北京市丰台区2024-2025学年高一下学期期末练习数学试题

丰台区2024~2025学年度第二学期期末练习 高一数学 2025.07 1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育D号用黑色字 迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的数育D号、姓名，在答题卡的 “条形码粘贴区”贴好条形码。 考 2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂 生 须 方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。 知 非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。 圜 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无 效，在练习卷、草稿纸上答题无效。 4. 如 本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。 第一部分 选择题（共40分） 部 一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符 长 合题目要求的一项。 1. cos42°cos12°+sin42°sin12°= 图 (B) (D) 2 缴 2. 已知向量A西=0,2)，AC=(3,5),则BC的坐标为 郝 (A)(4,7) (B)（-4,-7) (C)(2,3) (D)(-2-3) 3. 御 在复平面内，复数21 对应的点位于 1+i (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4. 从1,2,3组成的无重复数字的所有三位数中随机抽取一个数，则该数大于 300 家 的概率为 吉 (B) c号 (D) 23 5,某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为 (A)至多有一次投中 (B)至少有一次投中 (C)恰有一次没有投中 (D)两次都投中 高一数学 第1页（共6页） 6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临辜了国画、漆绘和墓室壁画，体 现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体 (假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示，已知半球的半径为R,圆 柱的高也为R,则银杯盛酒部分的容积为 图1 图2 (A) R3 (B) (D) 2 2 (c) BR' 7.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的为 (A)若m⊥a,a∥B,则m⊥B (B)若m⊥a,B⊥a,则mMB (C)若m∥a,n∥a,则m∥n (D)若m,nca,mIB,nIB,则a∥B 8.为了解某校学生日均运动时长，某研究小组在该校随机抽取了200名学生，统计 了他们日均运动时长，并将所得 频率/组距个 数据分组整理，得到右侧的频率 0.8 分布直方图，给出下列四个结论： ①a=0.4: 0.5 ②这200名学生日均运动时长 的平均数小于中位数； ③估计该校学生日均运动时长 的第85百分位数约为2： 00.511.522.533.5日均运动时长/6 ④从该校随机抽取一名学生，估计该学生日均运动时长不低于1小时的概率为 4 其中所有正确结论的序号是 (A)①② (B)⑧④ (C)①③④ (D)①②⑧④ 已知ma,amB是方程x-23x-1=0的两个实数根，且a,Be(-2,则 a+B的值为 (A) (B)_2 (c) (D) 6 π-6 3 高一数学第2页（共6页） 10.六方氮化硼(-BN)材料具有高导热性和优良的电绝缘性，适用于新能源电池 等高功率电子领域，其单层晶体结构由正六边形紧密排列而成，如图1所示。 取相邻的三个边长为1的正六边形ABCDEF,正 六边形BHGC,正六边形CGKLMD,记O,O2, Q,分别为这三个正六边形的中心，如图2所示. 给出下列四个结论： 图1 ①若N为线段江的中点，则D丽=23 ②向量D可在向量0可上的投影向量为OC: ③设P为图2中三个正六边形边上的任意一点， 则1平+1历P的最大值为31， ④若A②=xAB+yBC,且IAO=5,则x+y的 取值范围为[-2,2]· 图2 其中所有正确结论的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知复数z=2+i,则|z= 12.已知向量4=(-4,3)，b=(3,m),若a⊥b,则m=_ 13.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边AB,BC的中点，将△AED,△BEF, △DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点G,则在四面体 G-EFD中，与平面GEF垂直的一个平面为 B 13题图 14题图 14.如图，在△4BC中，已知AB=6,AC=8,∠BAC=60°，AB,AC边上的两条 中线CM,BN交于点P,则BC=一，cos∠MPN=一 高一数学第3页（共6页) 15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A4B,CD,中，P,E分别为线段BD,AB上的动 点，M为线段AD的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥E-CDC的体积为定值： @PC+PM的最小值为 6, ③不存在点E,使得AE与BD,所成的角为45； ⑨A40P面家龄值猫为马， 其中所有正确结论的序号是一· 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 在AMc中，a=7,b=5,A=写 (I)求sinB的值： (Ⅱ)求△ABC的面积. 17.(本小题14分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，D为棱AC的中点，BC与B,C交于点E, ∠ACB=90°. (I)求证：DE∥平面AAB,B: (Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求证：BC⊥平面ACB,· 条件①：BC=CC: 条件②：∠CBC=45°. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 高一数学第4页（共6页) 18.(本小题14分) 近年来，国内涌现出一批优秀的AI应用大模型.