精品解析：甘肃省张掖市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则在复平面内，z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 现有6名学生志愿者作交通协管员，其中男生有2人，女生有4人.现从这6人中随机选2人到A路口，则A路口的志愿者是1男1女的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平面平面，四边形为矩形，且，，的面积为3.若点E是线段AD上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，函数.若任意，函数最多有2个零点，且存在，函数有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 公差 C. D. 当或时，最小 10. 如图，抛物线：（），绕其顶点按逆时针方向分别旋转90°，180°，270°得到抛物线，，，四条抛物线围成的图案如图中阴影区域，A，B分别是第一、四象限的交点.若抛物线的焦点为，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的方程为 B. 阴影区域的面积为64 C. D. 图案上任意两点距离的最大值为 11. 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 13. 已知函数的定义域是，是偶函数，是奇函数，则__________. 14. 设，，，则a，b，c的大小关系是__________.（用“”连接） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 某学校举办了“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的学生中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下2×2列联表：（单位：人） 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 （1）是否有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系？ （2）有20名学生进入竞赛的某环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入下一环节.若每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入下一环节的人数，求X的数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数（）. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 19. 已知为椭圆：（）上一点，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知，若过点的直线交椭圆于另一点，且. ①若点在第一象限，求直线的斜率； ②求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则在复平面内，z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出z，可得，结合复数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为， 该点位于第三象限， 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集运算规则，求出集合交集即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 3. 现有6名学生志愿者作交通协管员，其中男生有2人，女生有4人.现从这6人中随机选2人到A路口，则A路口的志愿者是1男1女的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定选择总数为，再求出是1男1女种，进而得到概率. 【详解】由题意知，从6人中随机选2人，有种结果，其中2人是1男1女的结果有种， 所以A路口的志愿者是1男1女的概率为. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式，和齐次式由弦化切，用正切表示正弦，代入求出结果即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 5. 如图，平面平面，四边形为矩形，且，，的面积为3.若点E是线段AD上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作，交直线BC于点F，证明平面ABCD，求出即可求解. 【详解】如图，过点P作，交直线BC于点F， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PBC， 所以平面ABCD， 因为△PBC的面积为3，， 所以，即， 解得，所以三棱锥的体积， 当且仅当点E在点D时取等号， 三棱锥体积的最大值为1. 故选：D. 6. 双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 7. 已知函数，函数.若任意，函数最多有2个零点，且存在，函数有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类，结合函数的单调性及已知列式求解. 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 当且仅当时，函数有2个零点，且对任意，函数最多有2个零点， 此时，解得，则； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当且仅当时，函数有2个零点，且对任意，函数最多有2个零点， 此时，解得或，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的关系，求出三个角的范围，根据边的关系和正弦定理，用三角函数表示出边长，换元法构造函数，求出函数的最小值，判断结果. 【详解】因为，，所以，，且. 由正弦定理得，所以. 因为，所以，所以. 因为， ，， 所以 . 令，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以a的最小值为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 公差 C. D. 当或时，最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求出判断A，利用等差数列公差的性质求解判断B，法一先利用等差数列的前项和公式求出，再求出判断C，结合二次函数的性质判断D，法二先利用等差数列的通项公式求出，再单独求出判断C，最后分析的正负情况判断D即可. 【详解】因为，，所以，解得，故A正确. 设等差数列的公差为d，则，故B正确. 对于选项C，D，法一：因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开向上， 且对称轴为直线，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 法二：因为， 所以，故， 则； 因为，所以当时，，且， 当时，，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 如图，抛物线：（），绕其顶点按逆时针方向分别旋转90°，180°，270°得到抛物线，，，四条抛物线围成的图案如图中阴影区域，A，B分别是第一、四象限的交点.若抛物线的焦点为，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的方程为 B. 阴影区域的面积为64 C. D. 图案上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点坐标求得，然后按逆时针方向旋转90°可知抛物线开口向上得到方程判断A；由图案的对称性，并联立方程，求得同时求得另两个交点坐标，然后分别计算，以及正方形面积，最后判断即可. 【详解】对于选项A，由题意，抛物线开口向右，顶点为坐标原点O.因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为. 因为抛物线绕其顶点按逆时针方向旋转90°得到的抛物线开口向上，所以抛物线开口向上，则其方程为，即，故A正确. 对于选项B，C，D，由题意及抛物线的对称性知，图案关于x轴、y轴、坐标原点、直线、直线均对称. 由解得或，则.由图案的对称性，得，所以. 由图案的对称性可知，另外两个交点分别为，， 连接点A，B，C，D，则四边形ABCD是边长为8的正方形，其面积为，所以阴影部分面积小于64. 因为图案在正方形ABCD内，所以图案上任意两点的距离小于等于.故B错误，C正确，D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， 直线为曲线与的公共切线，， 由①得，两边取自然对数，得，， 代入②，得，即，解得或， 当时，，，直线的方程为；当时，，，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的坐标运算，即可求得答案. 【详解】因为，，所以. 因为，所以， 即，解得. 故答案为： 13. 已知函数的定义域是，是偶函数，是奇函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据复合函数奇偶性，证明原函数为周期函数，根据函数特殊值和周期，求出指定函数值. 【详解】因为函数是偶函数，所以，所以. 因为函数是奇函数，所以，所以， 所以，所以， 所以函数是以4为周期的周期函数，所以. 在中，令，得，所以. 在中，令，得，所以，所以. 故答案为：. 14. 设，，，则a，b，c的大小关系是__________.（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函，利用导数研究单调性比较，进而得到答案. 【详解】令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以，综上，结论为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式和，即可求出结果； （2）由（1）求出数列的通项公式，再根据错位相减法即可求出数列的前n项和为. 【小问1详解】 因为，所以当时，，解得. 当时，，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，，所以. 所以， ， 两式相减，得 ， 所以. 16. 某学校举办了“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的学生中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下2×2列联表：（单位：人） 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 （1）是否有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系？ （2）有20名学生进入竞赛的某环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入下一环节.若每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入下一环节的人数，求X的数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有把握 （2） 【解析】 【分析】（1）根据2×2列联表中的信息，计算，判断满意程度与性别是否有关系即可； （2）根据独立事件概率的乘法公式，计算出每人进入下一环节的概率，进入下一环节人数服从二项分布，根据二项分布均值公式，求出均值即可. 【小问1详解】 提出统计假设：满意程度与性别无关. 根据列联表中的数据，计算得. 所以否定假设，所以有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系. 【小问2详解】 依题意，设事件“某学生答对第i道题”（，2，3），“某学生进入下一环节”， 则，，. 因为， 所以， . 依题意，，所以. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以， 因为四棱锥的底面是矩形，所以， 所以与相似，故， 因为，所以，故， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似证得，结合线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 因为四棱锥的底面是矩形，所以. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，此时， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数（）. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是，无单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，构研究导函数符号确定的单调区间； （2）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 则. 令，则. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 故的单调递增区间是，无单调递减区间. 【小问2详解】 因为（），定义域为， 所以. 若有两个极值点，，则方程有两个根，， 所以方程有两个根，， 即函数的图象与直线有两个交点. 故， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以. 又因为当时，，， 所以当时，，当时，. 要使函数的图象与直线有两个交点，则，解得， 即实数a的取值范围是. 19. 已知为椭圆：（）上一点，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知，若过点的直线交椭圆于另一点，且. ①若点在第一象限，求直线的斜率； ②求直线的方程. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，由离心率以及求出即可求解； （2）①设直线PA的倾斜角为，则，由，利用诱导公式即可求，进而求解； ②由题意直线l的斜率存在，设为t，则直线l的方程为，与椭圆方程联立消元，解得点的坐标，由结合同角三角函数平方关系得，由数量积的定义和坐标运算建立方程，求解方程即可. 【小问1详解】 因为点在椭圆C：上，所以，解得. 因为椭圆C的离心率为，即，解得. 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 ①如图，设直线的倾斜角为，则. 因为， 所以，所以直线的斜率为. ②由题意得直线l的斜率存在，且不为0，设为t. 又直线l过点，则直线l的方程为. 由消去y，整理得，解得，. 因为，所以，则，则点. 因为，所以， 结合，，解得. 因为，，所以，， 所以. 又因为， 所以，且. 整理得解得， 所以直线l的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $