江苏省镇江市句容市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年高一下学期南京市句容期中考试数学试卷 一．单选题 1．直线的倾斜角为　　 ． ． ． ． 2．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是　　 ．若，，则 ．若，，则 ．若，，则 ．若，，则 3．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是　　 ． ．评分的众数估值为70 ．评分的第25百分位数估值为 ．评分的平均数估值为76 4．一组样本数据，，，，的平均数为，标准差为3．另一组样本数据，，，，，的平均数为，标准差为，则　　 ． ． ． ． 5．已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则　　 ． ． ． ． 6．直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为　　 ． ． ． ．或 7．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1，2，3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1，2，3，4，5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1，2，3，4，5，6，7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，2，，则为奇数的概率是　　 ． ． ． ． 8．在锐角三角形中，已知，则的最小值是　　 ． ． ． ． 二．多选题 9．已知，，，则下列不等关系一定正确的是　　 ． ． ． ． 10．在复平面内，复数对应的向量分别为，则　　 ．若，则 ．若，则 ．若，则 ．若，则 11．已知三棱锥中，，，，分别是，的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是　　 ．直线与是异面直线 ．当时，三棱锥体积为 ．的最小值为 ．三棱锥外接球的表面积 三．填空题 12．已知事件与相互独立，，，则　 　 ． 13．如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为　 　 ． 14．已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为　 　 ． 四．解答题 15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，____？ 16．甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为． （1）求，； （2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率． 17．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 18．如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，，市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中，都在边上（，不与，重合，在，之间），且． （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期南京市句容期中考试数学试卷 一．单选题 1．直线的倾斜角为　　 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：直线的斜率为， 则， 直线的倾斜角，， 则． 故选：． 2．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是　　 ．若，，则 ．若，，则 ．若，，则 ．若，，则 【答案】 【解答】解：选项若，，则或相交或异面；所以错误； 选项，若，，则或相交；所以错误； 选项，若，，则或，所以错误； 选项，若，，则；所以正确； 故选：． 3．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是　　 ． ．评分的众数估值为70 ．评分的第25百分位数估值为 ．评分的平均数估值为76 【答案】 【解答】解：根据题意可得，解得，所以选项错误； 评分的众数估值为，所以选项错误； 因为前2组的频率依次为， 所以评分的第25百分位数估值为，所以选项正确； 所以评分的平均数估值为，所以选项错误． 故选：． 4．一组样本数据，，，，的平均数为，标准差为3．另一组样本数据，，，，，的平均数为，标准差为，则　　 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：因为， 所以， 则， 因为， ， 又， 所以， 解得， 则，． 故选：． 5．已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则　　 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：因为为的中点，， 因为，，三点共线，可得，解得， 即， 又因为△是边长为6的等边三角形， 所以 ． 故选：． 6．直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为　　 ． ． ． ．或 【答案】 【解答】解：根据题意，直线与轴、轴分别交于，两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图：设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：． 7．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1，2，3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1，2，3，4，5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1，2，3，4，5，6，7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，2，，则为奇数的概率是　　 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成， 第一步从第一个盒子中取一张卡片，有3种方法， 第二步从第二个盒子中取一张卡片，有5种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有7种方法， 由分步乘法计数原理可得共有种方法， 事件为奇数等价于，，都为奇数或，，中有一个为奇数，两个为偶数，其中事件，，都为奇数包含个基本事件，即24个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即12个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即9个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即8个基本事件， 所以事件为奇数包含的基本事件数为，即53个基本事件， 所以， 故选：． 8．在锐角三角形中，已知，则的最小值是　　 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：在三角形中，易得：， ，解得，所以 ，当且仅当等号成立 故选：． 二．多选题 9．已知，，，则下列不等关系一定正确的是　　 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：对于，令，则，所以， ，故，故错误； 对于，因为，所以，因为，所以， 因为，所以，所以，故正确； 对于选项，、，，则， 且函数在上为增函数，所以， 故，因为， 则，故，故，对； 对于选项，， 因为，则，故， 故，即，对． 故选：． 10．在复平面内，复数对应的向量分别为，则　　 ．若，则 ．若，则 ．若，则 ．若，则 【答案】 【解答】解：令，则； 若，则，故选项正确； 若，则，而，故选项错误； 若，此时两个复数中至少一个为0，则；故选项正确； 若，则若，则，故选项错误 故选：． 11．已知三棱锥中，，，，分别是，的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是　　 ．直线与是异面直线 ．当时，三棱锥体积为 ．的最小值为 ．三棱锥外接球的表面积 【答案】 【解答】解：平面，平面，平面，，直线与是异面直线，故正确； 三棱锥中，，， 三棱锥对棱相等，故可将其补形为一长方体，如图所示， 设，，，则，，，， 三棱锥体积为， 三棱锥体积为，故错误； 设三棱锥外接球的半径为， 则， 三棱锥外接球的表面积，故正确； 把三角形与三角形沿展开到一个平面内， 由余弦定理可得，， ， 由余弦定理可得，． 的最小值为，当，，在一直线上时取最小值． 故选：． 三．填空题 12．已知事件与相互独立，，，则　 　 ． 【答案】 【解答】解：因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：． 13．如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：过作，连接， 因为为圆台的轴截面， 所以平面平面， 因为平面平面， 平面，所以平面， 所以直线与平面所成的角即， 因为，且， 因为，即， 解得， 则，， ， 所以． 故答案为：． 14．已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为　 　 ． 【答案】 【解答】解：利用几何意义和对称性，当和夹角为时，数量积的最大值对应于，此时，通过计算可得最大值为 故答案为：． 四．解答题 15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，____？ 【答案】选①．选②．选③三角形不存在． 【解答】解：若选①． 中，，即， ， ， ， ，，． 若选②． 中，， ． ，即， ． ， ． 若选③， ，即， 又， ， 与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在． 16．甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为． （1）求，； （2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率． 【答案】（1），；（2）． 【解答】解：（1）由题意可得，， 解得，， 所以，是方程的两个实根， 又， 解得，； （2）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件， ，分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件， 则， ， ， ， 设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件， 由题意， ． 17．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】见解析 【解答】证明：（1）取中点为，连结，． ，，为，，的中点， ，． 四边形为平行四边形，． 又平面，平面，平面． 解：（2）连结，， ，且为中点 ． 侧面底面，底面． 由（1）知平面． ． 18．如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，，市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中，都在边上（，不与，重合，在，之间），且． （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 【答案】（1）．（2）见解析 【解答】解：（1）在中，其中，，， ，， 在中，， （2）设，， 在中，，， 在中，，， ， ，时，的面积最小，最小值为． 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，和 【答案】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 学科网（北京）股份有限公司 $$