江苏省南京市东山高级中学2024-2025学年高三下学期二模模拟数学试卷

2024-2025学年高三下学期南京东山高级中学二模模拟数学试卷 一、单选题 1．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（    ） A．16 B．17 C．23 D．24 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．9 D． 4．已知向量，，则向量在向量上的投影是（    ） A． B． C． D． 5．设函数，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（    ） A．9寸 B．7寸 C．8寸 D．3寸 7．在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D．3 8. 已知，则的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．是周期函数 C．在单调递减 D．的图像关于直线对称，但不关于点对称 10．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是 A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 11．已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C． D． 三、填空题 12．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是 . 13．已知平行六面体中，各棱长均为，，则四棱锥的体积为________. 14．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为_______. 四、解答题 15．已知中，，， (1)求； (2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，． (1)求，，； (2)求数列的前n项和． 17．如图，已知在平面四边形中，，，，现将沿翻折到的位置，使得.    (1)求证：平面平面； (2)点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置. 18．如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若. (1)求点的轨迹的方程； (2)若椭圆上点处的切线方程是， ①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19．已知函数. (1)讨论的极值点个数； (2)若有两个极值点，直线过点. （i）证明：； （ii）证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三下学期南京东山高级中学二模模拟数学试卷 一、单选题 1．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（    ） A．16 B．17 C．23 D．24 【答案】C 【解析】由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据， ，所以分位数为. 故选：C． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴，故选C. 3．等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．9 D． 【答案】C 【解析】由等比数列下标和的性质可得：， 等比数列的各项均为正数，， . 故选： 4．已知向量，，则向量在向量上的投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量，，得， 则向量在向量上的投影为. 故选：A. 5．设函数，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：因为，所以为偶函数， 所以， 当时，在上为增函数， 因为，， 所以， 因为在上为增函数， 所以， 所以， 故选：A 6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（    ） A．9寸 B．7寸 C．8寸 D．3寸 【答案】D 【解析】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为寸， 则盆中水体积为（立方寸） 所以平地降雨量为（寸）， 故选：D． 7．在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，    设球的半径为，则，设，， 则，， 则在△中，， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，所以， 所以该三棱柱的侧面积为. 故选：B. 8. 已知，则的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】 【解析】设点是函数图像上的点，点是直线上的点，则，所以，因为，设函数在点处的切线与直线平行，则，解得，则点，所以的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为2，故选 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．是周期函数 C．在单调递减 D．的图像关于直线对称，但不关于点对称 【答案】BCD 【解析】对于A，． 因为，且， 所以的值域是，A错误． 对于B，的定义域且， 对任意恒有，B正确． 对于C，在有意义， 当时，， 所以在单调递减，C正确． 对于D，， 的图象关于直线对称，且的定义域关于对称， 所以的图像关于直线称． ， 的图象关于点对称， 但的定义域不关于点对称， 所以的图象不关于点对称，D正确． 故选：BCD． 10．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是 A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】AD 【解析】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，方程即为，它表示圆， 综上，选AD. 11．已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】BCD 【解析】由的图象关于直线对称，则， 即，所以， 即，则，即的图象关于直线对称， 由，可得，又， 所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，即，即函数的周期为， 由，可得，因为的周期为， 所以， 则，即， 所以的图象关于点对称，故B正确； 因为的图象关于直线对称，则，所以， 所以， 因为的周期为4，所以的周期也为4.由， 可得，所以，故C正确； 由，可得， 所以，即， ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以. 由. 故答案为： 13．已知平行六面体中，各棱长均为，，则四棱锥的体积为________. 【答案】 【解析】 四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为 14．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为， 所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 四、解答题 15．已知中，，， (1)求； (2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意， 又，故，而， 且，所以， ，所以或（舍）， 故，且，则，，故. （2）不妨取，则，，    . 16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，． (1)求，，； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，，10507 (2). 【解析】（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．当时，，所以 当时，，所以， ，两式相减可得，， ∴ ； （2）由（1）可知，， 设， 当时，数列的前项和为28， 当，数列的前项和为， 设         ， 两式相减得， ， 解得：， ， 所以，， 所以. 17．如图，已知在平面四边形中，，，，现将沿翻折到的位置，使得.    (1)求证：平面平面； (2)点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是线段上靠近点的三等分点 【解析】（1）取线段的中点，连接    在中，因为，所以，. 在直角中，，故. 故，所以，从而，即. 又，平面，，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系（如图）.    由题意可得，，，. 因为点是棱上点，设，则可得点. 设平面的法向量，又，， 所以， 取. 因为平面，故可取平面的法向量， 设二面角大小为，则， 则，整理得，解得（舍去）或， 所以点是线段上靠近点的三等分点. 18．如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若. (1)求点的轨迹的方程； (2)若椭圆上点处的切线方程是， ①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在实数 【解析】（1）解：据题意，， 从而可得， 由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆， 所以所求的椭圆的方程为. （2）解：①设切点坐标为，直线上的点的坐标， 则切线方程分别为， 又两切线均过点，即， 从而点的坐标都适合方程， 而两点之间确定唯一的一条直线，故直线的方程是， 显然对任意实数，点都适合这个方程，故直线恒过定点. ②将直线的方程，代入椭圆方程，得， 即， 不妨设， 同理. 所以 故存在实数，使得. 19．已知函数. (1)讨论的极值点个数； (2)若有两个极值点，直线过点. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】（1）因为定义域为，且， 当时，恒成立， 在上单调递增，极值点个数为； 当时，对于函数，， 所以恒成立， 所以在上单调递增，极值点个数为； 当时，由得，或， 由得，或；由得，. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 所以为极大值点，为极小值点，极值点个数为. 综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2. （2）（i）由（1）知，，不妨设， 则，， 所以， 要证成立， 只需证明， 只需证明， 令，则， 所以在上单调递减， 所以， 所以成立. 所以. （ii）由得， 要证成立， 只需证明， 因为， 所以只需证明， 只需证明， 只需证明，即， 因为成立，所以成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $