精品解析：四川省雅安市2024-2025学年七年级下学期期末检测数学试题

2024-2025学年下期期末教学质量检测七年级 数学试题 （本试卷分A卷和B卷两部分，全卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填涂在机读卡上． 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   2. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 旭日东升 3. 若，则的余角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了估计池塘两端A，B两点之间的距离，小康采取了如下方法：在池塘的一侧选取了一点P，连接，测得米，米，那么A，B两点之间的距离可能是（　　） A. 7米 B. 20米 C. 33米 D. 35米 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　） ①； ②长方形的周长为； ③当时，； ④当时，或3 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 12. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A. B. C. 若，则 D. 二、填空题（每小题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上． 13. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 14. 在学习综合与实践《设计自己运算程序》时，小明设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程…，若以215开始，按照此程序运算2024次后得到的数是___________． 15. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积，___________（用含有a，b的式子表示）． 16. 如图，在纸片中，，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：其中． 19. 每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 A B O 人数 a 10 5 b （1）这次随机抽取的献血者人数为多少？ （2）图表中___________，___________，___________； （3）若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答： ①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？ ②估计这2000人中有多少人是O型血． 20. 如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，． （1）若，且，求的度数． （2）探究与有什么关系时，光线与光线平行． 21. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． （1）画出线段关于直线l的轴对称线段； （2）在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 22. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究： [信息读取] （1）甲，乙两地相距___________，两车出发后___________h相遇； （2）普通列车到达终点共需___________h，普通列车的速度是___________； [解决问题] （3）求动车的速度； （4）图中点M表示的实际意义是：当普通列车行驶___________h时，两车之间的距离为___________； （5）当时，求出x的值． B卷（共20分） 四、填空题（本大题共2个小题，满分8分） 23. 若，，则的值为___________． 24. 如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为______． 五、解答题 25. 问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下期期末教学质量检测七年级 数学试题 （本试卷分A卷和B卷两部分，全卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填涂在机读卡上． 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 3. 若，则的余角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角． 【详解】解：∵， ∴的余角为：， 故选：A． 4. 如图，为了估计池塘两端A，B两点之间的距离，小康采取了如下方法：在池塘的一侧选取了一点P，连接，测得米，米，那么A，B两点之间的距离可能是（　　） A. 7米 B. 20米 C. 33米 D. 35米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∵米，米， ∴， ∴， ∴A，B两点之间的距离可能是20米． 故选：B 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，可得，，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 7. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键． 根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：根据题意得：总面积为18个小三角形的面积，其中阴影区域的面积为6个小三角形的面积， 所以小球最终停留在阴影区域的概率是． 故选：C 8. 如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．利用两直线平行，同旁内角互补得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由作法得：垂直平分，平分，可得， 【详解】解：由作法得：垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 10. 如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　） ①； ②长方形的周长为； ③当时，； ④当时，或3 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题得函数图象，矩形的性质，几何图形与函数图象的关联信息，正确理解几何图形与函数图象的关联信息是解题的关键． 对于①，根据矩形的性质及几何图形与函数图象的关联信息，即可判断； 对于②，根据矩形的性质及几何图形与函数图象的关联信息，即可判断； 对于③，当时，点P在上，根据三角形的面积公式，即可判断； 对于④，分别求出点P在三种不同位置时的函数解析式，再令，可求得x的值，即可判断． 【详解】解：对于①，由图可知，点P在线段上运动的时间为， ， 四边形长方形， ， 所以①正确； 对于②，由图可知，点P在线段上运动的时间为， ， 长方形的周长为， 所以②正确； 对于③，当时，点P在上， ， 所以③正确； 对于④，当时，， 令，则， 解得， 当时，， 当时，点P在上， ， 令，则， 解得， 当时，或3， 所以④正确； 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 11. 如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出，表示出，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故选B． 12. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A. B. C. 若，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、用反证法即可判断；C、延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；D、作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断 【详解】解：A、在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故正确，不符合题意； B、若， ∴， ∴， ∴， 而由已知条件无法证明， 故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G， 由选项A得， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，三线合一，反证法，作辅助线构建三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上． 13. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 14. 在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，小明设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程…，若以215开始，按照此程序运算2024次后得到的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律，找出规律是解题的关键．任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程，即可发现规律， 读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； ； ∴按照此程序运算2024次后得到的数是， 故答案为：． 15. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积，___________（用含有a，b的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用．将阴影部分看作长为，宽为的长方形． 【详解】解：阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 16. 如图，在纸片中，，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若，则的度数为___________． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的折叠，邻补角，先根据，求出的值，再由折叠的性质求出，然后根据邻补角即可求解． 【详解】∵，， ∴． ∵将折叠后，点A落在边BC上的点D处，折痕为， ∴， ∴； 故答案是：． 三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，零次幂，负指数幂的计算，掌握其计算方法是关键． （1）先算括号里的同底数幂的乘法，幂的乘方，再算同底数幂的除法即可； （2）先算立方，绝对值，零次幂，负指数幂的结果，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 分别利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再进行合并，然后代入求值即可． 详解】解： ， ∴当时，原式 19. 每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 A B O 人数 a 10 5 b （1）这次随机抽取的献血者人数为多少？ （2）图表中的___________，___________，___________； （3）若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答： ①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？ ②估计这2000人中有多少人O型血． 【答案】（1）50 （2）12，23，20 （3）血型是O型的概率是，估计这2000人中O型血的人数大约有920人 【解析】 【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数， （2）计算出O型的人数，再用总人数减去O型、B型、型人数计算出A型人数；用B型的人数除以抽取的总人数即可求得m的值； （3）用样本中O型的人数除以样本人数得到血型是O型的概率，然后用2000乘以此概率可估计这2000人中是O型血的人数． 【小问1详解】 解：这次随机抽取的献血者人数为（人）； 【小问2详解】 解：O型献血的人数（人）； A型献血的人数（人）， ， ∴； 故答案为12，23，20； 【小问3详解】 解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率， （人）， 估计这2000人中大约有920人是O型血． 【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表、概率公式、用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键；随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 20. 如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，． （1）若，且，求的度数． （2）探究与有什么关系时，光线与光线平行． 【答案】（1） （2）当时，光线与光线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据题意得出，根据平行线的性质可得，进而根据平角的定义，即可求解； （2）根据（1）的方法可得，，当时，进而可得，即可证明． 【小问1详解】 解，， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 【小问2详解】 当时，光线与光线平行． 理由如下： ，， ． 同理． ， ． 21. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． （1）画出线段关于直线l的轴对称线段； （2）在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，线段为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，点为所求： 由对称的性质得， 则， 此时，最小； 【小问3详解】 解：如图所示， 点C共有5个． 故答案：5． 22. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究： [信息读取] （1）甲，乙两地相距___________，两车出发后___________h相遇； （2）普通列车到达终点共需___________h，普通列车的速度是___________； [解决问题] （3）求动车的速度； （4）图中点M表示的实际意义是：当普通列车行驶___________h时，两车之间的距离为___________； （5）当时，求出x的值． 【答案】（1）1800，6；（2）18，100；（3）；（4）9，900；（5）或 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息，解题的关键在于熟练掌握函数图像关键信息，路程与速度和时间的关系． （1）初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； （2）最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度； （3）动车速度等于动车与普通列车速度和减普通列车的速度； （4）由函数图像可知，M表示的实际意义是动车到达乙地，也是当普通列车行驶时，两车之间的距离为． （5）当时， ，解得；或，解得（不合）；或，解得． 【详解】解：（1）由图像可知，甲地与乙地相距，两车出发后相遇； 故答案为：1800，6； （2）由函数图像可知，普通列车到达， 则速度为（）， 故答案为：18；100；. （3）动车的速度为：（）； （4）∵（）， ∴（）， 故答案为：9，900． （5）如图， 当时， 两车相遇前， ， 解得； 两车相遇后， ， 解得，不合； 动车到达乙地后， ， 解得． 故或． B卷（共20分） 四、填空题（本大题共2个小题，满分8分） 23. 若，，则的值为___________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键． 先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：28． 24. 如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作， 平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 五、解答题 25. 【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2）成立，理由见详解；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的运用，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． （1）延长到点，使得，可证，，，再证，，根据角的和差计算即可求解； （2）延长延长到点，使得，可证，，，再证，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接，同理可证，由此即可求解． 【详解】解：（1），理由如下， 如图所示，延长到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）成立，理由如下， 如图所示，延长延长到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东的处， ∴，轴，则， ∴，则， ∵舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进， ∴，（海里），（海里）， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴（海里）， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $