精品解析：2025年广东省东莞市御花园外国语学校、丰泰外国语学校中考数学二模试卷

2025年广东省东莞市御花园外国语学校、丰泰外国语学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，求算术平方根，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：∵是无限不循环小数， ∴π是无理数， ，，都是有理数． 故选：B． 2. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图，某正方体的展开图的每个面上都有一个汉字，则在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 青 B. 春 C. 激 D. 情 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开，熟练掌握立方体展开的方式和常见展开图，会判断相对面是解题的关键． 根据正方体的表面展开图的特征进行求解即可 【详解】解：根据正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “点”与“春”是对面， “燃”与“情”是对面， “青”与“激”是对面， 故选：B． 4. 已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内符号特征，解一元一次不等式，根据第四象限的点的横坐标是正数可得不等式，求出解集，即可得出答案． 【详解】∵点在第四象限， ∴， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 5. 将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 6. 已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．欲求与的大小关系，通过题中即可判断随着的增大而减少，就可判断出与的大小． 【详解】解：， ， 随着的增大而减少， 点，在一次函数的图象上，， ， 故选：C． 7. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．列表可得出所有等可能的结果数以及爷爷奶奶吃到同类粽子的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将2个蛋黄粽分别记为A，B，3个鲜肉粽分别记为C，D，E， 列表如下： A B C D E A B C   D    E     共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有，，，，，，，，共8种， 爷爷奶奶吃到同类粽子的概率为． 故选：B． 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可； 【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得到：； 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而应用勾股定理解题． 9. 如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，准确利用性质是正确解答此题的关键．首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 观察图象可知，，，可判断①； 观察函数图象可知当时，，可判断②； 由对称性知该函数图象必过点，故函数解析式可化为交点式，即，可判断③； 由交点式可知此函数顶点坐标为，当时，可知与无交点坐标，可判断④． 【详解】解：观察图象可知，，， 故，故①错误； 观察函数图象可知当时，， 即，即，故②正确； 该函数图象经过点，对称轴为直线， 由对称性知该函数图象必过点， 函数解析式可化为交点式，即， 即多项式可因式分解为，故③正确； 由交点式可知此函数解析式为， 从而可得顶点坐标为， 当时，可知与无交点坐标， 故关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，正确的序号为②③④． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点与点关于x轴对称，则的结果为__________； 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．正确把握横纵坐标的符号是解题关键． 【详解】解：点与关于轴对称， ，， ． 故答案为：9． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用根与系数的关系，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根与系数的关系得，， 所以 故答案为： 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键；利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； 【详解】解：两边同乘以， 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴原方程的解为； 故答案为：． 14. 如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm． 【答案】10π 【解析】 【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接OD，OC． ∵∠DOC＝60°，OD＝OC， ∴△ODC是等边三角形， ∴OD＝OC＝DC＝（cm）， ∵OB⊥CD， ∴BC＝BD＝（cm）， ∴OB＝BC＝3（cm）， ∵AB＝17cm， ∴OA＝OB+AB＝20（cm）， ∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm）， 故答案为：10π． 【点睛】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键． 15. 如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明点G在以为直径的圆上，得到当为的切线时，有最小值，此时F、G重合，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ，，， ， ， ， 、C、A、G四点共圆， ， 点G在以为直径的圆上，点E在以B为圆心，为半径的圆上， 当为的切线时，有最小值，此时F、G重合， ， 即的最小值是， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简：，再求当时此代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再关键特殊角的三角函数值求出x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17. 全球已进入人工智能高速发展阶段，人们正在不断学习人工智能相关知识.东莞某学校为提高学生的综合素养，开展了以“人工智能”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，），下面给出了部分信息． 七年级名学生的竞赛成绩：、、、、、、、、、 八年级名学生的部分学生竞赛成绩：、、 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题. （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）若规定竞赛成绩在分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有人和人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】（1），， 补全统计图如下： （2）人 （3） 八年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好，理由如下： 七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差更小，因此八年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好． 【解析】 【分析】（）根据众数和中位数的定义可求出的值，根据条线统计图求出组人数即可补全条形统计图； （）分别用七、八年级参加此次活动的学生人数乘以优秀学生的人数占比，再相加即可求解； （）根据平均数、中位数、众数和方差判断即可求解． 【小问1详解】 解：∵七年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是，共出现次， ∴众数为， 由条形统计图可得，八年级组的人数为， ∵八年级名学生的竞赛成绩由低到高排列后，中位数是第个和第个学生竞赛成绩的平均数， ∴中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 答：估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了条线统计图，中位数，众数，方差，用样本估计总体，掌握中位数、众数和方差的意义是解题的关键． 18. 已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）32 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，所以，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，所以四边形是菱形，而，则是等边三角形，所以，即可求得四边形周长是32． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形周长是32． 【点睛】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明，以及在平分的条件下证明四边形为菱形是解题的关键． 19. 东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式； （2）根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的二次函数的应用、根据实际问题列一次函数关系式、根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． （1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解； （2）根据利润=销售量销售单价-成本，代入代数式求出函数关系式；根据厂商每月的制造成本不超过900万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润． 【小问1详解】 解：设销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：， 把，代入得， ， 每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设每月的利润w万元，由题意得， ， ， 商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元， 每月的生产量为：小于等于万件， ， ， 又由销售利润率不能高于，得， ， ， 图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， 当时，w取最大值，最大值为414万元． 答：当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 20. 图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货厢侧面是一个矩形，米，米，为货车挡板，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为米．卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A旋转． （1）当侧面绕着点A旋转时，求点B离地面的距离； （2）如图2，已知该货车的安全轴距为米．当挡板还未打开时，货厢对角线的交点G是货厢侧面的重心.在卸货过程中，如果支点A到货厢重力方向（以点G为端点竖直向下的射线）所在直线的距离小于安全轴距，则车辆会发生倾覆安全事故．当侧面绕着点A旋转且挡板还未打开时，该货车会发生倾覆安全事故吗？请说明你的理由．（本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体，在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究）（参考值：，，，） 【答案】（1）米 （2） 解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 不会发生安全事故． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； 【小问2详解】 略 21. 如图，以的边为直径的恰为的外接圆，平分交于点，过点作，交的延长线于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）如图，若，，求的长． （3）如图，在（2）的条件下，点是上一点，且的内心在边上，求的长． 【答案】（1） 证明：连接交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用等边对等角的性质和角平分线的定义得到，结合，等量代换得到，再利用切线的判定即可证明； （2）由为直径可得，证出四边形是矩形，再利用垂径定理得到，设半径为，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，进而得到的长，再通过证明即可求出的长； （3）连接交于点，在上截取，连接、，由（2）中的数据计算可得，；由的内心为，可得，再利用角的和差可得出，进而证出，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 设半径为，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 的长为． 【小问3详解】 解：连接交于点，在上截取，连接、， 由（2）得，，，，，， ，，， ， ； 的内心为， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， ， 由（1）得，， ， 平分，即， 又，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定、垂径定理、圆周角定理、三角形的内心、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形利用勾股定理，并结合图形综合运用圆的性质是解题的关键．本题属于圆综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 22. 在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 【答案】（1），； （2）证明：由知， 反比例函数表达式为， 令， 整理得， 解得，， ， ， 设直线表达式为，则， 解得， 直线表达式为， 再联立直线和直线l得，， ， 解得， ，， 中点横坐标为， 和交点为中点， 把分成面积相等的两部分； （3）①；②或 【解析】 【分析】将A代入直线l解析式求a值，进而求k值即可； 先联立直线了和反比例函数解析式求出B点坐标，进而求出点E坐标，再求直线解析式，从而求出和交点是中点即可得证； ①，则，，，根据三角函数的定义即可求得答案； ②由题易知，分类讨论，点F在A上方或下方，因此或者，设参数，利用三角函数值解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）将代入直线了：中可得， ， ， 再将点A代入反比例函数中，得； （2）略 ①如图，中，，， ， 设，则，， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 如图，过作轴，则， 由①知， 设， ，， ， ，   ， ， ； 同理； 综上，F点的坐标为或 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数和一次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【实践与操作】 （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点．求的长； 【解决问题】 （4）如图5，射线于点，，，点在射线上，，点在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点，请直接写出的长． 【答案】 （1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，则可得， 故四边形是单直邻等四边形， （2）证明：是等边三角形， ，， 平分， ， 绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形为单直邻等四边形； （3）； （4）2或6． 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）作的垂直平分线，交于点，即可解答； （2）可得出，可证得，从而，进而得出结论； （3）连接，作于，可证得，从而，，从而得出点、、、共圆及的值，进而求得的值，解直角三角形求得，进而得出的值； （4）作于，设，交于点，当点在上时，解直角三角形求得和的值，从而求得的值，从而得出的值，依次求得，的值，进而求得的值；当点在延长线上时，同理求得的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，作于， ，， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ，即，， ， 点、、、共圆， ，， ，， ， ， ； （4）解：如图，作于，设，交于点，当点在线段上时， ，， ， ，， ， ， ，平分， ， ， ， 如图， 当点在的延长线上时， 由上知，，， ， ， ， ， 综上所述：或6， 故答案为：2或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省东莞市御花园外国语学校、丰泰外国语学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某正方体的展开图的每个面上都有一个汉字，则在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 青 B. 春 C. 激 D. 情 4. 已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的顶点G、E分别在正方形的边、上，，，连接并延长交边于点H，连接，则的长为（　　） A. 6 B. C. D. 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点与点关于x轴对称，则的结果为__________； 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 13. 方程的解为______． 14. 如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm． 15. 如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简：，再求当时此代数式的值． 17. 全球已进入人工智能高速发展阶段，人们正在不断学习人工智能相关知识.东莞某学校为提高学生的综合素养，开展了以“人工智能”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：，，，），下面给出了部分信息． 七年级名学生的竞赛成绩：、、、、、、、、、 八年级名学生的部分学生竞赛成绩：、、 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题. （1）填空：______，______，并补全条形统计图． （2）若规定竞赛成绩在分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有人和人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“人工智能”知识掌握得更好？请说明理由． 18. 已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，，求四边形的周长． 19. 东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式； （2）根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货厢侧面是一个矩形，米，米，为货车挡板，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为米．卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A旋转． （1）当侧面绕着点A旋转时，求点B离地面的距离； （2）如图2，已知该货车的安全轴距为米．当挡板还未打开时，货厢对角线的交点G是货厢侧面的重心.在卸货过程中，如果支点A到货厢重力方向（以点G为端点竖直向下的射线）所在直线的距离小于安全轴距，则车辆会发生倾覆安全事故．当侧面绕着点A旋转且挡板还未打开时，该货车会发生倾覆安全事故吗？请说明你的理由．（本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体，在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究）（参考值：，，，） 21. 如图，以的边为直径的恰为的外接圆，平分交于点，过点作，交的延长线于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）如图，若，，求的长． （3）如图，在（2）的条件下，点是上一点，且的内心在边上，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 23. 【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【实践与操作】 （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点．求的长； 【解决问题】 （4）如图5，射线于点，，，点在射线上，，点在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $