精品解析：广东汕尾市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题

2025—2026学年度高一年级第二学期教学质量监测 高中一年级数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. R D. 2. 下列各组物理量中，全部为向量的是（ ） A. 质量、位移、温度 B. 速度、弹力、加速度 C. 路程、重力、压强 D. 功、速率、摩擦力 3. 对任意的，都有恒成立，则复数是（ ） A. 实数 B. 纯虚数 C. 实部与虚部相等的复数 D. 零 4. 全集，集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知定义域为的函数满足，且当时，，，若与在的图象有且仅有一个公共点，则以下可以满足要求的k值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，，复数，在复平面内对应的向量分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 对应的点在第二象限 10. 如图，在四边形中，E，F分别为，的中点，．设，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，设，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 在上有4个零点 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则_________． 13. 某长方体工件用斜二测画法得到的水平放置的直观图如图所示．已知在直观图中，，，现要在工件外表面开浅表通槽（槽深忽略不计，槽线贴合工件表面），槽道连通一条体对角线的两个顶点，则槽道的最短长度为_________． 14. 平面内不共线的三点O，A，B满足，，且，则的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，求及的值． （2）在中，已知，是关于x的方程的两个实根，求C． 16. （1）已知函数，，判断的奇偶性． （2）是奇函数，求的值，并判断函数的单调性． 17. 如图，已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A． （2）若，且，求的面积． （3）在（2）的条件下，设D为的中点，求的长度． 18. 如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面内任意一点，在平面内过点E画一条直线l，使得． （1）为使得，请简要写出作图步骤，并证明所作直线． （2）已知，．若点E在上，且，点M在上，且．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点和M，且水面与直线l平行．设水面与平面的交线为m，求异面直线l与m所成角的余弦值． 19. 如图，设，是平面内相交角为的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）向量在方向上的投影为，在方向上投影为2，求． （2）已知，，存在实数，满足． ①求，． ②记，求证：，不可能与垂直． （3）若，在正半轴上，在正半轴上，，，F为的中点，M为的中点，N为的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一年级第二学期教学质量监测 高中一年级数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. R D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 2. 下列各组物理量中，全部为向量的是（ ） A. 质量、位移、温度 B. 速度、弹力、加速度 C. 路程、重力、压强 D. 功、速率、摩擦力 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，质量和温度只有大小没有方向，属于标量，故A错误； 对于B，速度、弹力、加速度均同时具有大小和方向，属于向量，故B正确； 对于C，路程和压强只有大小没有方向，属于标量，故C错误； 对于D，功和速率只有大小没有方向，属于标量，故D错误. 3. 对任意的，都有恒成立，则复数是（ ） A. 实数 B. 纯虚数 C. 实部与虚部相等的复数 D. 零 【答案】A 【解析】 【详解】设， 则， 若，则， 即，化简得， 所以，所以且， 因为对任意的，都有恒成立，所以时，且， 所以，所以复数是实数. 4. 全集，集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，集合是全体实数集，即所有虚部为0的复数构成的集合； 就是所有虚部不为0的复数构成的集合. ，， ，解得. 5. 已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，若，，根据面面平行的性质，可以推出，而不是，故选项A错误； 因为，所以两个平面没有公共点，又，，所以直线与直线平行或异面，故选项B错误； 对于选项C，根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选项C正确； 对于选项D，若，，则或，故选项D错误. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，因为余弦函数是偶函数， 则， 又根据诱导公式：，则， 又，则， 由半角公式可得：， 根据诱导公式并代入数值得：，A正确. 7. 已知定义域为的函数满足，且当时，，，若与在的图象有且仅有一个公共点，则以下可以满足要求的k值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知，，，令，，可得与在的图象有且仅有一个公共点，结合图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：，， 令，可得，即； 令，可得，即， 可知函数为定义域为的奇函数， 可得，，， 依次类推：可得，， 又因为，， 综上所述：，， 当时，令，可得，即， 对任意有理数，，且，可得， 所以，. 因为与在的图象有且仅有一个公共点， 令，，可得与在的图象有且仅有一个公共点， 令，即，令，解得， 此时的解为，即与切于点， 由图象可知：，结合选项可知ABD错误，C正确. 8. 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，，复数，在复平面内对应的向量分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 对应的点在第二象限 【答案】AB 【解析】 【详解】由题意得，，则，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，对应的点在第四象限，故D错误. 10. 如图，在四边形中，E，F分别为，的中点，．设，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由图形结合向量加减法结合题设可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，如图取中点为，连接，则，故C正确； 对于D，，题目条件中未提及 ，则选项所涉等式不一定相等，故D错误. 11. 已知函数，设，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 在上有4个零点 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，再利用积化和差公式对展开化简，利用余弦函数周期性判断选项A；利用函数单调性，判断选项B；根据零点的性质，判断选项C；利用余弦函数值域判断选项D． 【详解】，则， ， 选项A：的周期为，故A正确； 选项B：当时，，则在递减， 在递增，故在内先单调递减，后单调递增，故B错误； 选项C：令，则，解得， 在上有，共4个零点，故C正确； 选项D：的最大值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则_________． 【答案】2 【解析】 【详解】由余弦定理得：，即， 化简得：，解得（舍去）. 13. 某长方体工件用斜二测画法得到的水平放置的直观图如图所示．已知在直观图中，，，现要在工件外表面开浅表通槽（槽深忽略不计，槽线贴合工件表面），槽道连通一条体对角线的两个顶点，则槽道的最短长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原长方体实际尺寸，要找体对角线顶点在表面的最短距离，需将长方体表面展开，计算三种展开方式的直线距离，比较即可. 【详解】根据斜二测画法可知，长方体实际长度，实际宽度，实际高度. 将长和宽所在面展开：， 将长和高所在面展开：， 将宽和高所在面展开：， 因为，所以槽道的最短长度为. 14. 平面内不共线的三点O，A，B满足，，且，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用向量运算法则变形模长等式，两边平方，结合的条件，可求出的值.利用已知的，结合点积公式，求出，再通过同角三角函数的基本关系求.最后使用三角形面积公式计算的面积. 【详解】设的夹角为， 由得：. 可得，化简得，解得. 又因为，所以， 可得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，求及的值． （2）在中，已知，是关于x的方程的两个实根，求C． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式即可求解； （2）由韦达定理，结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 由①②得，由①②得； （2）依题意得，， 由两角和的正切公式得， 因为，所以， 又因为，所以． 16. （1）已知函数，，判断的奇偶性． （2）是奇函数，求的值，并判断函数的单调性． 【答案】（1）为偶函数；（2），在上单调递增 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的判断方法直接判断即可； （2）根据奇函数性质即可求出参数的值，然后利用定义法判断函数单调性. 【详解】（1）依题意，得，解得， 故的定义域为， 令，即， 则， 所以为偶函数，即为偶函数． （2）因为，所以函数的定义域为， 又因为为奇函数，所以， 即， 解得. ，且， 则． 因为，所以，，，故， 即，所以在上单调递增． 17. 如图，已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A． （2）若，且，求的面积． （3）在（2）的条件下，设D为的中点，求的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合角A的范围运算求解； （2）利用余弦定理可得，即可得三角形面积； （3）解法一：可得，可知为等边三角形，即可得结果；解法二：可得，根据数量积求模长即可；解法三：可得，利用余弦定理运算求解；解法四：根据中线长定理可得，直接代入求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又因为， 即， 可得， 又因为，则，可得，即， 因为，则， 可得，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得，即，可得， 所以的面积． 【小问3详解】 解法一：因为，解得，可知为等边三角形， 又因为D为的中点，则； 解法二：因为， 则， 所以，即； 解法三：因为，即， 整理可得，所以； 解法四：根据中线长定理可得， 即，解得． 18. 如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面内任意一点，在平面内过点E画一条直线l，使得． （1）为使得，请简要写出作图步骤，并证明所作直线． （2）已知，．若点E在上，且，点M在上，且．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点和M，且水面与直线l平行．设水面与平面的交线为m，求异面直线l与m所成角的余弦值． 【答案】（1）如图，连接，在平面内过点E作直线l垂直于（或作直线），l即为所求 证明：在长方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，在平面中过点作直线垂直于，然后应用线面垂直判定定理证明平面， 进而得出； （2）应用向量平行得出异面直线所成角，再结合相似三角形得出边长应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记水面所在的平面为平面． 由E是上的点，且， 故直线l即为的中位线所在的直线． 如图，令，因为点M在上，且，则有，故平面即为平面， 延长交延长线于点P，连接，， 故直线即为平面与侧面的交线m， 所以直线与直线所成的角，即为异面直线l与m所成的角． 由，， 可得，， 由，得，所以， 由，得，所以， 又因为，可得，， 所以， ， 连接，， 所以，， 所以，即， 所以，故异面直线l与m所成角的余弦值为． 19. 如图，设，是平面内相交角为的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）向量在方向上的投影为，在方向上投影为2，求． （2）已知，，存在实数，满足． ①求，． ②记，求证：，不可能与垂直． （3）若，在正半轴上，在正半轴上，，，F为的中点，M为的中点，N为的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2）①； ②由①得， 所以， 若与垂直，则，即，解得． ，，故不可能与垂直 （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义以及投影向量的公式计算； （2）①由新定义计算；②根据证明； （3）利用得出，再求出各点的坐标，利用新定义得出，记，在中利用正弦定理以及辅助角公式化简，结合三角函数求最值. 【小问1详解】 由，即， 因为，分别为，同向的单位向量，与的夹角为， 所以， 因为在方向上投影为2，所以，解得． 【小问2详解】 已知，，， 由题意知，，，则， ①由，得，得； ②略 【小问3详解】 因为，所以， 故， 即①， 由，得，由F为中点，得， 由N为中点，得，由M为中点，得， 所以，， 故， 由①，得， 在中，由正弦定理：， 记，所以，， 即，， 故，其中 所以， 又，，故，所以， 故当时，取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $