2025年江苏省无锡市锡山区二泉中学中考数学四模试卷

2025年江苏省无锡市锡山区二泉中学中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.函数中自变量x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.剪纸是我国最古老的民间艺术之一.下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 5.一组数据：5、5、6、4，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6.在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的(    ) A. 三条高的交点 B. 内心 C. 外心 D. 重心 7.《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，点D在BC上，若，，则AD的长度为(    ) A. B. C. D. 4 9.已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和具有性质以下函数和具有性质P的是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10.如图，在中，，，D是BC边上一点，且是BA延长线上一点，连接ED交AC于点F，若，则EF的长度为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约380000km的地月之间完成月壤样品的“空中接力”.数据380000用科学记数法表示为          . 12.分解因式：          . 13.命题“如果，那么”的逆命题是______命题填“真”或“假” 14.分式方程的解是______. 15.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为、弧长为的扇形，则该圆锥的母线长为______. 16.如图，AB是的直径，点C在AB的延长线上，CD与相切于点D，若，则______ 17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图象上，轴于点C，，将沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为______. 18.如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转得DF，连接AE、CF，当点A、E、O三点共线时，______，线段 OF长的最小值为______. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算： ； 20.本小题8分 解方程：； 解不等式组 21.本小题10分 已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、求证：≌； 若，求证： 22.本小题10分 学校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 不完整的统计表： 读时间x 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，45，55，45，40 结合以上信息回答下列问题： 统计表中的______. 统计图中B组对应扇形的圆心角为______ 阅读时间在范围内的数据的众数是______，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是______. 根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数. 23.本小题10分 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”.将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀. 从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是______； 甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签不放回，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，利用列树状图或画表格的方式求甲取胜的概率. 24.本小题10分 在中， 请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E，使；不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，，则CD的长为______. 25.本小题10分 阳春三月，又到了一年最美樱花季，鼋头渚某商家借机推出新款樱花雪糕，其中雪糕每支成本5元.该商家每支雪糕定价40元，平均每天可售出600支，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每支雪糕降价1元，商场平均每天可多售出30支.求： 若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕应降价多少元？ 每支雪糕降价多少元时，商家平均每天盈利最多？ 26.本小题10分 如图，已知内接于，AB是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交AC的延长线于点E，连接BD， 求证：DE是的切线； 若，，求的直径. 27.本小题10分 如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点 求证：； 若，时，求MF的长； 若时，求的值. 28.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点 求二次函数的解析式及点C的坐标； 点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为 ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点P，使得与相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的相反数是 故选： 根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选： 根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：，故不符合题意． B.，故不符合题意． C.，故符合题意． D. 与不是同类项，不能合并，故不符合题意． 故选： 根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方及同底数幂的除法进行解答． 本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，属于基础题，熟记计算法则是解答本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意， 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 5.【答案】D  【解析】解：原数据的5，5，6，4的平均数为， 中位数为5， 众数为5， 方差为； 新数据4，5，5，5，6的平均数为5， 中位数为5， 众数为5， 方差为； 所以添加一个数据5，方差发生变化， 故选： 依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 即凳子应放在的外心上． 故选： 为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答本题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：用绳子去量长木，绳子还剩余尺， ； 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 根据题意可列方程组 故选： 根据“用绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】【分析】 由勾股定理可求AB的长，通过证明∽，可得，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 【解答】 解：，， ， ， ，， ∽， ， ， ， 故选： 9.【答案】A  【解析】【分析】 本题属于新定义类问题，考查一元二次方程的解法，根据给出的定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路． 根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质 【解答】 解：令，则，解得或， 即函数和具有性质P，符合题意； B.令，则，整理得，，方程无解， 即函数和不具有性质P，不符合题意； C.令，则，整理得，，方程无解， 即函数和不具有性质P，不符合题意； D.令，则，整理得，，方程无解， 即函数和不具有性质P，不符合题意； 故选： 10.【答案】D  【解析】解：作于M， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， 故选： 作于M，根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出，，利用勾股定理求得AD，证得∽，求得DE，证得∽，求得DF，根据即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定理是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：对于380000，要使a满足，则，原数变成时，小数点向左移动了5位，所以， 因此 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】  【解析】解：， ， 13.【答案】真  【解析】解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么” “如果，那么”的逆命题是真命题， 故答案为：真． 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案． 本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 14.【答案】  【解析】解：分式方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 15.【答案】9  【解析】解：设圆锥的母线长为l，由题意得：， 解得： 故答案为： 直接利用扇形的半径的长等于圆锥的母线长计算即可． 考查了圆锥的计算，解题的关键是了解扇形的半径的长等于圆锥的母线长，难度不大． 16.【答案】35  【解析】解：连接OD，则，； ， ， 故答案为：35 连接OD，构造直角三角形，利用，可求得，从而得出的度数． 本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解． 17.【答案】  【解析】解：设点B坐标为， ， ， 由对称可知：，， ， 作轴，垂足为G， ，， ， 点D在反比例函数图象上， ， 解得 故答案为： 作轴，垂足为G，利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化、折叠问题，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键． 18.【答案】   【解析】解：在正方形ABCD中，，O是BC边的中点， ，， 当点A、E、O三点共线时， 在中，， 故答案为：； 如图，延长BA到点P，使，连接PE，PO，OF， 点E是正方形内一动点，， 点E在以O为圆心，2为半径的半圆上运动， 线段DE绕点D逆时针旋转得DF， ，， ， ， ， ≌， ，， ， ， ≌， ， 当O、E、P三点共线时，PE的长最短，即OF值最小， 此时在中，，， ， ， 长的最小值为， 故答案为： 正方形ABCD中，当点A、E、O三点共线时，是直角三角形，已知，O是BC边的中点，根据正切值公式即可求解；延长BA到点P，使，连接PE，易证≌，得，当O、E、P三点共线时，PE的长最短，即OF值最小，根据勾股定理可得OP的长，从而得PE的长，即可求解． 本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握性质并准确应用，结合转化思想正确添加辅助线是解题的关键． 19.【答案】；     【解析】 ； 先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； 先根据平方差公式及完全平方公式分别计算出各数，再合并同类项即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 20.【答案】解：， ， ， ， ， ，； ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是  【解析】利用配方法解方程即可； 分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． 21.【答案】证明：四边形ABCD为正方形， ，， 在和中， ， ≌； 四边形ABCD为正方形， ， ≌，， ， ， ， ，   【解析】根据正方形的性质证明，，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； 根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． 22.【答案】解：； ； ；40； 名， 答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数大约为480名．  【解析】解：由题意得，， 故答案为：5； 统计图中B组对应扇形的圆心角为， 故答案为：144； 由题意可知，阅读时间在范围内的数据的众数是40，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是 故答案为：40；40； 名， 答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数大约为480名． 用样本容量乘可得a的值，再用样本容量分别减去其他等级的频数可得b的值； 用乘B等级所占比例即可； 分别根据众数和中位数的定义解答即可； 用800乘样本中课外阅读时间不少于的人数所占比例即可． 本题考查扇形统计图、中位数、众数、频数分布表以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23.【答案】    【解析】由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种， 抽到“石头”的概率为 故答案为： 列表如下： 石头 剪子 布 石头 石头，剪子 石头，布 剪子 剪子，石头 剪子，布 布 布，石头 布，剪子 共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：石头，剪子，剪子，布，布，石头，共3种， 甲取胜的概率为 由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及甲取胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 24.【答案】解：直线l与点E，如图所示： 或2  【解析】【分析】 本题主要考查作图-复杂作图：作一个角的平分线和作已知线段的垂直平分线，圆周角定理，勾股定理等知识，作出图形，添加辅助线构造直角三角形，利用勾定理是解答本的关键． 作的平分线，交AC于点D，则直线BD即为所求作的直l；作线段BD的垂直平分线MN和以BD为直径的，MN与半圆BCD的交点为F，连接DF，DF与BC的交点即为点E； 作于点F，设，推出，，在、和中，利用勾股定理得构造方程解答即可． 【解答】 解：见答案； 如图，作于点F， 设， ， ， ， ， 在、和中，由勾股定理得， ，，， ，， ， ， 解得，，， 经检验，，均为增根，舍去， 当时，， 当时，， 故答案为：3或 25.【答案】解：设每支雪糕应降价x元，得： ， 解得：舍， 为了尽快减少库存， 每支雪糕应降价10元； 设每支雪糕降价x元时，商家所获得的利润为y元，根据题意，得： ， ， 元时，利润最大为：元； 答：当时，售出所获利润最大，最大利润为元．  【解析】设每支雪糕应降价x元，根据“商家盈利=单支盈利销售数量”，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，再结合减少库存即可确定x的值； 设每支雪糕降价x元时，商家所获得的利润为y元，根据“商场盈利=单件盈利销售数量”，即可找出x关于y的二次函数关系式，配方后根据二次函数的性质即可得出每支雪糕降价多少元时盈利最大． 本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程二次函数关系式是解题的关键． 26.【答案】证明：连接OD， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是半径， 是的切线； 解：是的直径， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ，，， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， 即的直径为  【解析】连接OD，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； 是的直径可得，又由知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解． 本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆的有关定理是解题的关键． 27.【答案】证明：平分， ， 在矩形ABCD中，， 由翻折可知， 点M在EF的延长线上， ， ， ， ， 又， ， ； 解：， 由翻折可知， ， 在中，， ， 设， 则， 由可知，， ∽， ， ， 解得：， 即； 解：如图，过点N作，垂足为H， 设，，则， ， 平分， ， ，， ∽， ， 即， 故，， 又，即， ，   【解析】由角平分线的定义及翻折易得及，从而得到，结合对顶角相等可得即可得证； 设，则，易证∽，得，代入求解即可； 如图，过点N作，垂足为H，设，，则，可得，易证∽得，即，解得，，结合，得，代入即可求解． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质定理；解题的关键是熟练掌握折叠的性质及相似三角形的判定和性质． 28.【答案】二次函数的解析式为：；；   ①时，PD最大值为：；②存在，P的坐标为或  【解析】解：二次函数经过，， 则，解得：， 二次函数的解析式为：； 由点A、B的坐标得，直线AB解析式为：， 点C是直线与y轴交点， 令，则， ； ①点P在直线AB上方， ， 由题知，， ， 当时，是最大值． ②存在，理由如下： ，， ， 是直角三角形， 要使与相似，只有保证是直角三角形就可以． 当∽时， ， ， 此时轴，B、P关于对称轴对称， ； 当∽时， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， 设， ，， ， 即， 解得：舍或2， ； 综上，存在点P使与相似，此时P的坐标为或 先求直线解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式； ①将P、D坐标用m表示出来，用P的纵坐标减去D的纵坐标即可得出PD的关系式，从而求最值； ②由得到是直角三角形，要使与相似，则也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可． 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$