精品解析：山东省实验中学2025级科学营期末考试数学试题（三班）（2025.7.9）

山东省实验中学2025级科学营期末考试（三班） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题“”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 7. 已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的最小正周期为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 12. 已知，则__________. 13. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 14. 已知实数满足，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）； （2）. 17. 某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由. 18. 设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在R上的函数的图象关于点中心对称，且当时， ，求的值; （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明; （3）已知函数，其中，若正数满足，且不等式恒成立，求的取值范围 19. 对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数． （1）证明：的定义域为； （2）若在上仅有一个不动点，求实数a的取值范围； （3）若在区间上有两个不动点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2025级科学营期末考试（三班） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算法则求解即可. 【详解】解：， ， 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数的意义，则且，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：D 3. 用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二分法可知，连续函数在区间上满足，则函数在区间上存在零点. 【详解】令，则， ， ， ， ， 故选：B. 4. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得. 【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增， 故有，解得. 故选：D. 5. 已知命题“”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由其否定为真命题，通过一元二次不等式恒成立求解即可； 【详解】由命题“”为假命题， 可得“”为真命题， 所以， 解得：， 故选：C 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 7. 已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 8. 已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的最小正周期为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，进而，然后根据周期的定义结合条件即得. 【详解】因为， 所以， 即对任意成立， 令则， 得：， 由可得对任意成立， 即对任意成立， 则，即对任意成立， 则为的一个周期； 若为的一个周期，即，则， 整理得，又因为， 所以这与为定义在R上的非常数函数矛盾， 所以不是函数的周期. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据代入特殊值法，可判断A和C，根据不等式的性质可判断B，根据幂函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，，，可得且，，即，故B正确； 对于C，举反例，时，，故C错误； 对于D，因为在上为增函数，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可判断A；再利用基本不等式即可判断BCD. 【详解】因为， 所以，则， 对于A，，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 又，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 设，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设，得出函数为偶函数，从而有，因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得，可得选项. 【详解】令，则的定义域为， 有， 故为偶函数，则，故A错误； 必有一解为0，则，即， ①当时，因时，，故，当且仅当时取等号； ②当时，在上递增，， 由可得，即解得， 又在上递增，，即，解得， ，故C、D正确，B错误. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合知识，关键点在于构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 12. 已知，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据分式方程的解法计算可得. 【详解】， 去分母可得，解得或， 经检验或均使最简公分母不为，所以或为方程的解. 故答案为：或 13. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 14. 已知实数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由指数和对数的运算性质将等式化简成同构模式，再构造函数，利用导数分析单调性可得，再由对数的运算化简可得. 【详解】由题意可得，即， 两边同时取对数可得，即. 由可得， 即， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 而， 所以，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解； （2）由充分条件建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 故的两根为，且， 故； 【小问2详解】 由题意集合，，由于， 则. 16. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可得答案； （2）利用对数的运算性质可得答案. 【详解】（1） ； （2） . 17. 某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由. 【答案】（1）120 人 （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，得出，再用已知条件得出结果； （2）由条件②得，由条件③得，假设存在满足上述条件，则上述两个不等式恒成立，求出即可. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元， 则 ， 整理得 ， 解得 ， 因为 且， 所以 ， 故， 所以调整后的研发人员的人数最少为 120 人； 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 ， 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少， 得 ， 解得 假设存在这样的实数， 使得技术人员在已知范围内调整后， 满足以上两个条件， 因为 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立， 所以 ，又因为（），所以. 所以. 18. 设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在R上的函数的图象关于点中心对称，且当时， ，求的值; （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明; （3）已知函数，其中，若正数满足，且不等式恒成立，求的取值范围 【答案】（1），1； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对称中心的定义列式，再赋值计算即得. （2）写出对称中心，再利用定义推理证明. （3）求出函数的对称中心，进而求出和得，对恒成立的不等式分离参数，放缩并利用基本不等式求出最小值即可得范围. 【小问1详解】 由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，而当时，，于是， ，所以. 【小问2详解】 函数的对称中心为， ， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 函数，， 则函数的对称中心为， 记， 则， 于是，即，依题意，，为正数， 不等式恒成立， 而 ，当且仅当，即时取等号，则， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 19. 对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数． （1）证明：的定义域为； （2）若在上仅有一个不动点，求实数a的取值范围； （3）若在区间上有两个不动点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 由题意知，，即， 整理得，又， 所以对于恒成立， 故的定义域为R. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的概念可得，整理得，结合指数函数的图象与性质即可证明； （2）由新定义知有一个解，利用换元法可得方程有一个解，分类讨论的取值情况即可求解； （3）由新定义，方程在上有两个解，设，则，解之即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在R.上仅有一个不动点， 即方程有且仅有一个解， 将等式变形为， 令，则方程变形为， 整理得①， 令，则在上单调递增，所以. 方程①可化为， 当时，，即，整理得，由解得； 当时，方程有一个根，则，解得， 此时，解得，即，整理得，由解得. 综上，. 【小问3详解】 在上有两个不动点， 由（2）知，当时，，则， 所以方程在上有两个解， 设，则，即， 解得，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $