精品解析：广东省中山市2024-2025学年八年级下期末考试数学试卷

中山市2024—2025学年第二学期期末水平测试试卷 八年级数学 （测试时间：120分钟，满分：120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 二次根式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人10次标枪落点如图所示，则甲、乙两人成绩方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 已知的周长为10，其中，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4，5 B. 1，，2 C. 5，12，13 D. 3，4，5 6. 已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 7. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 8. 如图，在中，，为斜边上的中线．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图是小英爸爸设置手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 计算__________． 12. 如图是我国古代的一种铜制货币“五铢钱”，某古币爱好者收藏了枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：）分别为，，，，．这组数据的众数为______． 13. 某公司招聘一名技术人员，小丽笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小丽的综合成绩为______分． 14. 若一次函数的图象过点，则______． 15. 如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 三、解答题（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算：． 17. 人体正常体温在左右，但是在一天中的不同时刻，体温也不尽相同．如图反映了小香在一天24小时中，其体温与时间之间的对应关系． （1）对应关系中的自变量是什么？ （2）小香体温最高和最低的分别是多少℃？ （3）小香体温由高到低变化的是哪些时段？ 18. 如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 四、解答题（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 在某校科技文化节系列活动中，举办了“魅力几何，勾勒未来”的竞赛活动，A班和B班各有10名学生参加该竞赛活动．统计两个班的竞赛成绩（满分100），并对数据（成绩）讲行了收集、分析如下． 收集数据】 A班10名学生竞赛成绩：18，40，60，80，60，80，92，80，70，100 B班10名学生竞赛成绩：24，90，40，88，68，86，68，72，74，70 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 A班 68 b 80 B班 a 71 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）请你分别求出a，b，c的值； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． 20. 定义：在中，，，，若，则称为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如1图，为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如2图，等腰三角形为“类直角三角形”，其中，，请求出的大小． 21. 【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． （1）求证：四边形矩形； （2）若，，求四边形的面积． 五、解答题（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 如1图，在正方形中，点P在边上，点M在边上，点N在边上，连接，交于点O，且． （1）求证：； （2）如2图，若，点O为线段的中点，，求的长． 23. 如1图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，与直线交于点D，其中直线的解析式为，．点M是线段上一点（点M不与点A，D重合），过点M作x轴的垂线交直线于点N，以，为邻边作，连接，． （1）求点D的坐标； （2）当的面积为3时，求点M的坐标； （3）如2图，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市2024—2025学年第二学期期末水平测试试卷 八年级数学 （测试时间：120分钟，满分：120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 二次根式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：D． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，解题关键是明确最简二次根式被开方数不含能开方的因式和不含分母． 根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 甲、乙两人10次标枪的落点如图所示，则甲、乙两人成绩方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握根据方差判断稳定性是解题的关键：①方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量；②方差能够反映所有数据的信息，因而在刻画数据波动情况时比极差更准确：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小． 根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：由图可知：乙的成绩更集中， ∴， 故选：． 4. 已知的周长为10，其中，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质推出，，得到的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， ∴， ∵， ∴． 故选B． 5. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4，5 B. 1，，2 C. 5，12，13 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则为直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．最长边为5，验证，而．∵ ，∴ 不能构成直角三角形．故该选项符合题意． B．最长边为，验证，而．∵ ，∴ 能构成直角三角形．故该选项不符合题意． C．最长边为13，验证，而．∵ ，∴ 能构成直角三角形．故该选项不符合题意． D．最长边为5，验证，而．∵ ，∴ 能构成直角三角形．故该选项不符合题意． 故选：A． 6. 已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．根据正比例函数的性质，当比例系数时，函数值随的增大而增大．因此，在区间内，函数的最大值出现在的最大值处． 【详解】解：∵时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，， 故选：D． 7. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 8. 如图，在中，，为斜边上的中线．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角． 先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，勾股定理. 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：作， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选：A． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法：，利用此法则直接求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图是我国古代的一种铜制货币“五铢钱”，某古币爱好者收藏了枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：）分别为，，，，．这组数据的众数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查众数，解题关键是掌握：众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据．一组数据中，众数可能不止一个．据此解答即可． 【详解】解：∵枚“五铢钱”的质量（单位：）分别为，，，，， ∴这组数据的众数为． 故答案为：． 13. 某公司招聘一名技术人员，小丽笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小丽的综合成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小丽的综合成绩，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：小丽的综合成绩为， 故答案为：． 14. 若一次函数的图象过点，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，把代入得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴把代入得到， ∴ ∴． 故答案为：15． 15. 如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，即，进而可得，，，由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 三、解答题（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，先通过二次根式的性质进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 人体正常体温在左右，但是在一天中的不同时刻，体温也不尽相同．如图反映了小香在一天24小时中，其体温与时间之间的对应关系． （1）对应关系中的自变量是什么？ （2）小香体温最高和最低的分别是多少℃？ （3）小香体温由高到低变化的是哪些时段？ 【答案】（1）自变量是时间； （2）小香体温最高为，最低为； （3）0时至4时，14时至24时． 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像上获取信息，自变量定义等知识． （1）根据自变量的定义求解即可． （2）根据函数图像的最高点和最低点的位置，即可获得答案． （3）根据函数图像求解即可． 【小问1详解】 解：∵一天中的不同时刻，体温也不尽相同， ∴对应关系中的自变量是时间． 【小问2详解】 解：根据函数图像可知：小香体温最高为，最低为 【小问3详解】 解：小香体温由高到低变化的时间段有：0时至4时，14时至24时 18. 如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理，证明，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，熟练掌握定理和判定是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形，，， ∴，． ∵， 故， ∴为直角三角形，且． ∴． ∴四边形是菱形． 四、解答题（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 在某校科技文化节系列活动中，举办了“魅力几何，勾勒未来”的竞赛活动，A班和B班各有10名学生参加该竞赛活动．统计两个班的竞赛成绩（满分100），并对数据（成绩）讲行了收集、分析如下． 【收集数据】 A班10名学生竞赛成绩：18，40，60，80，60，80，92，80，70，100 B班10名学生竞赛成绩：24，90，40，88，68，86，68，72，74，70 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 A班 68 b 80 B班 a 71 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）请你分别求出a，b，c的值； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． 【答案】（1）68，75，68； （2）A班成绩更好，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数的概念，以及运用平均数，中位数，众数进行决策，理解平均数，中位数，众数的意义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的概念进行计算即可； （2）根据平均数，中位数，众数的意义进行比较分析即可； 【小问1详解】 解：由题得， A班成绩从低到高排列为18，40，60，60，70，80，80，80，92，100， 则中位数， B班成绩中68出现次数最多， 所以． 【小问2详解】 因为A，B两个班的平均分相同都为68分，但A班中位数、众数均大于B班， 所以A班成绩更好．（本问答案不唯一，言之有理即可） 20. 定义：在中，，，，若，则称为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如1图，为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； （2）如2图，等腰三角形为“类直角三角形”，其中，，请求出的大小． 【答案】（1）等边三角形不是“类直角三角形”，理由见解析； （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则，根据题意得到，即可判断； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出． 小问1详解】 等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下： 设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形不是“类直角三角形”； 【小问2详解】 ∵等腰三角形是“类直角三角形”，，， ∴，且． ∴． ∴是直角三角形，且． 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∴的度数为． 21. 【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）24． 【解析】 【分析】（1）证明出，得到，，推出，，即可得到四边形为矩形； （2）证明出是的中位线，得到，然后利用矩形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 同理可得，． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 五、解答题（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 如1图，在正方形中，点P在边上，点M在边上，点N在边上，连接，交于点O，且． （1）求证：； （2）如2图，若，点O为线段的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先过点N作于点E，根据正方形的性质，证明四边形为矩形．结合，得出，整理得，证明，进行作答即可． （2）连接，证明是的垂直平分线，以及运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，运用勾股定理算出．把数值代入，解得，再算出，即可作答． 【小问1详解】 证明：过点N作于点E， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：连接，设， 则． ∵，点O为线段的中点， ∴是的垂直平分线， ∴． 在中，点O为线段AP的中点． ∴． ∴． 在中，， 即， 解得． ∴． 由（1）知． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的定义与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 如1图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，与直线交于点D，其中直线的解析式为，．点M是线段上一点（点M不与点A，D重合），过点M作x轴的垂线交直线于点N，以，为邻边作，连接，． （1）求点D的坐标； （2）当的面积为3时，求点M的坐标； （3）如2图，连接，求证：． 【答案】（1）； （2）或； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求得的解析式，联立解析式构成方程组，解方程组得到交点D的坐标； （2）设点M为，则点N为，根据的面积为3，建立等式解答即可； （3）过点D作于点E．证明是菱形即可得证． 【小问1详解】 解：令，则． ∴． ∴． ∴． 设直线的解析式为，将和代入得 解得 ∴直线的解析式为． 联立 解得 ∴． 【小问2详解】 解：设点M为，则点N为． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴点P的纵坐标为． 由题得，即． 解得或． ∴或． ∴或． 对应，， ∴或． 【小问3详解】 证明：如图，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴，即． ∴四边形为菱形． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造方程组求交点坐标，坐标表示线段的长度，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定，熟练掌握待定系数法，勾股定理菱形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $