。可通过分析q成立的条件，选取其真子集范围内的条件（如q为x>1，p可为x>2，因x>2⇒x>1）。​ 对于“探求q成立的必要条件p”：需找到一个p，使得q⇒p成立。可从q成立的条件出发，推导其必然满足的更宽泛的条件（如q为x>2，p可为x>1，因x>2⇒x>1）。​ 最后，结合具体问题（如方程有实根、不等式成立等），先求出命题成立的充要条件，再根据充分、必要条件与充要条件的包含关系（充分条件是充要条件的子集，必要条件是充要条件的母集）筛选答案，必要时通过举反例验证逻辑关系。​ 题型训练 21．（21-22高一上·江苏连云港·阶段练习）写出一个使“”成立的充分条件为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】由一定能推出， 所以使“”成立的充分条件为， 故答案为： 22．【多选】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 23．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的求解即可判断，由充分条件的定义即可求解. 【详解】由，要使方程有实根，则， 故是方程有实根的一个充分条件， 故选：B 24．（21-22高一上·全国·课后作业）的一个必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过一一判断即可. 【详解】由题意， ∵， ∴，A正确 对B项，，故B错误； 对C项，不能小于2，故C错误， 对D项，不能等于1，故D错误， 故选：A. 25．（23-24高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 策略方法 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． (3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 题型训练 （1） 根据充分条件求参数的取值范围 26．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 27．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 28．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 29．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 30．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可； （2）由题可知此时，再分和讨论即可. 【详解】（1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. （二）根据必要条件求参数的取值范围 31．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 32．【多选】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 33．【多选】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可. 【详解】由为的必要条件，可得， . 故选：AB. 34．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 35．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，根据交集、补集的知识来求得正确答案. （2）根据充分、必要条件的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为， ， 或， 所以或. （2）若是的充分条件，则， 因为， 所以，解得， 若是的必要条件，则， 所以，解得， 综上的取值范围为. 36．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②{或}； (2). 【分析】（1）利用交集、补集、并集的概念运算即可； （2）根据必要条件的概念转化集合间的基本关系，计算参数即可. 【详解】（1）当时，， ， 而{或}，则{或}； （2）由“”是“”的必要条件，知， ，解得. 实数的取值范围. 考点五 充分、必要、充要条件的判断 策略方法 1.对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立． (2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等． (3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论 3.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 题型训练 （1） 充分不必要条件的判断 37．（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系，判断充分性和必要性. 【详解】由题意可得， 即“”可以推得“”，满足充分性，但由“”得不出“”，不具备必要性，所以为充分不必要条件. 故选：A. 38．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 39．（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】若，，则，所以是的充分条件， 若，满足，而，所以不能推出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 40．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义及集合间的包含关系判断即可. 【详解】由， 判断充分性： 当时，，满足， 所以由“”可以推出“”，充分性成立． 判断必要性： 若，因为，， 所以的值可以为，也可以是其他值如， 即由“”不能推出“”，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. （二）必要不充分条件的判断 41．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的定义判断即可得. 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 42．（23-24高二下·上海·期末）人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义结合“学以成人”即可判断. 【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立， “成人”能推出“学好数学”，必要性成立， 故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件． 故选：B． 43．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 44．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由得图： 或 对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于，故④错误.所以与等价的有①③，共2个. （三）充要必要条件的判断 45．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 46．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】，故，得到答案. 【详解】因为， 所以， 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 47．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 48．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 49．（24-25高一上·广东·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，得，从而得到答案. 【详解】由，得，所以“”是“”的充要条件. 故选：C （四）既不充分也不必要条件的判断 50．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 51．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 52．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 53．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用必要、充分条件的定义判断即可． 【详解】，推不出，例如：此时推不出“”， 反之，，推不出，例如：此时推不出“”， 所以是既不充分也不必要条件. 故选：D 54．（24-25高一上·安徽·期中）设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】以为条件，判断方程是否有两个负实根；以方程有两个负实根为条件，判断是否成立，即可得出正确答案. 【详解】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根． 反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出． 所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 考点六 探求命题为真的一个充要条件 策略方法 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 题型训练 （1） 探求命题为真的一个充要不必要条件 55．（24-25高一下·广东广州·期末）使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】由于， 但不能得到， 所以使成立的一个充分而非必要的条件可以是， 事实上，使成立的一个充分而非必要的条件可以是，其中. 故答案为：（答案不唯一）. 56．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 57．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 58．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 59．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 60．（24-25高一上·贵州·期中）方程有两个不相等的正实数根的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次方程根的分布列不等式求出充要条件，再根据充分不必要条件的性质求解即可. 【详解】方程有两个不相等的正实数根，当且仅当， 且两根之和时取得，解得. 故其一个充分不必要条件是. 故选：B （2） 探求命题为真的一个必要不充分条件 61．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 62．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）写出“”的一个必要不充分条件为 . 【答案】（答案不唯一）. 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】若，则不一定有；若则， 所以是的必要不充分条件，即的一个必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一） 63．【多选】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】ACD 【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可. 【详解】设该条件所表示的集合为，因为其是“”的一个必要不充分条件， 则. 对比选项知ACD，符合题意，B不合题意. 故选：ACD. 64．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，，则p的一个必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程有解的条件及其必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】，，则，解得， 选项,,则是的充要条件， 选项B,,则是的充分不必要条件， 选项C,，则是的必要不充分条件， 选项D,,则是的充分不必要条件. 故选：C （三）探求命题为真的一个充要条件 65．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于，解得， 所以所求充要条件是. 故选：A 66．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 67．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A 68．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【分析】分析可知，即可得出结果. 【详解】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 69．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要条件但不是充分条件. 【详解】（1）（1）因为集合，， 若，则， 故的一个既充分也必要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要条件但不是充分条件可以是.（答案不唯一）. 考点七 充要条件的应用 策略方法 1.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 2.充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型训练 （1） 依据充分不必要条件求参数 70．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 71．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若是不等式成立的一个充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得，然后列不等式组可求出结果. 【详解】因为是不等式成立的一个充分非必要条件， 所以， 所以，且等号不能同时成立， 解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 72．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 73．【多选】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 74．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． （2） 依据必要不充分条件求参数 75．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件列式求出参数范围. 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以， 故答案为：. 76．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 77．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 78．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 79．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． （3） 依据充要条件求参数 80．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 81．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 82．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 83．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 84．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 考点八 充要条件的证明 策略方法 p是q的充要条件的证明 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 题型训练 85．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 86．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 87．（24-25高一上·全国·课后作业）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    88．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 89．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. $$