江苏省南京市宁海中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年高二下学期南京宁海中学期中考试数学试卷 一．单选题 1．在的展开式中，含的项的系数是　　 ．10 ．5 ． ． 2．设随机变量的概率分布列如表所示，则　　 2 3 4 ． ． ． ． 3．抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功次数的均值为 　　 ．8 ．10 ．5 ．6 4．在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是　　 ． ． ． ． 5．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有　　 ．60种 ．90种 ．150种 ．180种 6．已知点，0，，，1，，，1，，则点到直线的距离是　　 ． ． ． ．5 7．某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则　　 ．估计该校高二学生人数为520 ．估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280 ．估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170 ．在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率 8．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，，记此数列的前项之和为，则的值为　　． ．452 ．848 ．984 ．1003 二．多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的是　　 ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 ．若，则是锐角 ．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 ．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 10．在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则　　 ． ．与平面所成角为 ．异面直线与所成角的余弦值为 ．二面角的正弦值为 11．以石墨烯电池、量子计算、等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工程的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．我国某公司抓住机遇，成立了、、三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知、、三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的是　　 ．三个小组均受到奖励的概率是 ．只有小组受到奖励的概率是 ．只有小组受到奖励的概率是 ．受到奖励的小组数的期望值是 三．填空题 12．已知向量，，，，6，，若，，三点共线，则 　　 ． 13．某批麦种中，一等麦种占，二等麦种占，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 　　 ． 14．定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为 ，其中，，，为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时停止，设表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则 　　 ． 四．解答题 15．已知． （1）求； （2）求． 16．袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，．从中任取2个球，至少有1个红球的概率为． （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望． 17．如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置． 18．为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）．已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． （1）若，求乙队以获胜的概率； （2）若，比赛结束时甲队获胜的局数记为，求的期望； （3）若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时的值，并解释此时的实际意义． 19．数轴上的一个质点从原点出发，每次随机向右或向左移动1个单位长度，其中向右移动的概率为，向左移动的概率为，记质点移动次后所在的位置对应的实数为． （1）当，时，质点在哪一个位置的可能性最大，并说明理由； （2）求证：的数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期南京宁海中学期中考试数学试卷 一．单选题 1．在的展开式中，含的项的系数是　　 ．10 ．5 ． ． 【答案】 【解答】解：的展开式中，展开式的通项 展开式中含项的系数是 故选：． 2．设随机变量的概率分布列如表所示，则　　 2 3 4 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：根据题意，因为，所以或， 所以或． 故选：． 3．抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功次数的均值为 　　 ．8 ．10 ．5 ．6 【答案】 【解答】解：根据题意，试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立，所以30次试验中成功次数服从二项分布，其均值 故选：． 4．在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是　　 ． ． ． ． 【答案】 【解答】解：根据题意，． 故选：． 5．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有　　 ．60种 ．90种 ．150种 ．180种 【答案】 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将5名获奖者分为1、2、2的三组，有种分组方法， ②将分好的3组安排到3个会场，有种情况， 则有种不同的派出方法． 故选：． 6．已知点，0，，，1，，，1，，则点到直线的距离是　　 ． ． ． ．5 【答案】 【解答】解：因为，0，，，1，，，1，， 所以，1，，，0，， 所以，， 所以点到直线的距离是． 故选：． 7．某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则　　 ．估计该校高二学生人数为520 ．估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280 ．估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170 ．在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率 【答案】 【解答】解：因为某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布， 则对称轴为， 又，超过80分的人数有420人， 则， 则估计该校高二学生人数为，故错， 又成绩不超过95分的人数约为，故错， 估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为，故正确， 根据正态分布曲线的对称性可得，在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率等于超过120分，故错误． 故选：． 8．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，，记此数列的前项之和为，则的值为　　． ．452 ．848 ．984 ．1003 【答案】 【解答】解：设数列为，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项， 当为偶数时，易知，且，所以，所以偶数项之和为， 当为奇数时，，，，，， 所以，则， 所以前32项里面奇数项和为：， 又由组合数性质， 所以， 所以． 故选：． 二．多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的是　　 ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 ．若，则是锐角 ．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 ．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】 【解答】解：．空间中的三个向量，若有两个向量共线， 由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确； ．对空间中任意一点，有， 由，则，，，四点共面，正确； ．向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底，由空间基底定义可知正确； ，则是锐角或同向，因此不正确． 故选：． 10．在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则　　 ． ．与平面所成角为 ．异面直线与所成角的余弦值为 ．二面角的正弦值为 【答案】 【解答】解：连接，，设， 由余弦定理得， ，则， 则，即，又底面，，底面， ，， 如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 对于，，，则， ，故正确； 对于，又，底面，是平面的一个法向量， ， 则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故正确； 对于，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为，故错误； 对于，设为平面的法向量， 则，令，则平面的法向量， 设为平面的法向量， 则， 令，则平面的法向量， ， 令二面角所成角为，则， 则平面与平面的夹角的余弦值为， ，故正确． 故选：． 11．以石墨烯电池、量子计算、等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工程的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．我国某公司抓住机遇，成立了、、三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知、、三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的是　　 ．三个小组均受到奖励的概率是 ．只有小组受到奖励的概率是 ．只有小组受到奖励的概率是 ．受到奖励的小组数的期望值是 【答案】 【解答】解：、、三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关， 对于，、、三三个小组均受到奖励的概率是，故正确； 对于，只有小组受到奖励的概率是，故错误； 对于，只有小组受到奖励的概率是，故错误； 对于，记受到奖励的小组数为，则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 受到奖励的小组数的期望值是： ，故正确． 故选： 三．填空题 12．已知向量，，，，6，，若，，三点共线，则 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由于向量，，，，6，，所以，解得，， 所以． 故答案为：． 13．某批麦种中，一等麦种占，二等麦种占，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件，，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件， 由已知可得，，，，， 由全概率公式可得， ． 故答案为：． 14．定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为 ，其中，，，为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时停止，设表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则 　　 ． 【答案】2． 【解答】解： ． 故答案为：2． 四．解答题 15．已知． （1）求； （2）求． 【答案】（1）1；（2）129． 【解答】解：（1）令，得， （2）令，得， 因为， 则展开式中的系数为， ． 16．袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，．从中任取2个球，至少有1个红球的概率为． （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）的概率分布列： 0 1 2 4 ． 【解答】解：（1）由题意可知，从中任取2个球，至少有1个红球的概率为， 解得， 设事件表示“取出的3球中恰有2球同色”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为，，0，1，2，4， 则，，， 所以的概率分布列： 0 1 2 4 所以． 17．如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置． 【答案】（1）证明见解析；（2）为的四等分点且靠近点位置． 【解答】（1）证明：，为的中点，， 在和中，，， ，，又为的中点， ，又，平面，， 平面． （2）解：，则，， 由且，是等边三角形， 由且，为的中点， ，在等腰直角中，则， 故，又且， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， 设为平面的一个法向量， 则，即， 取，则平面的一个法向量， 又，0，，， 设，，， ， 设与平面所成的角的正弦值为， ， ， ，解得， 为的四等分点且靠近点位置． 18．为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）．已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． （1）若，求乙队以获胜的概率； （2）若，比赛结束时甲队获胜的局数记为，求的期望； （3）若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时的值，并解释此时的实际意义． 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，此时，意义见解析为． 【解答】解：（1）乙队以获胜意味着乙队在前两局中均获胜．乙队每局获胜的概率为， 因此乙队以获胜的概率为：（乙队获胜）． 代入，得：． （2）比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2，计算各情况的概率如下：：甲队一局未胜，即乙队以获胜， 概率为：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局）， 概率为：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局）， 概率为．因此， 的期望为： ，代入，得： ．化简后得． （3）比赛打满3局的概率表示比赛进行到第3局才分出胜负． 这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此：． 将视为关于的函数，其最大值出现在处， 最大值为：． 实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大． 19．数轴上的一个质点从原点出发，每次随机向右或向左移动1个单位长度，其中向右移动的概率为，向左移动的概率为，记质点移动次后所在的位置对应的实数为． （1）当，时，质点在哪一个位置的可能性最大，并说明理由； （2）求证：的数学期望． 【答案】（1）质点在4的可能性最大，理由见解析；（2）证明见解析． 【解答】解：（1）当，时，不妨设质点向右移动次，向左移动次的概率为， 此时，而， 所以， 当时，，即，则随着值的增大而增大； 当时，，即，则随着值的增大而减小， 所以当时，取得最大值，故质点所在的位置对应的实数应为4； （2）证明：若质点移动次中一共向右移动次，则， 所以，，1，2，，， 若质点移动次中一共向左移动次，则， 所以，，1，2，，， 所以， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$