2025年江苏省扬州市邗江区美琪学校中考数学三模试卷

2025年江苏省扬州市邗江区美琪学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2的相反数是(    ) A. B. 2 C. D. 2.函数中，自变量x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，该几何体的俯视图是(    ) A. B. C. D. 5.对于一组统计数据3，3，6，5，下列说法错误的是(    ) A. 众数是3 B. 平均数是4 C. 中位数是6 D. 方差是 6.如图，是等边的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 7.若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 8.如图1是一座立交桥的示意图道路宽度忽略不计，A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离与时间的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是(    ) A. 甲车在立交桥上共行驶8s B. 从F口出比从G口出多行驶40m C. 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为150m 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.2025年扬州召开省运会，全省一共有近12800名运动员，将12800用科学记数法表示为______. 10.分解因式：______. 11.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是          . 12.当时，分式的值是______. 13.如图，，，：______. 14.若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为______. 15.圆锥的母线长为11cm，侧面积为，圆锥的底面圆的半径为______. 16.如图，点A，B，C在上，四边形OABC是平行四边形，于点E，交于点D，则______度． 17.已知点A是反比例函数图象上的一点，点是点A关于y轴的对称点，当为直角三角形时，点A的坐标是______. 18.如图，已知中，，为BC边一点，且，以D为一个顶点作正方形DEFG，且，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为______ 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算：； 化简： 20.本小题8分 解不等式组：，画出数轴并将解集在数轴上表示出来. 21.  22.本小题8分 有两把不同的锁和三只不同的钥匙，其中两只钥匙分别能打开这两把锁，第三只钥匙不能打开这两把锁，随机取出一只钥匙开任意一把锁. 若取其中的一只钥匙去开第一把锁，则打开的概率是______； 请用列表或画树状图的方法求一次打开两把锁的概率. 23.本小题10分 如图，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点连接AC、 求证：≌； 当时，请判断四边形ABFC的形状，并说明理由. 24.本小题10分 今年，中小学启动实施“足球进校园”，开设了“足球大课间”特色社团活动．某校打算用12000元购进某种品牌的足球供学生使用．经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了，这样购买的足球数量比原计划减少了20个，求足球原来的价格． 25.本小题10分 如图，在中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的 切线于点 求证： 若，，求半径的长． 26.本小题10分 【操作发现】 如图1，点M是中AC边的中点. 请你用圆规和无刻度的直尺过点M作BC的平行线MN，交AB于点N； 在的条件下，线段AB与AN的数量关系是______； 【类比探究】 如图2，线段AB与射线AC有公共端点请你用圆规和无刻度的直尺在线段AB上作一个点N，使 友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹 27.本小题12分 如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点其中A点在B点的左侧，交y轴于点 若，求这个二次函数的表达式； 若OC为OA、OB的比例中项． ①设这个二次函数的顶点为P，求的面积； ②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 28.本小题12分 如图，在菱形ABCD中，已知，对角线BD长为 求菱形ABCD的周长； 动点P从点A出发，沿的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为 ①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值； ②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，恰好是一个直角三角形？ 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：2的相反数等于 故选： 根据相反数的定义即可求解． 本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键． 2.【答案】B  【解析】解：由题意得，， 解得 故选： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3.【答案】B  【解析】解：，故A错误； B.，故B正确； C.，故C错误； D.，故D错误． 故选： 依据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则进行计算即可． 本题主要考查的是幂的运算性质，熟练掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图． 【解答】 解：从上面看是三个矩形，符合题意的是C， 故选： 5.【答案】C  【解析】解：数据3，3，6，5，3由小到大排列为：3，3，3，5，6，所以数据的众数为3，中位数为3， 平均数为，方差 故选： 先把数据3，3，6，5，3由小到大排列为：3，3，3，5，6，然后分别求出众数、中位数、平均数和方差，从而可对各选项进行判断． 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．也考查了平均数、中位数和众数． 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理及扇形面积公式． 先根据等边三角形的性质得到，再利用圆周角定理得，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积． 【解答】 解：为等边三角形， ， ， 图中阴影部分的面积 故选： 7.【答案】D  【解析】解：由已知得， 解得： 故选： 由关于x的一元二次方程没有实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 本题考查了根的判别式、一元二次方程的概念、一元一次不等式组的解法，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组． 8.【答案】C  【解析】解：由图象可知，两车通过，，弧时每段所用时间均为2s，通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为 因此，甲车所用时间为，故A正确； 根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，用时为4s，则走40m，故B正确； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C错误； 根据题意立交桥总长为，过D正确； 故选： 根据题意、结合图象问题可得． 本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合． 9.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10.【答案】  【解析】解： ， 故答案为： 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 11.【答案】八  【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 ， 解得 则这个多边形的边数是八． 故答案为八. 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 任何多边形的外角和是，即这个多边形的内角和是，n边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 本题考查多边形的外角和与内角和. 12.【答案】2025  【解析】解：当时，原式 故答案为： 利用代入法，代入所求的式子即可． 本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 13.【答案】1：4  【解析】证明：， ∽， ：， ， ， ：： 故答案为1： 先根据相似三角形的判定定理得出∽，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较简单，熟记三角形相似的判定方法和相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 14.【答案】1  【解析】解：关于x、y的二元一次方程组的解是， ， 解得，， 故答案为 将方程组的解代入方程组，就可得到关于a、b的二元一次方程组，解得a、b的值，即可求的值． 此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 15.【答案】5cm  【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得，， 故答案为： 根据扇形的面积公式计算即可． 本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系、理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 16.【答案】15  【解析】解：四边形OABC是平行四边形，， ， ，OD过O， ，， 即， ， 和的度数是 ， 故答案为： 根据平行四边形的性质和得出，根据垂径定理求出，求出度数，即可求出答案． 本题考查了垂径定理、圆周角定义、平行四边形的性质和判定，能求出是解此题的关键． 17.【答案】  【解析】解：因为点A是反比例函数图象上的一点，点是点A关于y轴的对称点， 设点A坐标为，点的坐标为， 因为为直角三角形， 可得：， 解得， 所以点A的坐标为， 故答案为： 根据反比例函数的解析式和点A在函数的图象上可求出点A与点，由于为直角三角形解答即可． 本题考查了反比例函数问题，关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征解答． 18.【答案】  【解析】解：当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值． 过点A作于点M， ，， ， ， ：：2，， ，， ， 在中，， 在中， 故答案为： 当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值，画出图形，过点A作于点M，求出BC的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出AD的长，进而可得AG的长． 本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当点A、D、E在同一条直线上时，AE有最大值． 19.【答案】；     【解析】原式 ； 原式 先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可； 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了实数的运算． 20.【答案】，将解集在数轴上表示见解答．  【解析】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示如图所示： . 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知确定不等式组解集的原则是解答此题的关键． 21.【答案】    【解析】  22.【答案】；    【解析】若取其中的一只钥匙去开第一把锁，则打开的概率是， 故答案为：； 根据题意列表得：   锁1 锁2 钥匙1 锁1，钥匙 锁2，钥匙 钥匙2 锁1，钥匙 锁2，钥匙 钥匙3 锁1，钥匙 锁2，钥匙 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种， 则随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 直接根据概率公式求解即可； 根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率． 此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解． 23.【答案】证明见解答过程；   四边形ABFC是矩形，理由见解答过程．  【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， ， 点E是BC的中点， 在和中， ， ≌； 解：四边形ABFC是矩形．理由如下： 四边形ABCD是平行四边形， ， ≌， ，， ， ， ， ，， 四边形ABFC是平行四边形， ， 四边形ABFC是矩形． 根据平行四边形性质得出，推出，根据AAS证两三角形全等即可； 根据全等得出，，推出，根据，得出平行四边形ABFC，根据矩形的判定推出即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键． 24.【答案】解：设足球原来价格为x元/个， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解且满足题意. 答：足球原来的价格100元/个．  【解析】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 根据题意可以列出相应的分式方程，本题得以解决，注意分式方程要检验． 25.【答案】证明：连接OA，如图， 是的切线， ， ， ，D分别为半径OB，弦AB的中点， 为的中位线． ； 解：连接OD，如图， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 设，则， ， 即，解得， ， 即的半径长为  【解析】连接OA，如图，利用切线的性质得，再证明CD为的中位线得到则可判断； 连接OD，如图，利用垂径定理得到，再在中利用正弦定义计算出，接着证明从而在中有，设，则，利用勾股定理可计算出，从而得到，然后解方程求出x即可得到的半径长． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了解直角三角形． 26.【答案】解：【操作发现】 如图1，MN为所作； ； 【类比探究】如图2，点N为所作．   【解析】解：【操作发现】 如图1，MN为所作； 点M是中AC边的中点， ， ， ：：， 即； 故答案为：； 【类比探究】如图2，点N为所作． 【操作发现】 作交AB于N点，根据平行线的判定方法可得到； 根据平行线分线段成比例定理可得到； 【类比探究】在射线AC上依次截取，再连接BD，接着作交AB于N点，则，根据平行线分线段成比例定理得到AN：：： 本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定和平行线分线段成比例定理． 27.【答案】解：在中，，， ， 则有， 解得， 二次函数的表达式为 ①对称轴，如图1所示， 由OC为OA、OB的比例中项可得∽ 设点A的坐标为，则点B的坐标为， 则，， ， 解得舍，， ，， 则有， 解得， 二次函数的解析式为， ， 设直线BC的解析式为， 则有， 解得， 直线BC的解析式为， 过点P作y轴的平行线交BC于点Q， 则， ， ②存在，分两种情况． 情况一：如图2所示， 此时M于O重合， 情况二：如图3所示， 四边形CBMN为矩形，， ， ， ∽， ，即， 解得， ， 线段NC可以从BM平移得到， 点B与点C为对应点，点M与点N为对应点， 点B向左移动个单位，向上移动3个单位得到点C， 点M到点N也是同样得平移规律， 综上，点N的坐标为或  【解析】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形与二次函数的结合，找到相似三角形为解题关键． 根据，，可知OA的长度，代入点A、C可求出二次函数的表达式． ①根据OC为OA、OB的比例中项，可推出∽，求出B、A的坐标，二次函数的解析式可求，点P的坐标可求，的面积可求．         ②分两种情况讨论，再根据相似求出线段长度，再利用平移规律得到点N的坐标． 28.【答案】解：连接AC交BD于O，如图1所示： 四边形ABCD是菱形， ，，，，， 在中，， 菱形ABCD的周长； ①当点Q在CD边上时， 设PQ交BD于M，则， ， ， ， 根据题意得：，，则， ， 解得：； 当点Q在CB边上时，不存在； ②当点Q在CD边上时，若，如图2所示： ， ， ， ， 即， 解得：； 若，如图3所示： 作于N，则，， ， ， ， ， 解得：； 当点Q在CB边上时，如图4所示： 根据题意得：，，， ， ， 作于H， ， ， ， ，即H与P重合， ， 即恒成立． 当时都为直角三角形． 综上可得，当或时，恰好为直角三角形．  【解析】连接AC交BD于O，由菱形的性质得出，，，，，在中，由三角函数求出，即可得出菱形ABCD的周长； ①当点Q在CD边上时，设PQ交BD于M，则，由平行线求出，根据题意得：，，则，得出，解方程即可； 当点Q在CB边上时，不存在； ②当点Q在CD边上时，若，与平行线的性质得出，则，由直角三角形的性质得出，即，求出t的值即可； 若，作于N，则，，由直角三角形的性质得出，得出方程，解方程即可； 当点Q在CB边上时，证出，即恒成立． 得出当时都为直角三角形；即可得出答案． 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、三角函数、含角的直角三角形的性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，进行分类讨论是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$