专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（60题）-2025-2026学年新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（60题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 并集的运算 考点二 交集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 根据补集结果求集合或参数 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 考点八 容斥原理 考点九 韦恩图的应用 考点十 集合运算的新定义问题 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 考点一 并集的运算 策略方法 1、集合并集的运算 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成； (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示． 2、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　　 题型训练 1．（河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义即可得出答案. 【详解】由题可知，又因为，故. 故选：C 2．（海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的并集运算即可求解. 【详解】由合，， 所以，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合的并集的概念与运算，可得. 故选：D. 4．（24-25高二下·安徽六安·期末）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式及分式不等式，化简集合， 并集运算得解. 【详解】集合，集合， 所以， 故选：B 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求集合B，再结合集合，再进行并集运算求解. 【详解】因为，, 所以. 故选：C. 6．（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 考点二 交集的运算 策略方法 1、集合交集的运算 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．　 题型训练 7．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得，则. 故选：B. 9．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】． 故选：D. 10．（24-25高二下·福建福州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，进而可得交集. 【详解】根据，因为，解得， 因为，所以. 故选：A. 11．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的运算判断即可. 【详解】因为集合表示非负偶数集，所以． 故选：D 12．（2025·湖南邵阳·三模）若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为集合，， 所以， 因此，的元素的个数是. 故选：C. 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 策略方法 1、利用集合的交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等条件，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　 2、求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．　　 3解方程组或解不等式组来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 题型训练 （1） 根据交集的结果求集合或参数 13．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得出当时，当时，建立不等式组，即可求出的取值范围. 【详解】因为，，， 所以， ∴，解得：. 故选：D. 14．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 【答案】D 【分析】由题设可得，根据交集的结果及集合的描述求参数值，即可得. 【详解】解方程，得或，所以， 又，所以集合B是集合A的子集． 集合A的子集有，，，，显然集合最多有一个元素， 所以a的可能取值有、、0． 故选：D 15．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数（    ）． A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1 【答案】A 【分析】由，可得，然后分或两种情况可得答案. 【详解】由，可得. 若，则成立； 若，又，则或，则或. 综上可得或或. 故选：A 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： （二）根据并集的结果求集合或参数 17．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 18．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 19．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知集合，集合，若，则实数 . 【答案】-3 【分析】根据得，再讨论元素间的关系可解. 【详解】，即，若，则，不符合； 若，则，经检验符合题意. 故答案为：-3. 20．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 21．（山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系得结论. 【详解】，所以， 故选：A 22．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 23．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 考点四 补集的运算 策略方法 1、补集的运算 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． 2、求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 题型训练 24．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 25．（24-25高二下·贵州毕节·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得到集合，然后根据补集的概念判断即可. 【详解】由， 所以. 故选：A 26．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得. 【详解】由可得，则， 则. 故选：B. 27．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的补集运算得到答案. 【详解】，，所以， 故选：C. 28．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 考点五 根据补集结果求集合或参数 策略方法 由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 题型训练 29．（24-25高二下·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 30．（2025高三·全国·专题练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 31．（2025·江苏南京·二模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据集合交集概念计算即可. 【详解】因为，， 所以，故， 故选：A 32．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 策略方法 解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于A且属于B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．　 题型训练 33．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合交集和补集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 则，所以. 故选：D. 34．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 35．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先求出，再根据交集的定义即可求得的答案. 【详解】依题意，所以，所以． 故选：B． 36．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的概念和运算进行求解即可. 【详解】因为，所以. 因为集合， 所以. 故选：D. 37．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 策略方法 利用交并补求参数范围的解题思路 (1)根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 (2)根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 题型训练 38．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 39．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交并补的计算方法即可判断求解. 【详解】由，可知集合B中不含元素1和2，必含有元素3； 又根据得. 故选：A. 40．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算的定义即可求解. 【详解】, 由于，故， 故选：D 41．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 42．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 43．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 44．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 考点八 容斥原理 策略方法 容斥原理题型的解题策略如下：​ 首先，明确容斥原理的核心公式。一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 其次，根据题目场景确定集合代表的对象，明确各集合的元素个数（如参加不同活动的人数）、交集元素个数（如兼报项目的人数）。​ 对于涉及 “至少一个”“恰好几个” 等表述的问题，通过画韦恩图直观呈现集合间关系，标注已知数据，设出未知量（如兼报三个项目的人数），代入对应公式列方程求解。​ 最后，验证结果是否符合实际意义（如人数为非负整数），确保计算准确。对于复杂问题，分步拆解集合关系，逐步代入公式推导。 题型训练 45．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 46．（24-25高一·上海·假期作业）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 人． 【答案】1． 【分析】利用容斥原理，结合总人数和恰好参加两个项目的人数，求解兼报三个项目的人数． 【详解】解：由题意可知，兼报三个项目的人数为人． 故答案为：1． 47．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 48．（2025高一·全国·专题练习）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可. 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 考点九 韦恩图的应用 策略方法 韦恩图的应用题型解题策略如下：​ 首先，明确韦恩图中各区域的集合含义。不同区域对应集合的交集、并集、补集等运算，如阴影部分可能表示A∩B、∁U(A∪B)等，需结合图形位置判断具体运算。​ 其次，将集合表达式与韦恩图区域对应。根据已知集合（如全集、A、B等）的元素范围，转化为韦恩图中各区域的元素特征，通过图形直观分析集合关系。若涉及参数求解，需根据韦恩图中区域非空或元素满足的条件（如区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ均非空），列出关于参数的不等式或方程，结合集合运算规则求解参数范围。​ 最后，验证结果是否符合韦恩图的逻辑关系，确保集合运算与图形区域含义一致，避免因对图形理解偏差导致错误。 题型训练 49．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 50．（24-25高二下·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【详解】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 51．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    【答案】 【分析】根据集合的交集以及补集的运算，可得答案. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 52．（2025高一上·全国·专题练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为区域，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，所以或，解得． 53．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交并补的含义即可得到答案. 【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 考点十 集合运算的新定义问题 策略方法 集合运算的新定义问题解题策略如下：​ 首先，精准理解新定义的内涵。仔细阅读题目中对新运算的描述，明确运算符号（如差集、特定并集等）的规则，搞清楚新运算中元素的选取条件（如 “且”“或” 等逻辑关系），将文字定义转化为集合语言的等价描述。​ 其次，将新定义运算与已知集合知识关联。把新运算转化为已学的交集、并集、补集等运算形式，例如差集 “且” 可对应补集与原集合的交集，借助熟悉的运算规则分析新运算的性质。​ 然后，结合具体集合实例验证运算逻辑。通过列举法列出参与运算的集合元素，按照新定义逐步推导运算结果，确保每一步都符合定义规则，避免因对定义理解偏差导致错误。​ 最后，对于含参数或复杂集合的新运算问题，先化简集合表达式，再套用新定义规则，分步骤求解，必要时通过举例验证结果的合理性，保证运算过程与定义一致。 题型训练 54．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 55．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【答案】 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 56．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则 . 【答案】 【分析】利用定义进行直接计算. 【详解】由差集的定义，，, 则. 故答案为：. 57．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知全集且集合、是非空集合，定义且，已知，，则 . 【答案】 【分析】根据集合的运算性质计算出、，再根据题意集合新定义运算求解即可. 【详解】，或， 因为且，所以. 故答案为：. 58．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补集概念求出答案； （2）先求出，进而求出； （3）根据题意得到和，求出答案. 【详解】（1），故； （2），故； （3），，故. 59．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 . 【答案】. 【分析】按定义解题即可. 【详解】由定义可知. 故答案为：. 60．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）对于集合，集合记作，例如，，则有：．若已知，则集合 ． 【答案】 【分析】根据题中规则求解即可. 【详解】根据题意，集合中只有元素2， 所以. 故答案为：. $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（60题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 并集的运算 考点二 交集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 根据补集结果求集合或参数 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 考点八 容斥原理 考点九 韦恩图的应用 考点十 集合运算的新定义问题 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 考点一 并集的运算 策略方法 1、集合并集的运算 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成； (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示． 2、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　　 题型训练 1．（河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽六安·期末）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 考点二 交集的运算 策略方法 1、集合交集的运算 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．　 题型训练 7．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·福建福州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·湖南邵阳·三模）若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 策略方法 1、利用集合的交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等条件，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　 2、求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．　　 3解方程组或解不等式组来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 题型训练 （1） 根据交集的结果求集合或参数 13．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 15．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数（    ）． A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. （二）根据并集的结果求集合或参数 17．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 19．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知集合，集合，若，则实数 . 20．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 23．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点四 补集的运算 策略方法 1、补集的运算 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． 2、求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 题型训练 24．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 25．（24-25高二下·贵州毕节·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 28．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 考点五 根据补集结果求集合或参数 策略方法 由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 题型训练 29．（24-25高二下·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 30．（2025高三·全国·专题练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025·江苏南京·二模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 策略方法 解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于A且属于B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．　 题型训练 33．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 34．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 策略方法 利用交并补求参数范围的解题思路 (1)根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 (2)根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 题型训练 38．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 42．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 44．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点八 容斥原理 策略方法 容斥原理题型的解题策略如下：​ 首先，明确容斥原理的核心公式。一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 其次，根据题目场景确定集合代表的对象，明确各集合的元素个数（如参加不同活动的人数）、交集元素个数（如兼报项目的人数）。​ 对于涉及 “至少一个”“恰好几个” 等表述的问题，通过画韦恩图直观呈现集合间关系，标注已知数据，设出未知量（如兼报三个项目的人数），代入对应公式列方程求解。​ 最后，验证结果是否符合实际意义（如人数为非负整数），确保计算准确。对于复杂问题，分步拆解集合关系，逐步代入公式推导。 题型训练 45．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 46．（24-25高一·上海·假期作业）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 人． 47．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 48．（2025高一·全国·专题练习）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 考点九 韦恩图的应用 策略方法 韦恩图的应用题型解题策略如下：​ 首先，明确韦恩图中各区域的集合含义。不同区域对应集合的交集、并集、补集等运算，如阴影部分可能表示A∩B、∁U(A∪B)等，需结合图形位置判断具体运算。​ 其次，将集合表达式与韦恩图区域对应。根据已知集合（如全集、A、B等）的元素范围，转化为韦恩图中各区域的元素特征，通过图形直观分析集合关系。若涉及参数求解，需根据韦恩图中区域非空或元素满足的条件（如区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ均非空），列出关于参数的不等式或方程，结合集合运算规则求解参数范围。​ 最后，验证结果是否符合韦恩图的逻辑关系，确保集合运算与图形区域含义一致，避免因对图形理解偏差导致错误。 题型训练 49．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 50．（24-25高二下·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    52．（2025高一上·全国·专题练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 53．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 考点十 集合运算的新定义问题 策略方法 集合运算的新定义问题解题策略如下：​ 首先，精准理解新定义的内涵。仔细阅读题目中对新运算的描述，明确运算符号（如差集、特定并集等）的规则，搞清楚新运算中元素的选取条件（如 “且”“或” 等逻辑关系），将文字定义转化为集合语言的等价描述。​ 其次，将新定义运算与已知集合知识关联。把新运算转化为已学的交集、并集、补集等运算形式，例如差集 “且” 可对应补集与原集合的交集，借助熟悉的运算规则分析新运算的性质。​ 然后，结合具体集合实例验证运算逻辑。通过列举法列出参与运算的集合元素，按照新定义逐步推导运算结果，确保每一步都符合定义规则，避免因对定义理解偏差导致错误。​ 最后，对于含参数或复杂集合的新运算问题，先化简集合表达式，再套用新定义规则，分步骤求解，必要时通过举例验证结果的合理性，保证运算过程与定义一致。 题型训练 54．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 55．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 56．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则 . 57．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知全集且集合、是非空集合，定义且，已知，，则 . 58．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 59．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 . 60．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）对于集合，集合记作，例如，，则有：．若已知，则集合 ． $$