山东济南市2025-2026学年高一下学期7月期末学情检测数学试题

2026年春季学期高一期末数学 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 3 4 5 6 7 8 答案 D A A D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2: . 14.13元； 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 （1)由频率分布直方图可得，10×(0.010+2a+0.025+0.030+0.050)=1, 解得a=0.015 所以6组数据[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05， 所以前3组的频率之和0.1+0.15+0.15=0.4<0.5， 前4组的频率之和0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5， 故中位数在区间[70,80)内.设中位数为x,由 04030xx70=05,得到x=.因此，中位数为2四 3 (2)根据频率可得，分数在[80,90)，[90,100]的两组志愿者分别有25人，5人，故按照 分层抽样，抽得的[80,90)志愿者人数为5，分别设为a,b,c,d,e,[90,100]志愿者人 数为1，设为f. 这6人中选出2人，样本空间为 2={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f)(b,c),(b,d)(b,e), -1 (b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)}, (2)=15, 设选出的两人来自同一组为事件A,则 A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e n(0=10, 故选出的两人来自同一组的概率为P(4)=15号 102 16.【解析】 (1)由条件可得z+z2=a2-4+(a-2)i,若z1+z2是纯虚数， 则满足 a2-4=0 ,解得a=-2. a-2≠0 (2)由（1)知z2=-2-3i,所以z·z2=(2-i)(-2-31)=-7-4i, 得到z·22的共轭复数为云·z=-7+4i. (3)由(1)知名+z2=-4i,根据模的计算公式得|2，+z2=4,即|a,+2P=16. 又因为a-22=4+2i,根据模的计算公式得z,-2=25，即1云-2，P=20. 所以川名+22P-|31-222=-4. 17.【解析】 解：(1)由a:b:c=3:√3：4，可设a=3k,b=13k,c=4k, cosB-a+o-b2(3k)+(4k)-(3k)1 2ac 2×3k×4k 因为B∈(0，元)，所以B= 3 (2)因为ccosA+acosC=2W13, 所以 cx +c2-心+ax。+b-c=2B, 2bc 2ab 解得b=23.又因为a:b:c=3:3:4, 所以a=6,c=8. 因为SMBC=SMBD+SACBD, -2- 所以，acsin B=& 2 BD.sin 2 BD.sin 22 2 即)x6x8x5_1x ×8×BDX三+ 22 x6×BD×2 1,1 22 解得BD= 24V5 7 4 (3)由角平分线定理得AD=DC, 3 所以AD=8 3,CD-6/3 7 在△ABD中， 83+245-8 COs∠ADB= DA+DB-AB2 7 39 2·DA·DB 2×8iE×24V5 26 X 7 7 所以AC.BD=11os∠ADB=25×24W5×B_-2 -X 7 26 7 18.【解析】 (1)取PA中点L,连接EL,LF, 由题意可知，LF∥AB,且LF=AB, 2 ELe==E 又因为EC∥AB,且EC=AB, D 2 则LF∥EC,且LF=EC,则四边形ECFL是平行四边形， 则LE∥CF, 又因为LEc平面PAE,CF丈平面PAE, 所以CF∥平面PAE. (2)(i)取AE中点H,连接PH, 由题意可知，△PAE中，PE=PA=2,∠APE=T 所以PH=√2. 设四棱锥P-ABCE的高为h,则h≤PH=√2. 因为Sas=Sow-Sae=6,4as=号Saeh=25, 所以求得h=√2，即PH=h,所以PH⊥平面ABCE, 因为BEc平面ABCE,所以PH⊥BE. -3- 由题意可知，△ABE中，AE=BE=2N2,AB=4, 所以AE2+BE2=AB2,所以BE⊥AE, 又因为PH∩AE=H,所以BE⊥平面PAE. (ii)记直线PA与平面PBC所成的角为O,点A到平面PBC的距离为d, 则sin0= dd PA2 因为S4BCE=6,S△MBc=4, 42 所以Vc=Vp-Bc=p-ABcE全3】 D 取BC中点G,连接HC,HG,HB, 由题意可知△GC为直角三角形，且∠HGC=子，HG=3，CG=1, 所以HC=√10， 又因为PH⊥平面ABCE,所以PH⊥CH, 因为PH=√2，所以PC=25,同理PB=2√5， 因为BC=2,可得SAPRC=Vi, 因为x青xd= 2,所以d=4 11 所以s血0-号2匠，即直线PH与平面PC所成的角的正浓值为2区 211 11 19.【解析】 √2 (1)(i)am8,= 1,-π<4≤，解得8-年6=2+2=2 (ii)由(i)知：甲初始位置位于点S(反，V2),6=元 4 若机器人甲按照指令(2r,)继续移动，则∠OST=π+0， 若机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令(r,-无) 移动，则 12 在△Os7中，由余弦定理知：c0s+9=4+2>0,所以c0s0<0 2×2×2r 2r r 由正弦定理知： sin sin(r+0,解得：sin0=-V5 4 cos0=-Vf3 3 4 4 (2)(i)指令(，A)即(2，匹)，第一次执行指令(2，)，移动到点(2，√2)； 第=次执行指令(2，骨，移动到点(5+2cas至2+2sin头=(55+2： A 第三次执行指令(2，孕，移动到点（5+2os经万+2+2n孕=025+2： 即M点坐标为(0,2√2+2)； (ii)第i次执行指令(i,2),即在第i-1次的基础上横坐标增加ic0 nn 3, 纵坐标增加 3 isin 2m 3, 则N点横坐标为1co 2元+2cs +3c0s- 6元 2×99元 -+.+99cos 3 3 (lcos2cos+3cos2)+(4coscos+6cos2+(97cos 3 3 3 +98c0 3 4+99cos2) 3 =+3+=x 3、39999 2 2232 则N点纵坐标为lsi 2元+2sin n3sin 9sin2x9 3 3 3 =(1sin2π+2sim4红+3sin2m)+（4sin2π+5si 3 3 3 n经+6sin2n网++(97sm2号+98sm经+9sn2刘 3 3 23 2 即w学5 所以点N到原点0的距离为oNy学+（手=3后 -5绝宙★启用井使用完丰前 2026年春季学期高一期末学情检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分、考试用时120分钟. 