福建省三明市2024-2025学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

三明市2024一2025学年第二学期普通高中期末质量检测 高二数学参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C2.A3.B4.D5.C6.C7.B8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-60 13.150 w6-号树 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15。解：(1)设A=“甲至少填报3个电子信息类专业”，…1分 则从10个专业中，任取4个，共有n()C。=210种报法，…2分 n()）=C写g.C写+Cg=55,…4分 故P(0=m四=55_11 …5分 (2)21042 (2)依题意得X的可能取值为0,1,2,3.…6分 PK-o音-器-Px-竖-览- C。2102 高二数学参考答聚第1页（共9页) 2i06Px=3列-gZ P(=2)=cg-633 1 210301 …10分 则X的分布列为 0 2 3 3 6 2 10 30 …11分 B(x)-0x+1x2x3+3xh- …13分 2 10 305 16. 解法一：(1)由f()=e,即a=e,解得a=e,…1分 则f(x)=,f(血2）=2，…2分 因为f(x)=,所以f(血2)=2，…4分 所以，函数f(x)在点（血2，f(血2）)处的切线方程为y-2=2(x-血2)， 即2x-y+2-2h2=0.…6分 (2)由已知f(2mx)≤f(x2+1)f(x+3)得a2m≤a2H,a3,…7分 整理得a2m≤a州，…8分 因为0<a<1,所以函数f(x)是单调递减函数，所以2mx≥x2+x+4,…10分 从而2m≥+x+4=x+4+1在x[儿，2]有解，… …12分 x 因为x+4+1224+1=5 …13分 当且仅当x=2时等号成立，…4分 高二数学参考答案第2页（共9页） 所以2m≥5，即实数m的取值范围为 +∞) 15分 解法二：(1)同解法一…6分 (2)由已知f(2mx)≤fx2+lf(x+3)得a2m≤aH,a3,…7分 整理得a2≤a+,…8分 因为0<a<1,所以函数f(x)是单调递减函数，所以2mx≥x2+x+4,…10分 从而x2+1-2m)x+4≤0在x∈[1,2]上有解， 1 令g(x)=x2+1-2m)x+4,此时g(x)的对称轴为x=m- …11分 2 @当m1时，即m≤号则g)在L2习到上单调递掉，即g-80=6-2m≤0， 解得m之3，不符条件；…12分 ②当m之2时，即m≥号则g因在[L2]上单调递减.即g-g②=10-m≤0， 2 5 解得m22}符合条件5………13分 @当1<m-1 递增， 甲g树m=8a-}m-+0-2mXm-支44a-封s0. 解得m≥或m5 3 ,不符条件，…14分 2 2 综上所述，实数m的取值范围为 …15分 17.解：(1)由题可知： 7=亏+2+3+4+)=3，了=530+65+95+135+17=10.…2分 %-刀'=l0，心3 高二数学参考答策第3页（共9页） 26-n0-可 6= 36036, …4分 24-70 10 à=y-6f=100-36×3=-8,…5分 所以关于t的线性回归方程为少=36t-8,…6分 当2025年即1=6时，少=36×6-8=208， 即预测2025年的报考人数为208人… …7分 (2)设报考该专业研究生的考试成绩为X,依题意X~N(山，σ2)， 已知X大致符合正态分布N(370,15), 所以4=370，o=15 P(X>400)=P(X>370+2×15… …9分 =PX>4+2o)≈1-0,9545=0.02275 …10分 2 P(355≤X≤400)=P(370-15≤X≤370+2×15)…12分 =PUu-0<X<μ+2o)≈0.6827+0.9545=0.8186 …13分 2 所以成绩大于400分的录取人数为208×0.02275=4.732≈5人， 在[355,400]之间的录取人数为208×0.8186×0.5=85.1344≈85人， 所以预测2025年该专业录取的人数是5+85=90.…15分 18. 解法，0当a=吃时，f因-2nx-,了闭=至-12兰c>01分 x 高二数学参考答案第4页（共9页） 令(x)=0,得x=2: 当0<x<2时，f(x)>0: 当x>2时，"(x)<0: 故f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+o∞）上单调递减，…3分 当x=2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)=2血2-2，…4分 无极小值.… …5分 (2)不等式f(x)≤g(x)即2nx-2arx≤ax2-2x-2, 即a 2hx+2x+2在(0，+o)上恒成立.… …7分 x2+2x 设A=2血+2x+2x>0, x2+2x 径+2(x+2x）-2nx+2x+22x+2 则h(x)= …8分 (x2+2x) =2+2(x+2)-(2血x+2x+22x+2) (x2+2x月 2x+10(x+2血x) (x+2x …9分 当x>0时，x+1>0,(x2+2x}>0, 令p(x)=x+2山x(x>0),可知p(x)在(0，+∞)上是增函数，…10分 且9分)-片22<0,0=1>0， 放存在行 使得p(名)=0，…I2分 高二数学参考答案第5页（共9页) 当0<x<x时，(x)<0,h'(x)>0:当x>x时，p(x)>0,h(x)<0, 即h(x)在(0，)上单调递增，在(o,十o∞)上单调递减，…13分 pk)=x+2血x=0,血%=产 所以=h6)=2血5t2+2=2+=⊥ x6+2x0 x6+2x00 所以a≥1， …15分 又为%行 所a, 而a∈Z,所以a的最小值为2.… …17分 解法二：（1)同解法一… …5分 令函数h(x)=f(x)-g(x)=2hx-2ax-ax2+2x+2, 不等式f(x)≤g(x)在(0，+∞)上恒成立， 即h(x)=2nx-2a-ax2+2x+2≤0在(0，+o)上恒成立.…6分 因为x∈(0，+oo) (）=2-2a-2aX+2…7 =-2(ar2-ar+x+=-24[2+0-ax+1_-2[(ax-1x+l】 …8分 大 x ①当a≤0时，h(x)≥0，函数h(x)在(0，+o)上单调递增，又因为h()=4-3a>0不符题 意： 00*400008408445444**44441*8*504*914444*4440400044+小4444号10分 ②当a>0时，令(x)=0,解得x=-1,名2= a 高二数学参考答聚第6页（共9页) 令)<0得0<x<士，即()在(0，马上单调递增， 0 令H>0得x>】,即k)在（仁+o)上单调递减， …12分 0 Q 即)在x=上处取到最大值，即 0s=05=2h-2a后a+2+2a2has04分 a a a 又因为a>0且a∈Z, 当a=1时，1≤0不符题意， …15分 当a=2时， 2-2血2≤0符合题意， 16分 而a∈Z,所以a的最小值为2.… …17分 解法三：（I)同解法一… …5分 令函数h(x)=f(x)-g(x)=2nx-2am-ax2+2x+2, 不等式f(x)≤g(x)在(0，+∞)上恒成立， 即h(x)=2nx-2a-ax2+2x+2≤0在(0，+oo上恒成立.…6分 因为h(①=-3a+4≤0，所以a2-， …8分 猜想4的最小整数为2.… …10分 下面证明a=2时，h(x)≤0在(0，+o)上恒成立 当a=2时，h(x)=2nx-2x-2x2+2≤0，…11分 0)=2-2-4x=2+1X-2x+9】 …13分 x 令h因>0，得0<x<分令h倒<0，得x> …14分 故4()在0，》上单调递地，在行松上单调递流。 …15分 高二数学参考答聚第7页（共9页） 故(=A=号-2h2<0 …16分 而a∈Z,所以a的最小值为2.… 17分 19.解：(1)没A=“通过测试I”，A,=“通过测试Ⅱ”，B=“一枚芯片合格”， …1分 则P(4)=0.4,P(4)=p, P(B=P(4)+P(AA2)=0.4+1-0.4×p=0.4+0.6p,…2分 故0=P41B)=P-P4 …3分 P(B)P(B) 0.4 2 …4分 0.4+0.6p2+3p (2)(i)设随机抽取100件芯片中合格品的件数为X, 假设芯片厂关于通过测试Ⅱ的概率为50%的说法成立，…5分 即当p=0.5时，P(B)=0.4+0.6p=0.4+0.6×0.5=0.7…6分 则X~B(100,0.7), 所以E(X)=100×0.7=70, …7分 D(X)=100×0.7×0-0.7=21 …8分 由切比雪夫不等式知，P(K=40)sP（0K-70230)s2-之<0.05，…10分 30230020 即在假设下抽取100枚芯片中有40枚合格芯片的概率不超过0.05，此概率极小，由小概率 原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断该工厂的说法不可信。 …11分 (i)因为k~B(m,),所以E(k)=m0,D(k)=m0(1-)）,…12分 间-)-，间-÷-0 …13分 高二数学参考答聚第8页（共9页） 所以Ve>0,P6-2=P(9-G2ss-O m62 …14分 又四为80-)3(2+-9-子当且仅当0-政.即p-号时等号成立，15分 2 所以ve>0,均有P的-eG, s=0o5,则Pl5-水e0a时4a0时 …16分 根据题意要使得P(日-20.05)总能不超过0.01， 当4m:0.0时≤0.01，即m≥1000时满足条件， 1 所以最小样本量大约为10000.… …17分 高二数学参考答聚第9页（共9页）三明市2024一2025学年第二学期普通高中期末质量检测 高二数学试题 (满分：150分考试时间：120分钟) 本试卷共5页， 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知集合A={x1<x≤6，B={2,4,6,8},则A∩B= A.{6} B.{2,4 C.{2,4,6 D.{1,2,4,6} 2.已知幂函数f(x)=x的图象经过点 》则该函数的解折式为 Af因 B.f(x)=x2 cfa-黄 3.已知x∈R且x≠0，那么“<1"是“x>1"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递减的是 A.y=x-1 B.y Inx2 C.y=cos D.y=-x2 5.由0,1,2,3,5组成的无重复数字的4位数共有 A.24个 B.72个 C.96个 D.120个 6.若函数f(x)=x2+2x+alx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是 A.a≤4 B.a≥4 C.a≤-4 D.a≥-4 高二数学试题第1页（共5页） 2已知随机变量5~N(1,g,且P传≤-1)=P(传≥，则+9(0<x<a的 xa- 最小值为 A号 B. D.16 8定义在R上的函数f()满足f(x+2)=3f(,当x∈[0,2)时，f儿 -20s<1 已知函数g(x)=x3+3x2+m,若s∈[-4,2)，3∈[-4,2]， -2l-到1≤x<2 不等式f(s)-g()≥0成立，则实数m的取值范围是 A.(（-∞，-2] B号 C.(-∞，-22] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分， 有选错的得0分. 9.下列命题中，正确的是 A.在经验回归方程y=-0.3x+10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量 将平均减少0.3个单位 B.两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1 C.独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到 X2=4.138(xos=3.841),推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯 错误的概率不大于0.05 D.用决定系数R比较两个回归模型的拟合效果时，R越大，表示残差平方和越 大，模型拟合效果越差 10.设AB是一个随机试验中的两个事件，且P(④=分P(M)=品，P(B间=方则 AP(8A)=名B.Pa=立 C.P(B)- D.P(Bu)= 高二数学试题第2页（共5页） 11.已知函数f(x)是R上的奇函数，且过点(3,2)，对于一切正实数m,n,都有f(mn)= fm)+/a-1当e行，+时倒>0恒成立，则 A.∫(9)=3 B.方程[/)-]/()=0所有根的和为了 C.∫(x)在(-∞，0)上是单调函数 D.不等式/(-矿创+6<0的解集为-方U,9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中xy2的系数是（用数字作答）. 13.《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、 九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其 中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有种， 14.已知函数g(x)的定义域为D,若Ha,b,c∈Dg(a)g(b)g(c)可以作为一个三角形 的三条边长，则称函数6倒是D上的“三角形函数”、已如函数)=号+m是 2]上的“三角形函数，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能 类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进 行填报，每个专业被选中的可能性相同， (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 高二数学试题第3页（共5页) 16.(15分) 已知函数f(x)=a'a>0,且a*1). (1)若∫(I)=e,求函数∫(x)在点(ln2f(ln2)处的切线方程： (2)已知0<a<1,若关于x的不等式∫(2mx)≤∫(x2+1)∫(x+3)在区间[1,2] 上有解，求实数m的取值范围. 17.(15分) 某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计， 得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 (1)经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程 y=6l+a,并预测2025年的报考人数； (2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N(370,15),录取方 案：总分在400分以上的直接录取；在[355,400]之间的进人面试环节，录取其中的 50%;低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最 后结果四舍五人，保留整数)， 参考数据26-北，-列=360 参考公式：回归方程夕=x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 2-北-列 a=y-6阮， -刻 若随机变量X~N(u,o),则P(u-≤X≤u+0)≈0.6827， Pu-2g≤X≤4+2o）≈0.9545，P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973. 高二数学试题第4页（共5页） 18.(17分) 已知函数f(x)=2lnx-2ax,g(x)=ax2-2x-2(aeR)】 (1)若a=2求函数（的极值： (2)若a∈Z,且不等式f(x)≤g(x)在(0，+∞)上恒成立，求a的最小值 19.(17分) 某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试1的概率为 40%,未通过测试I的芯片须进人测试IⅡ，通过率为p(0<p<1),通过任意一次测试 即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试I的概率为日. (1)求（结果用p表示）： (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式 如下：设随机变量X的期望为E(),方差为D(),则对任意8>0，均有 PX-E(xPe)sD心☒，请结合该定理解决下列两个问题： 2 ()若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取 了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注： 当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)； ()为估计9，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试1，记可=冬若 m 要使得P6-0≥0.05)总能不超过0.01，试估计最小样本量m(m∈N)」 高二数学试题第5页（共5页)