某中学为了解学生使用AB、C 三种A虹应用大模型的情况，采用分层随机抽样的方法，从初中部抽取了60名学生， 从高中部抽取了50名学生，获得如下数据： A B C 初中部 40人 38人 42人 高中部 30人 25人 20人 假设所有学生使用A1应用大模型的情况相互独立.用频率估计概率。 (I)从该校全体学生中随机抽取1人，估计该学生使用AI应用大模型A的概 率； (Ⅱ)从该校初中部全体学生中随机抽取1人，高中部全体学生中随机抽取1 人，估计这2人中至少有1人使用AI应用大模型A的概率； (Ⅲ)在上述样本中，记初中部使用以上三种A1应用大模型人数的方差为s2,高 中部使用以上三种AI应用大模型人数的方差为s22,试比较&2与s22的大 小。（结论不要求证明） 19.（本小题15分) 已知函数f(x)=2√5 sinxcosx+2cos2x+m的最小值为-2. (I)求m的值； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间； (皿)若锐角△MBC满足f代)=1，求-C 的取值范围， 高一数学第5页（共6页） 20.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正 三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,E为棱PD的中点，平面ABE与棱PC交于点F, (I)求证：F为棱PC的中点； (Ⅱ)求直线BF与平面ABCD所成角的正切值， 21.(本小题14分) 如图，设A是由n×n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表，其中ay表示位于 第i行第j列的实数，且ay∈{-1，号（i=1,2,…,n；j=1,2,,n). a a12…a1n 022 am a2… a 记向量X,=(a,a2,…,am)，X,=(a,4j2,…,am), 若X,X,=am4n+aaa2+…+aman=0,则称X,与X,为正交向量. 若对任意不同的，j∈1,2，…，m,都有X与X,为正交向量，则称A为正交数表. 1)直接断4=（日4-（日 是否为正交数表（不需要说明理由）： (Ⅱ)当n=6时，设X1=(1,1,1,11,),且X2与X1为正交向量，X与X为正交 向量，求证：X2与X,不是正交向量； (Ⅲ)求证：对任意k∈N,当n=4k+2时，A不是正交数表. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高一数学第6页（共6页） 丰台区20242025学年度第二学期期末练习 高一数学参考答案 2025.07 一进择题共10小愿：每小题4分，.共40分。 题号 2 3 4 5 6 7 8 t0 答案 B A c D A A e D B 二、填空题共5小题，每外题5分，共25分。 14.5 12.4 13:平面GED(或平面GFD) 14:25,-105 49 15.①②④ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 解，(【)在△A8C中，由正弦定理 b si加4sinB 以及a=7,b=5,∠= 3， 得sin B=bsinA 55 …6分 =7之14 (I)由余弦定理z2=b2+c2-2bcco3A, 得4伊=25+e2-2x5xex宁 化简，得c2-50-24=0, 解得c=8或c=3(奢去). 所以△BC的通积3=c血A-x5x8x5=105.…l3分 2 2 1Z.(本小题14分) 证明：《1)困为三梭柱ABC4品，C为直子按柱， 所以四边形BCC马为矩形， 所以E为C的中点， 又因为D为AC的中点， 所以DB是△MCR的中位线， 即DE∥A8· 又因为DBt平面AM8B,A8c平面48B, 所以DE∥平面A4BB. …5分 (Ⅱ)选条件①： 因为BC=CC,且三棱柱ABC-AB,C为直三棱柱， 所以四边形BCC&为正方形， 所以BC⊥BC, 因为∠ACB=90°， 所以AC⊥BC. 因为三棱柱BC-A8,C为直三梭柱， 所以CC⊥平面ABC. 因为ACC平面ABC, 所以CC⊥AC. 文因为Bcncc=C, 所以AC⊥平面8CC,A. 因为BCC平面BCCB: 所以BC⊥AC. 又ACn8C-C, 所以BC⊥平面AC8: 4…14分 选条件②： 因为∠CBC=45°，且三枚柱ABC-AB,C为直三梭柱， 所以四地形BCCB为正方形.以下同选条件①. 18.(本小题4分) 解：(I)设事件D=“从全体学生中随机抽取1人，使用A1应用大棋型A”, 样本中使用A1应用大模型A的学生共有70人，样本共有60+50✉110人， 新以估计D)=0“ 707 …4分 (Ⅱ)设事件E=“这2人中至少有1人使用A1应用大模型A”, 事件F=“从初中部全体学生中随机抽取】人，使用I应用大模塑A”, 喜件G=“从高中部全体学生中随机抽取1人使用AL应用大模型A”, 则计月-贵子K回碧 所以估计P(B)=P(FO+万G+FG)=PF可+P(FG)+PUFO) P(F)P(G)+P(F)P(G)+P(F)P(G) P(F)-P(G))+(I-P(E))P(G)+P(F)P(G) =2x2+x2+x2 …】分 35353515 )2<2. …4分 19.(本小题15分) 解：(1).因为f(x)=5sh2x+cos2x++m =2sn2x+爱+l+m, 且八)的最小值为-2， 所以-2+1+m=-2, 所以m=-】. …5分 （I)由(I)知，倒-2s2x+字， ◆+2≤2x+号≤经+2版. 即背+你≤x≤爱+k, 所以网的单调遥蝴区间为-于+你爱+网化e习、…9分 (血)因为悦角△BC满是九0=1，且0=2s血2x+爱， 所以2s2A+学=l,即sn(+7=吃 又4eo孕·所以24+管停7， 所以24+普即4 3 由正弦定理， 得-C.恤B-s如C a 8i▣A 28-a0+到 28-9as n25n(8-9· 3 由△ABC为悦角三角形，得君<B<受， 所以-晋<B-号管， 即-ssin(e-<空： 所2的取值我阔为(5，. …15分 20.(本小题.15分) 解：（I)因为四边形ABCD为正方形， 所以CD∥AB. 又CDx平面ABB,ABC平面ABE, 所以CD∥平面ABB. 因为CDc平面PCD,平面ABE∩平面PCD EF, 所以CD∥EF 因为E为梭PD的中点， 所以F为梭PC的中点、 5分 (Ⅱ)取AD的中点为G,连接PG,CG,取CG的中点为H,连接H,朗， 因为△PAD为正三角形，G为楼AD的中点， 所以PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以PG⊥平面ABCD. 因为R,H分别为PC,CG的中点， 所以FH是△PCG的中位线， 所以FH∥PG,即FHA平面ABCD, 所以∠FBH为直线BF与平面ABCD所成的角， 在RIACDG中，CG=VCD2+DG2=2W5, 所以cos∠BcH=s$in LDCG=DC-5 CG 5 在△BCH中，.BH2=CH+BC-2xCH×BC×cos∠BCH=5+16-8✉13， 所以B财= 在RFBH中，FH=PGa5,