精品解析：广东省深圳市深圳高级中学（集团）2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

深圳高级中学2024-2025学年第二学期期末试卷 初一数学 命题人：强萍萍 李莹 审题人：张林 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在高海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 在海拔高度3000m的地方空气含氧量是（　　）g/m3． A. 299.3 B. 209.63 C. 182.08 D. 159.71 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 5. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 6. 如图，点E在的延长线上，下列选项中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件 B. “在平面上任意画一个三角形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（书）中任意选邦一个字母为o的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 8. 三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计15分） 9. 已知，，则的值为________． 10. 把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点到边的距离是______．     11. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 12. 如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为__________． 13. 如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． 三、解答题（共10小题，共61分） 14. 先化简再求值： ，其中，． 15. 如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米． （1）根据题意，画出示意图； （2）求小亮在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 16. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． 请认真观察图象，回答下列问题： （1）这个变化过程中自变量是_______（填文字）；因变量是_______（填文字） （2）请说明点D的实际意义． （3）由图可知，知识记忆遗忘先_______后_______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐_______．（填序号） ①快；②慢；③增多；④减少． （4）有研究表明，如及时复习，一天后记忆量能保持，根据上述遗忘曲线规律制定两条暑假学习计划． 17. 图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． （1）小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； （2）如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； （3）如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 18. 【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 （1）利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为_______（请填序号）． ① ② ③ ④ 【解决问题】 （2）利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： ①已知，则_______； ②若，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边的正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积． 19. 探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 20. 在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度． （1）等边三角形支撑的初步计算： 桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形，其边长为米．为了加强支撑，工程师在边上选择了一个点，并从点平行于方向铺设了一根长度为米的加固杆同时，从点向外延伸米到点，连接与相交于，请计算的长度． （2）可变尺寸的等边三角形支撑： 现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为米．同样地，从点平行于铺设长度为米的加固杆，并延长至点使得米．为了进一步加固，从点垂直设置一根支柱，与交于，请计算的长度． （3）非等边三角形支撑的特殊条件： 在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在边上选择点，并从点垂直向下设置测量杆他们发现主梁与斜拉索的长度相等，并且，请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学2024-2025学年第二学期期末试卷 初一数学 命题人：强萍萍 李莹 审题人：张林 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 在高海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 在海拔高度3000m的地方空气含氧量是（　　）g/m3． A. 299.3 B. 209.63 C. 182.08 D. 159.71 【答案】B 【解析】 【分析】根据“用表格表示变量之间的关系”的方法，结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：根据表格中，海拔高度与空气含氧量的对应值可得， 当海拔高度为3000m时，对应的空气含氧量为209.63g/m3， 故选：B． 【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，理解表格中两个变量的对应值的意义是正确判断的前提． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查整式的加法、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握其运算规则是解题的关键．逐一分析各选项是否符合运算规则即可． 【分析】解：A、与不是同类项，无法合并，结果应为，故A错误； B、根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可知，故B错误； C、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 4. 如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 5. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），延长至点G，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义可得，最后根据方位角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点G， 由题意得：， ∴，， 要使与的方向一致，则， ∴， ∴， 即水渠从C村沿北偏东方向修建，可以保持的方向一致， 故选A． 6. 如图，点E在的延长线上，下列选项中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 结合图形根据平行线的判定定理对选项逐一判断即可求解． 【详解】A、，不能得到，故A选项不合题意． B、，不能判断，故B选项不符合题意． C、，则可判断，故C选项不符合题意． D、，则，故D选项符合题意． 故选：D． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件 B. “在平面上任意画一个三角形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（书）中任意选邦一个字母为o的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，三角形内角和，概率等知识，掌握随机事件，必然事件的概念是解题的关键． 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：介于必然事件和不可能事件之间，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件，故原选项错误，不符合题意； B、在平面上任意画一个三角形，其内角和为”这一事件是必然事件，故原选项正确，符合题意； C、在单词（书）中任意选择一个字母为o的概率为，故原选项错误，不符合题意； D、天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 8. 三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：, B. OACBO的线段表示为：, C. OBACO的线段表示为：, D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 9. 已知，，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 即 故答案为： 10. 把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点到边的距离是______．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先证出平分，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∴，即平分， 则由角平分线的性质定理得：点到边的距离等于的长，即为， 故答案为：． 11. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据乘车费用起步价超过千米的费用，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 12. 如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键；由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定，即可求解． 【详解】解：连接，由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 13. 如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． 【答案】240000 【解析】 【分析】线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，，由角平分线的定义证得，进而证得，得，可得当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，， ∵，， ∴，， ， ∵平分， ， ， 又， ∴， ， ， ∴当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， 是等边三角形， ， ∵步道建设成本为每米400元， ∴这两条步道总建设费用的最小值为元， 故答案为：240000． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共61分） 14. 先化简再求值： ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 15. 如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米． （1）根据题意，画出示意图； （2）求小亮在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）80米，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的实际应用．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据题意可判断米，米，即可画出示意图． （2）根据题意直接利用“”可判断，根据全等三角形的性质可得出米 【小问1详解】 解：根据题意可知米，米． 故可画示意图如下： 【小问2详解】 根据题意可知：， ∴在和中 ， ∴， ∴米 ∴小刚在点A处时他与电线塔的距离为80米． 16. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． 请认真观察图象，回答下列问题： （1）这个变化过程中自变量是_______（填文字）；因变量是_______（填文字） （2）请说明点D的实际意义． （3）由图可知，知识记忆遗忘先_______后_______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐_______．（填序号） ①快；②慢；③增多；④减少． （4）有研究表明，如及时复习，一天后记忆量能保持，根据上述遗忘曲线规律制定两条暑假学习计划． 【答案】（1）学习后的时间；记忆留存率 （2）点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为 （3）①，②，④ （4）暑假的学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． （1）根据函数的概念，结合体函数图象，即可求解； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）根据函数的图象可解； （4）提出一条合理的建议即可． 【小问1详解】 这个变化过程中自变量是学习后的时间；因变量是记忆留存率， 故答案为：学习后的时间；记忆留存率． 【小问2详解】 D的实际意义是学习第小时，记忆留存率为 【小问3详解】 由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐减少， 故答案为：①，②，④； 【小问4详解】 暑假的学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合 17. 图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． （1）小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； （2）如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； （3）如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）区域外的小方格上，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式． (1)根据个小方格中有个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (2)根据个小方格中埋藏着个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (3)利用概率公式求出踩在区域外的小方格上踩中地雷的概率，通过比较选择踩中地雷概率小的区域． 【小问1详解】 解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是， ， 为了尽可能不踩中“地雷”， 小明的第二步应踩在区域外的小方格上． 18. 【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 （1）利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为_______（请填序号）． ① ② ③ ④ 【解决问题】 （2）利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： ①已知，则_______； ②若，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边的正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）②；（2）①；②50；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练地进行计算是解题的关键． （1）阴影部分是边长为的正方形，可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，根据面积相等可得； （2）①根据完全平方公式变形，即可求解; ②设，，则，，进而根据完全平方公式变形计算即可求解; （3）设长为长为y，根据题意得到，然后求出，然后利用完全平方公式的变形求解即可. 【详解】解：（1）利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为; 故答案为：②; （2）①，，而， ， ， 故答案为：； ②设，，则，， ； （3）设长为长为y， 两正方形的面积和为50， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积 19. 探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【答案】（1）见解析；（2）活动一：40；活动二：见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠可得，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）活动一：根据折叠的性质可得，进而根据，即可求解． 活动二：根据折叠的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）第一次折叠， 又，， ， （2）活动一： 第二次折叠，对称轴是， 活动二：第二次折叠， ，，， 又， 在和中 ， 20. 在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度． （1）等边三角形支撑的初步计算： 桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形，其边长为米．为了加强支撑，工程师在边上选择了一个点，并从点平行于方向铺设了一根长度为米的加固杆同时，从点向外延伸米到点，连接与相交于，请计算的长度． （2）可变尺寸的等边三角形支撑： 现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为米．同样地，从点平行于铺设长度为米的加固杆，并延长至点使得米．为了进一步加固，从点垂直设置一根支柱，与交于，请计算的长度． （3）非等边三角形支撑的特殊条件： 在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在边上选择点，并从点垂直向下设置测量杆他们发现主梁与斜拉索的长度相等，并且，请证明． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质；熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）先证明是等边三角形，根据平行线的性质可得出，证明，即可得证； （2）由（1）可得，，且，证明是等边三角形，即可求解； （3）延长至，使，过点作交的延长线于点，连接，证明，进而证明，根据线段的和差关系，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， 【小问2详解】 由（1）可得，，且 ， 为的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ，， 即； 【小问3详解】 证明：延长至，使，过点作交的延长线于点，连接 ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $