山东省青岛六十七中2024-2025学年高二下学期第二学段模考检测数学试题

青岛六十七中2024一2025学年度第二学期模块检测 高二数学2025.7 一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合U=(x|-3<x≤3，r∈Z,A=0,1,21.B--3,-2.-1} 则(CA)∩B= A.{-1,1} B.{-2,-1) C.{-1,2} D.{-2,01 2复数- 则复数：的虚部是 A是 c. 3。抛掷两枚质地均匀的般子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为 A司 R日 c司 n 4.等轴双曲线C过点P(3,1).则双曲线C的右焦点F,到其中一条渐近线的距离为 A3· B.2 C.22 D.23 5.若cos(a-3)=2cos(a十3)，则tangtan3= A-2 1 C 6.已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，~母线与底面所成的 角为60°，那么圆台的外接球的表面积为 A 56 112 B.3 ·/C428π D. 7.已知函数f(x)=in2x十acos2x满足f(x)≤1f(是川恒成立.则当 x[-受，受]时，曲线y-fr)与y=nr的交点个数为 A.3 B.4 C.+5 D.6 8.若存在x1∈(1，+o),2∈(e,+0)使得x2=e1.hx成立，则4x1-x的最大值为（) A.4ln2-2 B.4ln2-4 (.8ln2-2 D.8ln2-4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9. 某汽车$店在尚末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问 卷.该发布会结束后，共收问问卷300份.据统计，这300份问卷的得分X（满 分为100分)近似服从正态分布V(82,36),下列说法正确的是 附：若XN(μ，g)、则P(n-o<X≤+a)=0.683. P(u-2a<X≤4+2a)=0.954,P(4-3a<X≤μ+3a)=0.997. A.这300份问卷得分数据的期望是82.标准差是36 B.这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C.P(70<X76)=P(88<X94)· D.若在其他4S房举行该发布会并发放问卷、得到的问卷得分数据也服从正态 分布V(82.36) 10.已知数列：a:的前项和为Sw:且满足a1-1,a3-3,aw2-3an1+4ar,则以下说法正确的是() A.{am1十aw;是等比数列 B.{an1-4aa是等比数列 C.an 4+(-1)” D.S 2×491-3(-1) 30 11.已知抛物线：x2-2py(p>0)的焦点为P,准线交轴于点P,抛物线E上一点T(x0,4)到 点F的距离为6，点4，B是抛物线C上的两点，点是AB的中点，则下列说法正确的是() A.p=4 B.若中点1的横坐标为4，则直线AB的斜率为2 C.若OA⊥OB,则AB恒过点(0,8) D.若直线AB过点F,则kP+kBP=O 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.心知平面向ta=(1,一2)，b=(x,一1)，且a⊥(a一b),则x= 13.(2-r2)(-2r)5的展开式中r+的系数为 ·(用数学作答). 14.己知a,b,c均为正实数，函数f(x)=x2+(a+2b)x+nx.若f代x)的图象过点 (c,ab+lnc),且(3a+b)t≥c恒成立，则实数t的最小值为 四、解答题：本题共5小题，77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.设VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知bsin C+√3 c cos B=√5a. (1)求角C的大小： 2)者=25，且细4血B=求B边上中线CT的长」 16.已知数列{a,}是公差为2的等差数列，满足a2n=2a,+1(neN) 1)求{a}的通项公式： (2)设{a}的前n项和为Sn,若Sn<3an,求n的最大值。 17.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC,AB=AC=2A4,E是棱BC的中点. D (1)求证：AC∥平面ABE: (2)求二面角A-BE-A的大小. 18.已知aeR,函数f(x)=aln(x+12x-2,g(x)=2x-e+cosx. (1)当a≠0时，讨论函数f(x)的单调性： (2)证明：函数g(x)存在两个零点： (3)当￥>-1时，不等式g(f(x)》s0恒成立，求a的取值范围. 19.近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦 虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力。 (1)某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡.下 表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计. 月份(x) 5 睡眠质量显著改著人数(y) 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数(y)与月份变量(x)具有线性相关关系（月份变量x依次为 1,2,3,4,5),请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ (2)该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则 如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙 组、丙组的概率均为)，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战 甲组、丙组的概率分别为之1。 31 4若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为香 ()经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望： (i)定义：已知数列{口，}，若对于任意给定的正数￡（不论它多么小），总存在正整数N。, 使得当n>N。时，也。一A<E(A是一个确定的实数)：则称数列{an}为“聚点数列”，A 称为数列{a。}的聚点.经过n次挑战后，挑战权在甲组的概率为a。,证明数列{a}为“聚 点数列”，并求出聚点A的值， 附：回归方程少=bx+à中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 62-0-刃之%-面 ，a=-6标 2(--版2 青岛六十七中2024—2025学年度第二学期模块检测 高二数学答案 14由恒成立得，， 因为的图象过点，则，即， 当时，不合题意舍， 所以，即，则，则由得， 所以， 设， 所以 ， 当且仅当，即，则时，等号成立， 故答案为：9；． 15. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得 ，即， 因为、，则，即，可得，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 因为为边上的中线，所以， 所以 ，故， 因此，边上的中线的长为. 16. 【小问1详解】 因为数列是公差为2的等差数列，所以， 由可得，解得， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得， 由得，即，解得， 由于，所以，所以的最大值为5． 17【小问1详解】 取的中点，连接， 由直三棱柱得，，， 因为是棱的中点，点是的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可得四边形为平行四边形，所以 所以，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 【小问2详解】 设，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面与平面的夹角为， 则， 由图可知二面角为锐角，则二面角的大小为． 18. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减. 【小问2详解】 证明：由，则， 当时，，，且等号不同时成立， 则； 当时，，，故， 设，则， 故函数在区间上单调递减， 又，， 故存在使得， 当时，，当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 存在，使得， 故函数存在两个零点． 【小问3详解】 解：设，， 由（2）可得函数的图象如图所示： 当时，因为，， 则，即恒成立； 当时，函数在区间上单调递减， 又，当时，， 存在，使得， 当时，， 故存在，使，即，与题设矛盾； 当时，函数的极大值为，即， 当时，即当时，， 故，即恒成立， 当时，即时，存在， 使，即，与题设矛盾． 综上，实数的取值范围为． 19.【小问1详解】 解：，． ， ． ， ． 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人． 【小问2详解】 解：(ⅰ)的可能取值为． ； ； ； 所以的分布列为： X 0 1 2 P ． (ⅱ)第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为， 当时， ， 得：， 由①得： ，其中 是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由聚点数列的定义知：， 当时，， 所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点. 学科网（北京）股份有限公司 $$