注意事项！ 1.答卷前，考生分必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 工.回答选择遐时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应愿目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本 试爸上无效， 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的· 1,在复平面内，复数2中对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.岸本数据4,4,5,5,6,7,7,7,8,8的60%分位数为 A.5 B.6 C.7 D.8 3.己知向量a=(3,m),b=(-2,4),若a∥b,则实数m= A.6 c D.6 4.己知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个致的方差为 A.2 B.25 C.4 D.5 5.在△4BC中，4B=2,C=25,∠BAC=,以边BC所在的直线为旋转轴， 另外两边旋 2 转一周形成的曲面围成一个旋转体，则该族转体的体积为 A.2√5m B.B3it C.4π D.12元 3 高一数学试题第」页（共4页） 6.为测量河对岸某信号塔的高度，选取与塔底B在同一水平面上的两个观测点C和D,现测得 CD=100米，在C点测得塔顶A的仰角为45，在D点测得塔顶A的仰角为30，且∠CBD=30°， 则信号塔AB的高度为 A50米 B.100米 C.100√5米 D.200米 7.在正方体ABCD-AB,CD中，E,F分别是AB,AD中点，则异面直线DF和AE所成角 的余弦值为 A.0 10 a号 C.v30 10 8.已知向量a在单位向量e上的投影向量为-e,且|a=4,|b-(a+e)川=2，则Y2eR, |2e-b1的最小值为 A.2W5-2 B.√3-2 C.5-2 D.25 二、选择愿：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是 A.抛掷10次，事件“正面朝上”发生的次数可能是10 B.抛掷2次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥 C.抛掷2次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为 D.抛掷2次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立 10.已知/，m,n是三条不同的直线，a,B是两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若1∥m,m∥a,则1∥a B.若I⊥a,m⊥B,a⊥B,则1Lm C.若1∥a,1∥B,a∩B=m,则1∥m D.若m⊥a,n⊥a,I与m,n都相交，则l∥a 1山.已知圆O的内接四边形ABCD,AB=AD=2,BD=2√5，AC与BD交于点M,则下列说 法正确的是 A.ZAC8- B.若AC=2+D,则MC=4 C.若DC=1D+μDB,则入+3μ的最大值为3 D.若AC=压，则四边形ABCD的面积为5 高一数学试恩第2页（共4页） ””””” 器扫描全能王 富然额3证人想在用的日撞Ae 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.挪一枚质地均匀的般子，记A=“向上的点数是1或3”，B=“向上的点数是1或5”， 则P(AUB)= 13.己知la=l,1b口5，且l2a+b仁3，则向量a与b的夹角为 14. 三校维P-ABC中，平面PABL平面ABC,PB=AB=二PA=5,∠AC8=, 3 梭锥P-ABC外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 2026济南马拉松拟于10月18日举行，组委会为此进行志愿者的选拔面试工作.现随机抽取 了100名候选者的面试成绩并分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70.80)，[80,90)，[90,100]， 画出如图所示的颜串分布直方图. 氛毕 组距 0.030 0.025 0010 0.005 0 405060705090100w分 (1)求a的值，并估计这100名候选者面试成锁的中位数： (2)若根据各组颍岸的比例采用分层抽样的方法，从成绩在[80,90)，[90,100]内的志愿者 中共抽取6人，再从这6人中采用简单随机抽样的方法选出2人作为队长，请用适当的符号表示 抽样的可能结果，列出其样本空间，并求选出的两位队长来自同一组的概率 16.(15分) 已知复数3=2-i,3=a-6+(a-1)i(aeR),且3+3是纯虚数 (1)求a: (2)求： (3)求1+--：广的值 高一数学试恩第3页（共4项） 17.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a:b:c=3:V3:4. (1)求B: (2)若∠ABC的角平分线交AC于点D,且acosC+ccosA=2W3 (iD求BD: (i)求AC.BD的值. 18.(17分) 如图，已知矩形ABCD,AB=4,AD=2,E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，使得 点D到达点P的位置，并连接PB,PC. (1)若PB的中点为F,证明：CF∥平面PAE: (2)若四棱锥P-ABCE的体积为2√2. (i)证明：BE⊥平面PAE: (i)求直线PA和平面PBC所成角的正弦值. 19.(17分) 2026年中央电视台春节联欢晚会上，人形机器人化身孙悟空，身披战抱威风十足根据指令 (”,)(≥0，一π<B≤π)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度0（按逆时 针方向旋转时日为正，按烦时针方向旋转时日为负)，再朝其面向的方向沿直线行走距离r, (1)已知机器人甲位于平面直角坐标系的坐标原点O,且面向x轴正方向，机器人甲执行1 次指令（后，8），移动到点（巨，√互）。 ()求6，。的值： ()机器人甲按照指令(2r,)继续移动，机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向， 按照指令（一合移动。两机器人恰好移动到同一点了，求c如s0的值： (2)己知机器人丙位于平面直角坐标系的坐标原点O,且面向x轴正方向. ()若机器人丙连续执行3次(1)中的指令（后，8），移动到点M,求点M的坐标： （)若机器人丙依次执行9次指令，第次执行指令，孕，其中=1.2,3…，99， 移动到点N,求点N到原点O的距离. 高一数学试题第4页（共4页） C③扫描全能王 然察a证人整在用的日集Ap