5.3 二元一次方程组的应用（1）之古代问题 课时作业 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.3 二元一次方程组的应用（1） 课时作业 一、选择题 1．（2025春•盘龙区期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：若…，若…，问每头牛，每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为（　　） A．5头牛2只羊值10两；10头牛4只羊值16两 B．5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两 C．2头牛5只羊值10两；10头牛4只羊值16两 D．2头牛5只羊值10两；4头牛10只羊值16两 2．（2025•临安区一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•肃南县校级一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•方城县四模）《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有x人，物品价格y元，则下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•郧西县模拟）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•甘谷县校级一模）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•龙岩模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•成都模拟）《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•白云区期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出6元，多3元；每人出5元，少4元，问有多少人？该物品价值多少？若设有x个人，该物品价值y元，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2025春•中山市期末）如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是类似地，如图2所示的算筹图，可以表述为 　　 ． 11．（2025春•大兴区期末）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，可列出的二元一次方程组为 　　 ． 12．（2025春•晋江市期末）我国民间有一歌谣如下：鸡鸭共一栏，鸡为鸭之半．八鸭展翅飞，六鸡在生蛋．再点鸡鸭数，鸭为鸡倍三．请你算一算，鸡鸭原若干？其大意为：今有一群鸡鸭被关在一个栏圈里，已知鸡为鸭的.主人在清点鸡鸭时，发现有8只鸭飞出栏圈跑出去玩了，又有6只鸡跑出栏圈外躲藏生蛋．这时清点得鸭为鸡的3倍．请你计算鸡鸭各有多少只？设鸡有x只，鸭有y只，依题意可列方程组为 　　 ． 13．（2025春•增城区期末）中国传统数学最重要的著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”其译文是：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”现设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为　　 ． 14．（2025春•河西区期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （Ⅰ）图②是一个未完成的幻方，则x+y的结果为 　　 ； （Ⅱ）图③中的x为 　　 （用含a的式子表示）． 15．（2025春•朝阳区期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各原有几文钱．设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为 　　 ． 16．（2025春•锡山区校级期中）九宫格，一款数字游戏，起源于《河图洛书》，是中国古代流传下来的图案，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则x＝　　 ，y＝ 　　 ． 17．（2025•嵊州市模拟）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是　　 ． 三、解答题 18．（2025春•三台县期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． （1）该店客房有多少间？房客有多少人？ （2）假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 19．（2025•新城区模拟）《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，书中记载了这样一个问题：今有驿卒，需传递文书至远方驿站．若每日行八十里，则比规定时间迟到两日；若每日行一百二十里，则比规定时间早到一日，问此驿卒应行走的路程及规定时间各是多少？ 20．（2025•雁塔区校级模拟）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 21．（2025•庐阳区校级模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 22．（2025春•郸城县期中）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？ 23．（2025•吉林二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？ 24．（2025•辉南县模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 25．（2025春•长春期末）某酒店各有三人间和双人间两种客房，其中三人间每天每间收费300元，双人间每天每间收费280元．对于30人以上的团体，可给予五折优惠．某旅游团共50名游客，某天入住该酒店，每间客房均住满，一天共花去住宿费3020元．求入住的两种客房各多少间． 26．（2025春•霸州市期中）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ （1）列二元一次方程组解决以上问题． （2）依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 　　 思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 参考答案 一、选择题 1．（2025春•盘龙区期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：若…，若…，问每头牛，每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为（　　） A．5头牛2只羊值10两；10头牛4只羊值16两 B．5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两 C．2头牛5只羊值10两；10头牛4只羊值16两 D．2头牛5只羊值10两；4头牛10只羊值16两 解：由题意可得，设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为：5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两． 故选：B． 2．（2025•临安区一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　） A． B． C． D． 解：根据题意得， 故选：D． 3．（2025•肃南县校级一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 解：由题意可得， ， 故选：B． 4．（2025•方城县四模）《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有x人，物品价格y元，则下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 解：依题意，得：． 故选：A． 5．（2025•郧西县模拟）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得： ， 故选：A． 6．（2025•甘谷县校级一模）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴x+9＝2（y﹣9）； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴x﹣9＝y+9． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 7．（2025•龙岩模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：A． 8．（2025•成都模拟）《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 解：设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意得： ． 故选：C． 9．（2025春•白云区期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出6元，多3元；每人出5元，少4元，问有多少人？该物品价值多少？若设有x个人，该物品价值y元，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 解：由题意得， ． 故选：C． 二、填空题 10．（2025春•中山市期末）如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是类似地，如图2所示的算筹图，可以表述为 　　 ． 解：依题意得：． 故答案为：． 11．（2025春•大兴区期末）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，可列出的二元一次方程组为 　　 ． 解：根据题意得：， 故答案为：． 12．（2025春•晋江市期末）我国民间有一歌谣如下：鸡鸭共一栏，鸡为鸭之半．八鸭展翅飞，六鸡在生蛋．再点鸡鸭数，鸭为鸡倍三．请你算一算，鸡鸭原若干？其大意为：今有一群鸡鸭被关在一个栏圈里，已知鸡为鸭的.主人在清点鸡鸭时，发现有8只鸭飞出栏圈跑出去玩了，又有6只鸡跑出栏圈外躲藏生蛋．这时清点得鸭为鸡的3倍．请你计算鸡鸭各有多少只？设鸡有x只，鸭有y只，依题意可列方程组为 　　 ． 解：根据题意，得． 故答案为：． 13．（2025春•增城区期末）中国传统数学最重要的著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”其译文是：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”现设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为　　 ． 解：由题意可得， ， 故答案为：． 14．（2025春•河西区期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （Ⅰ）图②是一个未完成的幻方，则x+y的结果为 　12　 ； （Ⅱ）图③中的x为 　a﹣1　 （用含a的式子表示）． 解：（Ⅰ）∵第3行的和为：x+6+20＝x+26， ∴第1列最上面的数为：x+26﹣（x+22）＝4， ∴第2行中间的数为：x+26﹣（4+20）＝x+2或x+26﹣（y+22）＝x﹣y+4， 第3列最上面的数为：x+26﹣（20+y）＝x﹣y+6或x+26﹣（x+2）＝24﹣x， ∴， 解得：， ∴x+y＝10+2＝12， 故答案为：12； （Ⅱ）∵第3行的和为：x+a+a﹣5＝x+2a﹣5， ∴第1行最上面的数为：x+2a﹣5﹣（a﹣5+a+2）＝x﹣2， ∴第2列中间的数为：x+2a﹣5﹣（x﹣2+x）＝2a﹣x﹣3， ∴第1列中间的数为：x+2a﹣5﹣（a+2+2a﹣x﹣3）＝2x﹣a﹣4， ∴x+2x﹣a﹣4＝a﹣5+2a﹣x﹣3， 解得：x＝a﹣1， 故答案为：a﹣1． 15．（2025春•朝阳区期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各原有几文钱．设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为 　　 ． 解：由题意得：， 故答案为：． 16．（2025春•锡山区校级期中）九宫格，一款数字游戏，起源于《河图洛书》，是中国古代流传下来的图案，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则x＝　3　 ，y＝ 　3　 ． 解：由图可得， ， 解得， 故答案为：3，3． 17．（2025•嵊州市模拟）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是　　 ． 解：根据题意得，， 故答案为：． 三、解答题 18．（2025春•三台县期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． （1）该店客房有多少间？房客有多少人？ （2）假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 解：（1）设该店客房有x间，房客有y人， 根据题意得：， 解得：． 答：该店客房有8间，房客有63人； （2）如果每4人一个房间，需要63÷4＝15（间）……3（人），15+1＝16（间）， ∴需要16间客房，总费用为16×200＝3200（钱）； 如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用为18×200×0.8＝2880（钱）， ∵2880＜3200， ∴他们再次入住定18间房时更合算． 答：他们再次入住定18间房时更合算． 19．（2025•新城区模拟）《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，书中记载了这样一个问题：今有驿卒，需传递文书至远方驿站．若每日行八十里，则比规定时间迟到两日；若每日行一百二十里，则比规定时间早到一日，问此驿卒应行走的路程及规定时间各是多少？ 解：设此驿卒应行走的路程是x里，规定时间是y日， 根据题意得：， 解得：． 答：此驿卒应行走的路程是720里，规定时间是7日． 20．（2025•雁塔区校级模拟）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 解：设个位数字为x，十位数字为y， 由题意得：， 解得：， 由题意可知，百位数字为6， ∴这个三位数为648． 21．（2025•庐阳区校级模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 解：设共有x人买鸡，买鸡的钱数是y钱， 根据题意得：， 解得：． 答：共有9人买鸡，买鸡的钱数是70钱． 22．（2025春•郸城县期中）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？ 解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 根据题意得：， 解得：． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 23．（2025•吉林二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？ 解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 24．（2025•辉南县模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 解：设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛 ， ， ∴大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛． 答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛． 25．（2025春•长春期末）某酒店各有三人间和双人间两种客房，其中三人间每天每间收费300元，双人间每天每间收费280元．对于30人以上的团体，可给予五折优惠．某旅游团共50名游客，某天入住该酒店，每间客房均住满，一天共花去住宿费3020元．求入住的两种客房各多少间． 解：设入住x间三人间，y间双人间， 根据题意得：， 解得：． 答：入住8间三人间，13间双人间． 26．（2025春•霸州市期中）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ （1）列二元一次方程组解决以上问题． （2）依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 　消元　 思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 解：（1）设牛每头值金x两，羊每头值金y两， 由题意得：， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两； （2）①“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的消元思想， 故答案为：消元； ②如图2： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$