专题01 集合的概念11种常见考法归类（61题）-2025-2026学年新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合的概念11种常见考法归类（61题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 由集合相等求参数 考点八 用列举法表示集合 考点九 用描述法表示集合 考点十 集合表示法的综合应用 考点十一 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 策略方法 1.三方面理解集合的含义 注：不是所有的对象都能构成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合． 2.判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 图示如下： 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的方法为： 题型训练 1．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的特性之一确定性进行判断. 【详解】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的元素需要满足确定性即可判断. 【详解】根据集合的元素需要满足确定性， 对于A，B，C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合； 对于D选项，大于小于2的所有非负奇数为1．可以构成集合． 故选：D． 4．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 5．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 6．【多选】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合、集合元素互异性的应用 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. （2） 判断是否为同一集合 策略方法 集合中元素的特性及应用 集合中元素具有确定性、互异性、无序性．确定性用于判断一组对象能否构成集合；互异性主要是提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中的元素满足互异性；无序性主要是方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． 题型训练 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 8．（23-24高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 【答案】答案见解析 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【详解】是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合． 9．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 10．【多选】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 考点二 判断元素与集合的关系 策略方法 1、元素与集合的关系解读 2、N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 3、判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 题型训练 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【详解】，，正确， 因为是无理数，所以． 故选：C 12．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 13．【多选】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故C，D错误，A，B正确 故选：ABB. 14．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 15．【多选】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、并集的概念及运算 【分析】根据集合和中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其是否属于相应集合. 【详解】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 考点三 已知元素与集合的关系求参数 策略方法 已知元素与集合的关系求参数时，可按以下策略进行：​ 首先，明确元素与集合的从属关系，将元素代入集合对应的表达式或关系式中。比如元素属于某方程构成的集合，就把元素代入方程；属于某不等式构成的集合，就代入不等式。​ 其次，根据代入后得到的等式或不等式，求解参数的可能取值。过程中要留意集合元素的特性，如确定性、互异性等，必要时对参数取值进行初步筛选。​ 最后，将求出的参数值代入原集合进行检验，确保元素确实属于该集合，且集合满足元素互异性等要求，排除不符合条件的参数值，得到最终结果。 题型训练 16．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【详解】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 17．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】若，且，则，即. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 20．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 考点四 集合元素互异性的应用 策略方法 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 题型训练 21．（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 22．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 23．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 24．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    【答案】4 【难度】0.65 【知识点】图形的性质、集合元素互异性的应用 【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案. 【详解】如图，因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 由集合的互异性，可知3需舍去； 当，可分为： ，解得； ，解得； ，解得； 综上，的值可能为. 故答案为：4    25．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 考点五 判断集合中元素的个数 策略方法 判断集合中元素的个数，可按以下策略进行：​ 首先，对集合进行化简，明确元素的具体形式和限定条件。比如处理含根式、分式或不等式的集合，通过化简转化为更直观的表达式，便于分析元素构成。​ 其次，根据集合类型选择合适方法。对于有限集，若元素可列举，直接列举后计数；若涉及实数运算组合（如两个集合元素的运算结果），需列出所有可能结果，去除重复元素后计数。​ 若集合含参数或为无限集，需分类讨论参数取值对元素范围的影响，分析元素满足条件的情况，确定不同情形下的元素个数。同时，注意结合集合元素的互异性，避免重复计数。 题型训练 26．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】解一元二次不等式，找出其中的正整数即可得解. 【详解】解不等式得，包含的正整数有，故的元素个数为. 故选：C. 27．（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【答案】 1 2 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】分、两种情况讨论，确定代数式的关系，即可确定集合的元素个数. 【详解】当时，各个式子都是； 当时，因为，，， 所以不论取何值，最多只能写成两种形式， 故集合中最少含有个元素，最多含有个元素． 故答案为：； 28．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合中的元素的特征，确定集合的元素即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，． 所以，共有个元素． 故选：C. 29．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为 . 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、求等差数列前n项和 【分析】记，则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列，要使最大，则中的元素从小到大依次取个，根据等差数列的前项和公式求解即可． 【详解】记， 则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列， 由题意，集合中取出个不同元素，它们的和， 要使最大，则中的元素从小到大依次取个， ∴， ∵，∴的最大值为7． 故答案为：7． 30．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 考点六 根据集合元素个数求参数 策略方法 根据集合元素个数的要求，分析元素的构成规律。列出关于参数的方程或不等式，结合集合元素的确定性、互异性等特性，求解参数的取值范围或具体值，注意排除使元素个数不符合条件的解。 注：对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解. 题型训练 31．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 32．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 33．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 34．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 35．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 考点七 由集合相等求参数 策略方法 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 题型训练 36．（23-24高一上·全国·课后作业）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意，得到和且，求得，的值，将其代入，进行计算求值，即可得到答案. 【详解】由题意知，集合，可得，所以， 此时，则且，所以， 所以． 故答案为：. 37．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 38．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 39．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 40．（24-25高三下·全国·开学考试）已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果. 【详解】，， 若，则，或， 解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，； 当时，， 故选：C. 考点八 用列举法表示集合 策略方法 1.列举法表示集合的种类 (1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}． 2、列举法表示集合的步骤及注意点 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 注意点： 二元方程组的解集，函数的图像形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 题型训练 41．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合 【分析】（1）解一元二次方程即可求出结果； （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果. 【详解】（1）由可得：，所以. （2）. （3）. 42．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合 【分析】由题可得为小于40的完全平方数，据此可得答案. 【详解】因，又，则为小于40的完全平方数. 则，从而. 故答案为： 43．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 44．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 45．（20-21高一·全国·课后作业）集合的元素个数是 ． 【答案】11 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】应用列举法写出所有符合集合描述的元素，即可知元素个数. 【详解】时，；时，；时，； 时，；时，；时，； 时，；时，；时，； 时，；时，； ∴集合为共11个元素. 故答案为：11 46．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】理解“且”连接的是需要同时满足，求出条件下的取值，再选出满足即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴． 47．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 考点九 用描述法表示集合 策略方法 1.描述法表示集合的几点注意 (1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素． (2)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．不能出现未被说明的字母．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (4)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． (5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 2.描述法表示集合的2个步骤 3.集合的三种表示方法特点 4.选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　 题型训练 48．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 49．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 50．（2025高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 51．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 考点十 集合表示法的综合应用 策略方法 集合表示法的综合应用 解决集合表示法的综合应用问题，可遵循以下策略：​ 首先，精准剖析集合的代表元素及其属性。像方程解集这类集合，其元素是方程的根，由此能将集合问题转化为方程问题，比如判断元素个数可转化为判断方程根的个数。​ 其次，妥善处理含参数的情况。对于含参数的方程，要依据参数的不同取值分类讨论，比如方程是一次还是二次，这会影响根的个数和求解方式。同时，求出参数后，需验证是否满足集合元素的特性，如互异性等。​ 再者，深入理解并运用新定义或给定规则。当集合涉及新的定义或运算规则时，要准确把握其含义，将其转化为熟悉的集合知识进行处理，通过逐步推导和验证来解决问题。 题型训练 52．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【详解】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 53．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 54．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3) 【难度】0.4 【知识点】判断元素与集合的关系、根据集合中元素的个数求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】（1）根据集合的性质代入3计算可得集合中还含有两个元素； （2）根据集合中元素的互异性，易证明集合中至少含有三个元素； （3）利用（2）中的结论可知集合中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为即可得出结论. 【详解】（1）证明：根据题意若，则， 若，则， 若，则， 因此可得集合， 即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素. （2）由且，可得， 由可得， 由可得，且，易知方程均无解； 所以； 即可得集合中至少含有3个元素， 所以集合A不可能为只含有两个元素的集合. （3）由（2）可知，若，则， 易知集合中的元素个数需为3的倍数， 若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个； 因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)； 可知， 又所有元素的和为，不妨设， 根据提供解析式可解得或或, 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据集合A中的元素性质，证明得出集合A中的元素个数必是3的倍数，再由元素个数以及所有元素的和及其积的性质计算即可得出集合A. 考点十一 集合的新定义题 策略方法 先仔细阅读新定义，理解其内涵和规则，将新定义转化为已学的集合知识。结合具体问题，运用新规则分析集合关系或元素特征，通过实例验证逻辑，进而求解问题。 题型训练 55．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】集合新定义、列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 56．（25-26高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】集合新定义、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据给定的定义，按分别求出即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 57．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，定义集合A，B之间的运算“*”， ，则集合 【答案】 【难度】0.94 【知识点】集合新定义 【分析】中的元素是所有A中的元素与B中元素的和构成，求出两个集合中元素的和，写出集合，注意元素的互异性． 【详解】， 中的元素有， 所以. 故答案为：. 58．（24-25高三上·河南·阶段练习）设为非空实数集，定义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】集合新定义 【分析】根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由的定义得，显然成立，故A正确； 对于B，由的定义得，，故B错误； 对于C，设，则， ，所以成立，故C正确； 对于D，设，则， 所以， 又， 所以， 所以成立，故D正确. 故选：ACD. 59．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 60．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 61．（2024高三·江苏·专题练习）定义集合运算：，集合，则集合所有元素之和为 ． 【答案】18 【难度】0.94 【知识点】集合新定义 【分析】根据给定定义，求出集合，再求和即得. 【详解】依题意，当或时，；当时，； 当时，，因此集合， 所以集合所有元素的和为 故答案为： $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题01 集合的概念11种常见考法归类（61题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 由集合相等求参数 考点八 用列举法表示集合 考点九 用描述法表示集合 考点十 集合表示法的综合应用 考点十一 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 策略方法 1.三方面理解集合的含义 注：不是所有的对象都能构成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合． 2.判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 图示如下： 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的方法为： 题型训练 1．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 4．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 5．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 6．【多选】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 （2） 判断是否为同一集合 策略方法 集合中元素的特性及应用 集合中元素具有确定性、互异性、无序性．确定性用于判断一组对象能否构成集合；互异性主要是提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中的元素满足互异性；无序性主要是方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． 题型训练 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 8．（23-24高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 9．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．【多选】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二 判断元素与集合的关系 策略方法 1、元素与集合的关系解读 2、N与N＋(或N*)的区别 N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0. 3、判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　 题型训练 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 13．【多选】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 15．【多选】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点三 已知元素与集合的关系求参数 策略方法 已知元素与集合的关系求参数时，可按以下策略进行：​ 首先，明确元素与集合的从属关系，将元素代入集合对应的表达式或关系式中。比如元素属于某方程构成的集合，就把元素代入方程；属于某不等式构成的集合，就代入不等式。​ 其次，根据代入后得到的等式或不等式，求解参数的可能取值。过程中要留意集合元素的特性，如确定性、互异性等，必要时对参数取值进行初步筛选。​ 最后，将求出的参数值代入原集合进行检验，确保元素确实属于该集合，且集合满足元素互异性等要求，排除不符合条件的参数值，得到最终结果。 题型训练 16．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 17．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 20．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 考点四 集合元素互异性的应用 策略方法 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 题型训练 21．（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 22．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 23．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 24．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    25．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 考点五 判断集合中元素的个数 策略方法 判断集合中元素的个数，可按以下策略进行：​ 首先，对集合进行化简，明确元素的具体形式和限定条件。比如处理含根式、分式或不等式的集合，通过化简转化为更直观的表达式，便于分析元素构成。​ 其次，根据集合类型选择合适方法。对于有限集，若元素可列举，直接列举后计数；若涉及实数运算组合（如两个集合元素的运算结果），需列出所有可能结果，去除重复元素后计数。​ 若集合含参数或为无限集，需分类讨论参数取值对元素范围的影响，分析元素满足条件的情况，确定不同情形下的元素个数。同时，注意结合集合元素的互异性，避免重复计数。 题型训练 26．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 27．（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为 . 30．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点六 根据集合元素个数求参数 策略方法 根据集合元素个数的要求，分析元素的构成规律。列出关于参数的方程或不等式，结合集合元素的确定性、互异性等特性，求解参数的取值范围或具体值，注意排除使元素个数不符合条件的解。 注：对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解. 题型训练 31．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 32．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 33．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 34．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 35．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 考点七 由集合相等求参数 策略方法 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 题型训练 36．（23-24高一上·全国·课后作业）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 37．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 38．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）若，则 ． 39．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高三下·全国·开学考试）已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 考点八 用列举法表示集合 策略方法 1.列举法表示集合的种类 (1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}． 2、列举法表示集合的步骤及注意点 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 注意点： 二元方程组的解集，函数的图像形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 题型训练 41．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 42．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 43．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 44．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 45．（20-21高一·全国·课后作业）集合的元素个数是 ． 46．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合． 47．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 考点九 用描述法表示集合 策略方法 1.描述法表示集合的几点注意 (1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素． (2)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．不能出现未被说明的字母．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (4)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． (5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 2.描述法表示集合的2个步骤 3.集合的三种表示方法特点 4.选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　 题型训练 48．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 49．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 50．（2025高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 51．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 考点十 集合表示法的综合应用 策略方法 集合表示法的综合应用 解决集合表示法的综合应用问题，可遵循以下策略：​ 首先，精准剖析集合的代表元素及其属性。像方程解集这类集合，其元素是方程的根，由此能将集合问题转化为方程问题，比如判断元素个数可转化为判断方程根的个数。​ 其次，妥善处理含参数的情况。对于含参数的方程，要依据参数的不同取值分类讨论，比如方程是一次还是二次，这会影响根的个数和求解方式。同时，求出参数后，需验证是否满足集合元素的特性，如互异性等。​ 再者，深入理解并运用新定义或给定规则。当集合涉及新的定义或运算规则时，要准确把握其含义，将其转化为熟悉的集合知识进行处理，通过逐步推导和验证来解决问题。 题型训练 52．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 53．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 54．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 考点十一 集合的新定义题 策略方法 先仔细阅读新定义，理解其内涵和规则，将新定义转化为已学的集合知识。结合具体问题，运用新规则分析集合关系或元素特征，通过实例验证逻辑，进而求解问题。 题型训练 55．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 56．（25-26高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 57．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，定义集合A，B之间的运算“*”， ，则集合 58．（24-25高三上·河南·阶段练习）设为非空实数集，定义，则（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 60．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 61．（2024高三·江苏·专题练习）定义集合运算：，集合，则集合所有元素之和为 ． $$