江苏省南通市海安市海安外国语学校、海陵中学联考2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年江苏省南通市海安外国语学校、海陵中学联考九年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.等于(    ) A. B. 4 C. D. 8 2.四川三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，让学术界开始重新审视人类文明的发展史.如图是2024年7月首次亮相的青铜瓶，它有“圆口、深腹”等特征.有关其三视图忽略表面凸起部分说法正确的是(    ) A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 3.第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组(    ) A. B. C. D. 6.一个含角和另一个含角的直角三角形，按如图所示叠放，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是(    ) A. 10米 B. 18米 C. 20米 D. 36米 8.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 9.甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为千米，乙车行驶的时间为时，y与x之间的图象如图所示.则甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为(    ) A. 小时或小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时或小时 10.在中，，于点H，，则MN的最小值为(    ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题：本题共8小题，共30分。 11.因式分解：          . 12.已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为______结果保留 13.已知a和b是方程的两个解，则的值为______. 14.某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起如图已知停车场入口的栏杆AO的长度为3米如图2所示，栏杆AO从水平位置绕点O顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆A端升高了______米. 15.在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______. 16.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为，点E在边CD上.将沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为，则点E的坐标为          . 17.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数交于点A，将直线沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，若，则b的值为______. 18.若关于x的两个方程，都有实数根，其中p，q为实数，则代数式的最小值等于______. 三、计算题：本大题共1小题，共12分。 19.  四、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题10分 计算：； 计算： 21.本小题10分 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线. 已知：直线l及其外一点求作：l的垂线，使它经过点小华同学按下列步骤作图如图：①任取一点M，使点M和点A在直线l的两旁；②以点A为圆心，AM长为半径作弧，交直线l于点B和D；③分别以点B，D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C；④作直线AC，直线AC即为所求. 证明：直线l； 若点A到直线l的距离为8，，求四边形ABCD的面积. 22.本小题10分 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上. 随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； 从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率. 23.本小题10分 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析. 【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生的综合素质测试成绩百分制，成绩都是整数且不低于40分将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：82，84，84，84，85，85，86，86，87，87，88，88，89，89， 【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图. 【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 80 81 81 乙校 81 b 79 根据以上信息，解答下列问题： ______，______； 补全条形统计图； 甲校共有500人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有______人； 从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义. 24.本小题12分 如图，是的外接圆，AB为直径，过点C作的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且 求证：； 若EF垂直平分OB，，求阴影部分的面积. 25.本小题13分 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 当时，求抛物线的顶点坐标； 已知点、在抛物线上，当时，求t的取值范围； 点，，在抛物线上.若对于，都有，求t的取值范围. 26.本小题13分 综合与实践 【经典再现】人教版八年级数学下册课本：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点求证提示：取AB的中点H，连接 请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出______≌______，进而得到 【类比探究】 如图2，四边形ABCD是矩形，且，点E是边BC的中点，，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求的值用含n的式子表示； 【综合应用】如图3，P为边CD上一点，连接AP，PF，在的基础上，当，，时，求BC的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， 故选： 根据算术平方根的定义即可得出答案． 本题主要考查算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 2.【答案】A  【解析】解：该几何体的主视图和左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选： 根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案． 本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的意义是解题关键． 3.【答案】C  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】D  【解析】解：A、3a与5b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选： 在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可． 本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：依题意，得：， 故选： 根据“五只雀，六只燕共重一斤，且四只雀、一只燕的重量和一只雀、五只燕的重量一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：由题意可得，，， ， ， ， 故选： 由题意得到，，由平行线的性质求得，进而根据角的和差即可解答． 本题考查平行线的性质，角的和差，掌握以上性质是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：解：由题意，得 每一个外角是， ， 二十边形米， 故选： 由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 本题考查了多边形的内角和与外角，熟知任意多边形的外角和都是 8.【答案】D  【解析】解：设I与R的函数关系式是， 该图象经过点， ， ， 与R的函数关系式是，故B不符合题意； 当时，， ， 随R增大而减小， 当时，，当时，，当时，I的取值范围是，故A、C不符合题意，D符合题意． 故选： 设I与R的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时，，再由，得到I随R增大而减小，由此对各选项逐一判断即可． 本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：甲车的速度为千米/时， ， ， 甲车距A地的路程y与乙车行驶时间x之间的函数关系式为， 乙车驶向B地的过程中的速度为千米/时， ， ， 当时，乙车距A地的路程y与乙车行驶时间x之间的函数关系式为， 当时，乙车的速度为千米/时，则乙车距A地的路程y与乙车行驶时间x之间的函数关系式为， 当时，当甲、乙两车相距40千米时，得， 解得或， 当时，当甲、乙两车相距40千米时，得， 解得， 甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为小时或小时． 故选： 根据速度=路程时间和路程=速度时间分别求出甲、乙车距A地的路程y与乙车行驶时间x之间的函数关系式，按照x的取值范围，当甲、乙两车相距40千米时列关于x的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：以H为原点，MN所在直线为x轴，PH所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 则H点坐标为，P点坐标为， 设M点坐标为，N点坐标为， 则MN的长度为， ， ， ， ， 整理得， 设，则，代入上式可得， ， 整理得，， 该方程关于b有实数解， ， ， 或， 即或， ，即MN最小值为8； 故选： 以H为原点，MN所在直线为x轴，PH所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设出M和N坐标，进而利用两点距离公式求出PM和PN，建立方程，再利用求解即可． 本题主要考查了勾股定理、两点距离公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解： 故答案为： 直接利用平方差公式分解因式得出答案． 此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：圆锥的高是4cm，母线长5cm， 勾股定理得圆锥的底面半径为3cm， 圆锥的侧面积 故答案为： 首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键． 13.【答案】2028  【解析】解：和b是方程的两个解， ①，②， ①-②得，， ， 故答案为： 根据a和b是方程的两个解可知，，再把两式相减即可得出结论． 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：过点作，垂足为D， ， 由旋转得：米， ， 米， 栏杆A端升高了米， 故答案为： 过点作，垂足为D，根据垂直定义可得：，再利用旋转的性质可得：米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15.【答案】5  【解析】解：抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线为， 令， 解得，， ， 故答案为： 抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线为，则可得，，进而可得答案． 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， ，轴，轴， 由折叠得，， 设CD交y轴于点G，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ， 解得， ， 故答案为： 由正方形的性质得，由折叠得，，设CD交y轴于点G，，则，由，，，，由勾股定理得，求得，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出正方形ABCD的边长是解题的关键． 17.【答案】3  【解析】解：分别过点A，B作轴于点D，轴于点E，则， 直线与反比例函数交于点A， ， 解得或舍去， ， ， 由平移知，，， ， ∽， ， ， ， 的纵坐标为4， 把代入， 解得， ， 将直线沿轴向上平移b个单位长度得到直线， 把B的坐标代入得， 解得，， 故答案为： 解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值． 本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键． 18.【答案】3  【解析】解：由题意，得， 关于x的两个方程，都有实数根， ，且 且 ，即 ， 当时，的值随p的增大而增大． ， 当时，取最小值，且最小值为 的最小值为 故答案为： 依据题意，可得得，，又关于x的两个方程，都有实数根，则，且，从而且，故，则，故当时，的值随p的增大而增大，又，进而可以判断得解． 本题主要考查了根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用判别式法是关键． 19.【答案】    【解析】  20.【答案】；    【解析】 ； 原式 根据乘方的意义、绝对值的性质和零指数幂的性质进行计算即可； 先把括号内的整式化成分母是的分式，分式的分子和分母分解因式，然后先算括号内的，再进行约分即可． 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质、分式的通分与约分和几种常见的分解因式的方法． 21.【答案】证明：由作法得， 四边形ABCD为菱形， ， 即直线 解：如图，设AC与BD相交于O点，则， 四边形ABCD为菱形， ， 在中，， ， 四边形ABCD的面积  【解析】利用基本作图得到，则可判断四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得到结论； 设AC与BD相交于O点，运用勾股定理求出，根据菱形的性质得到，即可求出面积． 本题考查了作图-基本作图，也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 22.【答案】    【解析】解：由题意得，随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 故答案为： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中不含D卡片的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种， 抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率为 直接利用概率公式可得答案． 画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片中不含D卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23.【答案】；84； 补全条形统计图如图所示． ； 平均数表示两个学校抽取的50名学生的平均成绩； 众数表示两个学校抽取的50名学生中得分在某个分数的人数最多； 中位数表示两个学校抽取的50名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩； 方差表示两个学校抽取的50名学生的成绩的稳定性任选其中一个说明即可  【解析】解：由题意得， 由题意得，乙校的E组中有15人，F组中有人， 将乙校抽取的50名学生的成绩按照从大到小的顺序排列，排在第25名和第26名的学生成绩分别为84和84， 故答案为：50； 甲校中C组人数为人， 补全条形统计图如图所示． 人， 估计甲校测试成绩优秀的约有280人． 故答案为： 平均数表示两个学校抽取的50名学生的平均成绩； 众数表示两个学校抽取的50名学生中得分在某个分数的人数最多； 中位数表示两个学校抽取的50名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩； 方差表示两个学校抽取的50名学生的成绩的稳定性任选其中一个说明即可 根据抽取的乙校中E组人数及其对应的百分比可求a的值，根据中位数的概念求b的值． 先求出甲校中组别C的人数，进而补全统计图即可． 用500乘以样本中甲校成绩为优秀的人数占比即可得到答案． 根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 本题考查频数率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． 24.【答案】证明：为的切线，点C在上， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：连结OE、BE， 垂直平分OB， ， ， 为等边三角形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 扇形OAE的面积， 阴影的面积=扇形OAE的面积的面积  【解析】由余角的性质推出，由圆周角定理得到，因此，推出； 连结OE、BE，由线段垂直平分线的性质推出判定为等边三角形，得到，求出，由等腰三角形的性质得到由平行线的性质推出，由含30度角的直角三角形的性质推出，得到，求出，求出的面积，扇形OAE的面积，即可求出阴影的面积． 本题考查切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，扇形的面积，关键是由切线的性质，圆周角定理推出；判定是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质推出 25.【答案】顶点为；   ；   或  【解析】当时，抛物线为， ， 顶点为； 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点、在抛物线上，且， ， ； 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点，，在抛物线上， 在对称轴的左侧，关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为， ， ， 若对于，都有， 当时，，解得， 当时，且，解得， 综上，t的取值范围是或 把解析式化成顶点式即可求解； 利用二次函数的对称性和增减性列出关于t的不等式，求解即可． 利用二次函数的对称性和增减性列出关于t的不等式组，求解即可． 本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26.【答案】；；   ；    【解析】四边形ABCD是正方形，如图1，取AB的中点H，连接EH， ，， 是BC的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：；； 如图2，在AB上截取，连接EH， 时BC的中点， ， 设，则， ， ， ， 由得：，， ∽， ； 如图3， ， 可设，，则， 延长EF，AP，交于点R，作，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作于T， ，， 是等腰直角三角形， ， 由知：， ， ≌， ，， ，， ， ∽， ， ， ， 由知：， ， ， ， ， 由得，， ，舍去， 根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； 在AB上截取，连接EH，不妨设，则，，，从而可得，，可证∽，即可求解； 可设，，则，延长EF，AP，交于点R，作，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作于T，证明≌，可得，，，证明∽，可得，，由知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 本题属于相似形综合题，主要考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$